Mathematik für Wirtschaftswissenschaften

Dr. Ingolf Terveer ist Akademischer Oberrat am Institut für Wirtschaftsinformatik der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster.

Vorwort 11
1 Einordnung und Grundlagen 15
Übersicht15
1.1 Einordnung15
1.2 Mengen18
1.2.1 Operationen mit Mengen21
1.2.2 Aussagen und Aussageformen22
1.3 Terme und Gleichungen26
1.3.1 Terme und Termumformungen26
1.3.2 Gleichungen und Ungleichungen27
2 Das Funktionskonzept 33
Übersicht33
2.1 Funktionen und Abbildungen34
2.2 Graphische Darstellung, Bild und Urbild37
2.3 Wachstums- und Krümmungseigenschaften von Funktionen42
2.3.1 Lage des Funktionsgraphen im Koordinatensystem42
2.3.2 Monotonieeigenschaften von Funktionen43
2.3.3 Krümmung von Funktionen43
2.4 Verkettung und Umkehrung von Funktionen46
2.5 Exkurs: Relationen49
Zusammenfassung50
3 Lineare Funktionen 51
Übersicht51
3.1 Normalform linearer Funktionen52
3.1.1 Interpretation des Faktors a der Normalform52
3.1.2 Interpretation des Summanden b der Normalform52
3.1.3 Nullstellen linearer Funktionen52
3.1.4 Bestimmung der Normalform einer linearen Funktion aus zwei Punkten53
3.2 Punkt-Steigungsform linearer Funktionen54
3.3 Koordinatenform linearer Funktionen54
3.4 Umkehrfunktion und Normale einer linearen Funktion55
3.4.1 Die Umkehrfunktion einer linearen Funktion55
3.4.2 Die Normale einer linearen Funktion56
3.5 Schnittpunkte linearer Funktionen57
3.6 Ökonomische Anwendungen linearer Funktionen58
Zusammenfassung60
4 Quadratische Funktionen 61
Übersicht61
4.1 Normalform quadratischer Funktionen61
4.2 Scheitelpunktform quadratischer Funktionen63
4.3 Nullstellen und Schnittpunkte quadratischer Funktionen65
4.4 Linearform quadratischer Funktionen67
4.5 Umkehrung quadratischer Funktionen68
4.6 Ökonomische Anwendungen quadratischer Funktionen69
4.6.1 Quadratische Gewinnfunktionen bei linearer Nachfragefunktion69
4.6.2 Modellierung von Nachfragesituationen durch quadratische Funktionen71
4.6.3 Kleinste-Quadrate-Methode73
Zusammenfassung74
5 Rationale Funktionen 75
Übersicht75
5.1 Potenzen und Monome76
5.2 Polynome und ganz-rationale Funktionen80
5.3 Teilbarkeit von Polynomen und Polynomdivision83
5.4 Nullstellen von Polynomen89
5.5 Interpolation durch Polynome92
5.6 Gebrochen-rationale Funktionen95
Zusammenfassung100
6 Spezielle Funktionen 101
Übersicht101
6.1 Exponentialfunktionen101
6.1.1 Die Schreibweise f(x) = ax für die Exponentialfunktion103
6.1.2 Das Monotonieverhalten der Exponentialfunktion103
6.1.3 Die Eulersche Exponentialfunktion104
6.2 Logarithmusfunktionen105
6.3 Potenzfunktionen108
6.4 Trigonometrische Funktionen110
6.4.1 Geometrische Festlegung der trigonometrischen Funktionen110
6.4.2 Rechenregeln für trigonometrische Funktionen115
6.4.3 Anwendungen trigonometrischer Funktionen116
6.5 Stückweise definierte Funktionen118
6.5.1 Die Betragsfunktion119
6.5.2 Exkurs: Die Indikatorfunktion121
Zusammenfassung122
7 Folgen und Reihen 125
Übersicht125
7.1 Folgen in der Ökonomie125
7.2 Explizite und implizite Folgen127
7.3 Konvergenz von Folgen132
7.3.1 Grenzwertbestimmung bei expliziten Folgen134
7.3.2 Grenzwertbestimmung bei impliziten Folgen139
7.3.3 Nachweismöglichkeiten für Konvergenz139
7.4 Summenfolgen und unendliche Reihen143
7.4.1 Summenfolgen143
7.4.2 Unendliche Reihen144
7.4.3 Potenzreihen148
7.4.4 Exkurs: Erzeugende Funktionen150
7.5 Exkurs: Gleichgewichte bei Marktpreisen152
