Mathematik für Wirtschaftswissenschaften

Dr. Ingolf Terveer ist Akademischer Oberrat am Institut für Wirtschaftsinformatik der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster.

Vorwort9
1 Lineare Gleichungssysteme15
Übersicht15
1.1 Lineare Eingabe-Ausgabe-Beziehungen in der Wirtschaft15
1.2 Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen20
1.3 Das Gauß’sche Eliminationsverfahren24
1.3.1 Zeilenumformungen eines LGS25
1.3.2 Die Staffelform eines LGS26
1.3.3 Die Zeilenstufenform eines LGS29
Zusammenfassung31
2 Lineare Optimierung33
Übersicht33
2.1 Probleme der linearen Optimierung, Beispiele34
2.1.1 Optimaler Verbrauch von Rohstoffen34
2.1.2 Transportprobleme34
2.1.3 Zuordnungsprobleme35
2.2 Standardform eines LOP36
2.3 Simplex-Algorithmus38
2.3.1 Beispiel mit einer freien Variable38
2.3.2 Simplex-Tableau40
2.3.3 Basiswechsel mit einer freien Variablen42
2.3.4 Basiswechsel mit mehreren freien Variablen44
2.3.5 Schematische Darstellung des Simplex-Verfahrens48
2.3.6 Diskussion des Verfahrens49
2.4 Zweiphasenmethode50
2.5 Softwaregestützte Lösung linearer Optimierungsprobleme55
Zusammenfassung56
3 Vektoren in der Ökonomie59
Übersicht59
3.1 Vektoren und Operationen mit Vektoren59
3.1.1 Elementare Operationen mit Vektoren61
3.1.2 Vektorräume63
3.2 Koordinatensysteme und Linearkombinationen65
3.3 Untervektorraum und Basis75
3.3.1 Gewinnung einer Basis aus einem Erzeugendensystem77
3.3.2 Basisbestimmung für Lösungsmengen homogener linearer Gleichungssysteme78
3.4 Längen und Winkel: Geometrie mit Vektoren82
3.5 Abstandsmessung, Projektionen und KQ-Methode89
Zusammenfassung99
4 Matrizen in der Ökonomie101
Übersicht101
4.1 Matrix-Vektor-Verflechtungen101
4.2 Matrix-Matrix-Verflechtungen105
4.3 Quadratische Matrizen und Inversion von Matrizen110
4.4 Determinanten116
4.4.1 Berechnung der Determinante mittels Zeilenumformungen118
4.4.2 Laplace-Entwicklungsformel für Determinanten121
4.4.3 Strategien zur Berechnung von Determinanten122
4.4.4 Anwendungen der Determinante123
4.5 Eigenwerte und Eigenvektoren124
4.5.1 Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren126
4.5.2 Eigenwerte bei symmetrischen Matrizen128
4.6 Anwendungen der Matrizenrechnung130
4.6.1 Input-Output-Analysen und Leontief-Modelle131
4.6.2 Übergangsmatrizen und Markoff-Ketten133
Zusammenfassung138
5 Folgen und Reihen141
Übersicht141
5.1 Folgen, explizit versus implizit142
5.2 Konvergenz von Folgen144
5.2.1 Grenzwertbestimmung bei expliziten Folgen147
5.2.2 Grenzwertbestimmung bei impliziten Folgen149
5.2.3 Nachweismöglichkeiten für Konvergenz150
5.2.4 Konvergenz im Rn 152
5.3 Summenfolgen, unendliche Reihen und Potenzreihen154
5.3.1 Summenfolgen154
5.3.2 Unendliche Reihen156
5.3.3 Potenzreihen157
5.3.4 Erzeugende Funktionen159
5.4 Gleichgewichte bei Marktpreisen161
5.5 Finanzmathematische Folgen und Reihen164
5.5.1 Zinseszinsrechnung165
5.5.2 Rentenrechnung166
5.5.3 Annuitätenrechnung167
5.5.4 Barwert und Endwert167
5.5.5 Kapitalwert169
Zusammenfassung170
6 Differentialrechnung171
Übersicht171
6.1 Funktionen mehrerer Variablen172
6.1.1 Definitionsbereiche für Funktionen mehrerer Variablen172
6.1.2 Lineare und quadratische Funktionen mehrerer Variablen174
6.1.3 Grenzwerte von Funktionen mehrerer Variablen175
6.1.4 Grafische Darstellung176
6.2 Funktionen mehrerer Variablen in der Ökonomie178
6.2.1 Lineare Funktionen mehrerer Variablen in der Ökonomie178
6.2.2 Nachfragefunktionen in mehreren Variablen179
6.2.3 Produktionsfunktionen in mehreren Variablen182
6.2.4 Homogene Funktionen in der Ökonomie184
6.3 Ableitungskonzepte für Funktionen mehrerer Variablen186
6.3.1 Die partielle Ableitung186
6.3.2 Das Differential191
6.3.3 Ableitungsregeln für Funktionen mehrerer Variablen195
6.4 Ableitungskonzepte auf Grundlage des Differentials197
6.4.1 Richtungsableitung198
6.4.2 Elastizitäten203
6.4.3 Implizite Ableitungen und ihre Anwendungen204
6.5 Ableitungen zweiter Ordnung für Funktionen mehrerer Variablen212
6.5.1 Die Hesse-Matrix213
6.5.2 Krümmung impliziter Funktionen216
6.5.3 Konvexe Funktionen217
6.6 Integrale für Funktionen mehrerer Variablen224
6.6.1 Volumenintegrale224
6.6.2 Integrationsregeln226
Zusammenfassung230
7 Optimierungsaufgaben231
Übersicht231
7.1 Optimierungsaufgaben ohne Nebenbedingungen231
7.1.1 Bestimmung kritischer Punkte232
7.1.2 Hinreichende Bedingungen für lokale Extrema235
7.1.3 Optimierung konvexer Funktionen237
7.1.4 Numerische Optimierung mit dem Gradientenabstiegsverfahren240
7.1.5 Numerische Optimierung mit dem Newton-Verfahren241
7.2 Optimierung unter Nebenbedingungen243
7.2.1 Optimierung bei einer Nebenbedingung in Gleichungsform245
7.2.2 Optimierung bei m Gleichungs-Nebenbedingungen251
7.2.3 Optimierung unter einer Ungleichungsrestriktion253
7.2.4 Optimierung unter k Ungleichungsbedingungen255
7.3 Hinreichende Bedingungen für Extrema260
7.3.1 Hinreichende Bedingungen für lokale Extrema unter Nebenbedingungen261
7.3.2 Nachweis der Optimalität durch Randwertvergleich264
7.3.3 Optimierung konvexer Funktionen unter Nebenbedingungen270
7.4 Komparative Statik274
7.4.1 Ein Verbrauchsproblem275
7.4.2 Das Envelope-Theorem277
7.4.3 Ein Kostenproblem280
7.4.4 Das Theorem impliziter Funktionen282
Zusammenfassung284
Übungsklausuren285
Klausur 1285
Klausur 2287
Klausur 3289
Kontrollergebnisse zu den Übungsaufgaben291
Kontrollergebnisse zu den Übungsklausuren303
Abbildungen305
Tabellen307
Symbole und Abkürzungen309
Das griechische Alphabet311
Literatur313
Index315