7.6 Finanzmathematische Folgen und Reihen155
7.6.1 Zinseszinsrechnung155
7.6.2 Rentenrechnung156
7.6.3 Annuitätenrechnung157
7.6.4 Barwert und Endwert158
7.6.5 Kapitalwert160
Zusammenfassung161
8 Differentialrechnung in einer Variablen 163
8.1 Funktionsgrenzwerte163
8.1.1 Von Folgengrenzwerten zu Funktionsgrenzwerten163
8.1.2 Einseitige Funktionsgrenzwerte165
8.1.3 Methoden zur Bestimmung von Funktionsgrenzwerten166
8.1.4 Divergente und uneigentliche Grenzwerte169
8.1.5 Grenzwertverhalten gebrochen-rationaler Funktionen170
8.1.6 Asymptoten von Funktionen171
8.2 Stetige Funktionen173
8.3 Differenzierbare Funktionen177
8.3.1 Tangenten an Funktionsgraphen178
8.3.2 Ableitung als Grenzwert von Sekantensteigungen178
8.3.3 Die Ableitungsfunktion181
8.3.4 Ableitung und Linearisierung183
8.3.5 Mittelwertsatz184
8.3.6 Ableitungen höherer Ordnung184
8.4 Ableitungsregeln185
8.4.1 Faktorregel186
8.4.2 Summenregel187
8.4.3 Produktregel187
8.4.4 Quotientenregel187
8.4.5 Kettenregel188
8.4.6 Ableitung von Potenzreihen189
8.5 Ableitung und Funktionseigenschaften191
8.5.1 Ableitung erster Ordnung und Nullstellen192
8.5.2 Ableitung erster Ordnung und Monotonieverhalten193
8.5.3 Ableitung erster Ordnung und Regel von de l’Hospital195
8.5.4 Ableitungen erster Ordnung und Bedingungen für Extrema196
8.5.5 Ableitungen erster und zweiter Ordnung und lokale Extrema198
8.5.6 Ableitung zweiter Ordnung und Krümmungsverhalten201
8.5.7 Kurvendiskussionen und Funktionssteckbriefe203
8.6 Ökonomische Anwendungen der Differentialrechnung208
8.6.1 Optimaler Preis208
8.6.2 Gewinnmaximierung210
8.6.3 Elastizitäten211
8.6.4 Marginalanalyse214
8.6.5 Kostenminimierung215
Zusammenfassung218
9 Integralrechnung 219
9.1 Flächenintegrale und Stammfunktionen219
9.1.1 Stammfunktion220
9.1.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung221
9.1.3 Flächenintegrale bei Funktionen mit Vorzeichenwechsel223
9.2 Numerische Berechnung von Flächenintegralen225
9.2.1 Numerische Integration mit der Trapezregel227
9.2.2 Numerische Integration mit der Simpson-Regel227
9.2.3 Exkurs: Das Lebesgue-Integral228
9.3 Integrationsregeln230
9.3.1 Faktorregel und Summenregel230
9.3.2 Partielle Integration232
9.3.3 Substitutionsregel234
9.4 Uneigentliche Integrale236
9.5 Exkurs: Konsumentenrente und Produzentenrente240
Zusammenfassung243
10 Lineare Gleichungssysteme 247
Übersicht247
10.1 Lineare Eingabe-Ausgabe-Beziehungen247
10.2 Das Gauß’sche Eliminationsverfahren251
10.2.1 Zeilenumformungen eines LGS252
10.2.2 Die Staffelform eines LGS253
10.2.3 Die Zeilenstufenform eines LGS256
Zusammenfassung258
11 Lineare Optimierung 259
Übersicht259
11.1 Probleme der linearen Optimierung259
11.1.1 Optimaler Verbrauch von Rohstoffen260
11.1.2 Transportprobleme260
11.1.3 Zuordnungsprobleme260
11.2 Standardform eines LOP261
11.3 Simplex-Algorithmus263
11.3.1 Beispiel mit einer freien Variable263
11.3.2 Simplex-Tableau264
11.3.3 Basiswechsel mit einer freien Variablen267
11.3.4 Basiswechsel mit mehreren freien Variablen269
11.3.5 Schematische Darstellung des Simplex-Verfahrens272
11.3.6 Diskussion des Verfahrens273
11.4 Zweiphasenmethode275
Zusammenfassung279
12 Vektoren 281
Übersicht281
12.1 Vektoren und Operationen mit Vektoren281
12.1.1 Elementare Operationen mit Vektoren283
12.1.2 Vektorräume285
12.2 Koordinatensysteme und Linearkombinationen287
12.3 Untervektorraum und Basis297
12.3.1 Gewinnung einer Basis aus einem Erzeugendensystem299
12.3.2 Gewinnung einer Basis zur Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems300
12.4 Vektorgeometrie303
12.5 Abstandsmessung, Projektionen und KQ-Methode309
Zusammenfassung318
13 Matrizen 319
Übersicht319
13.1 Matrix-Vektor-Verflechtungen319
13.2 Matrix-Matrix-Verflechtungen323
13.3 Quadratische Matrizen328
13.4 Determinanten333
13.4.1 Berechnung der Determinante mittels Zeilenumformungen335
13.4.2 Laplace-Entwicklungsformel für Determinanten337
13.4.3 Strategien zur Berechnung von Determinanten338
13.4.4 Anwendungen der Determinante340
13.5 Eigenwerte und Eigenvektoren341
13.5.1 Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren343
13.5.2 Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren344
13.5.3 Eigenwerte bei symmetrischen Matrizen345
13.6 Definitheit von Matrizen348
13.6.1 Definitheit349
13.6.2 Definitheit unter Nebenbedingungen352
13.7 Exkurs: Anwendungen der Matrizenrechnung354
13.7.1 Input-Output-Analysen und Leontief-Modelle354
13.7.2 Übergangsmatrizen und Markoff-Ketten356
Zusammenfassung360
14 Differentialrechnung in mehreren Variablen 363
Übersicht363
14.1 Funktionen mehrerer Variablen364
14.1.1 Definitionsbereiche für Funktionen mehrerer Variablen364
14.1.2 Lineare und quadratische Funktionen mehrerer Variablen366
14.1.3 Grenzwerte von Funktionen mehrerer Variablen367
14.1.4 Grafische Darstellung368
14.2 Funktionen mehrerer Variablen in der Ökonomie370
14.2.1 Lineare Funktionen mehrerer Variablen in der Ökonomie370
14.2.2 Nachfragefunktionen in mehreren Variablen371
14.2.3 Produktionsfunktionen in mehreren Variablen373
14.2.4 Homogene Funktionen in der Ökonomie375
14.3 Ableitungskonzepte für Funktionen mehrerer Variablen377
14.3.1 Die partielle Ableitung378
14.3.2 Das Differential383
14.3.3 Ableitungsregeln für Funktionen mehrerer Variablen387
14.4 Ableitungskonzepte auf Grundlage des Differentials390
14.4.1 Richtungsableitung390
14.4.2 Elastizitäten395
14.4.3 Implizite Ableitungen und ihre Anwendungen396
14.5 Ableitungen zweiter Ordnung404
14.5.1 Die Hesse-Matrix405
14.5.2 Krümmung impliziter Funktionen407
14.5.3 Konvexe Funktionen409
14.6 Integrale für Funktionen mehrerer Variablen412
14.6.1 Volumenintegrale412
14.6.2 Integrationsregeln414
Zusammenfassung418
15 Optimierungsaufgaben 419
Übersicht419
15.1 Optimierungsaufgaben ohne Nebenbedingungen419
15.1.1 Bestimmung kritischer Punkte420
15.1.2 Hinreichende Bedingungen für lokale Extrema422
15.1.3 Optimierung konvexer Funktionen425
15.1.4 Numerische Optimierung mit dem Gradientenabstiegsverfahren428
15.1.5 Numerische Optimierung mit dem Newton-Verfahren429
15.2 Optimierung unter Nebenbedingungen431
15.2.1 Optimierung bei einer Nebenbedingung in Gleichungsform433
15.2.2 Optimierung unter Ungleichungsrestriktionen442
15.3 Hinreichende Bedingungen für Extrema449
15.3.1 Hinreichende Bedingungen für lokale Extrema unter Nebenbedingungen450
15.3.2 Nachweis der Optimalität durch Randwertvergleich454
15.3.3 Optimierung konvexer Funktionen unter Nebenbedingungen461
15.4 Komparative Statik465
15.4.1 Ein Verbrauchsproblem465
15.4.2 Das Envelope-Theorem467
15.4.3 Ein Kostenproblem470
15.4.4 Das Theorem impliziter Funktionen472
Zusammenfassung474
Übungsklausuren 475
Klausur 1475
Klausur 2477
Klausur 3479
Klausur 4481
Klausur 5483
Abbildungen 485
Tabellen 489
Symbole und Abkürzungen 491
Das griechische Alphabet 493
Literatur 495
Index 497