Stellenwertverständnis im Zahlenraum bis 100 (eBook)

Geleitwort 5
Danksagung 6
Inhaltsverzeichnis 7
Abbildungsverzeichnis 10
Tabellenverzeichnis 11
1. Einleitung 14
2. Begriffsklärung: Stellenwert – Verständnis 16
2.1 Mathematische Definition von dezimalem Stellenwertsystem 16
2.2 Ausgewählte Theorien zur Klärung von Verständnis in dermathematikdidaktischen Forschung 17
2.2.1 Netzwerk von Informationsbestandteilen 18
2.2.2 Grundvorstellungen 19
2.2.3 Subjektive Erfahrungsbereiche 21
2.2.4 Zwischenfazit und Ausblick 23
3. Stellenwertverständnis als Gegenstand empirischer Forschung 24
3.1 Studien zur Beschreibung und Entwicklung von Stellenwertverständnis 24
3.1.1 Research and Development Related to Learning About Numerals for Whole Numbers, Ashlock (1978) - Forschung und Entwicklung mit Bezug zum Lernen über Ziffern für ganze Zahlen (eigene Übersetzung) 25
3.1.2 Encouraging thinking in mathematics, Kamii (1982) -Zu mathematischem Denken anregen (eigene Übersetzung) 28
3.1.3 A developmental theory of number understanding, Resnick (1983) -Eine Entwicklungstheorie zum Zahlverständnis (eigene Übersetzung) 30
3.1.4 Understanding of Numeration in Primary School, Bednarz & Janvier (1982)- Zahlverständnis in der Grundschule (eigene Übersetzung)
3.1.5 Parts, Wholes, and Place Value: A Developmental View, Ross (1989) & Ergänzung durch Ross (1985) - Teile, Ganze und Stellenwert: Eine Entwicklungsbetrachtung(eigene Übersetzung)
3.1.6 Children's Conceptual Structures for Multidigit Numbers and Methods of Multidigit Addition and Subtraction, Fuson, Wearne, Hiebert, Murray, Human, Oliver, Carpenter & Fennema (1997) - Konzeptuelle Strukturen für mehrstellige Zahlen und Methoden für mehrstellige Addition und Subtraktionvon Kindern (eigene Übersetzung)
3.1.7 Zwischenfazit 41
3.2 Studien zu Auswirkungen von Stellenwertverständnis und Zusammenhängen mit Rechenfertigkeiten 43
3.2.1 Instruction, Understanding, and Skill in Multidigit Addition and Subtraction, Hiebert & Wearne (1996) - Instruktionen, Verständnis und Fähigkeiten bei der Addition und Subtraktion zweistelliger Zahlen (eigene Übersetzung)
3.2.2 An investigation of the relationship between young children’s understanding of the concept of place value and their competence at mental addition, Thompson & Bramald (2002) - Untersuchung der Beziehung zwischen dem kindlichen Verständnis des Stellenwertkonzepts und der Kopfrechenkompetenz bei Additionsaufgaben (eigene Übersetzung)
3.2.3 Training in Place-Value Concepts Improves Children’s Addition Skills, Ho & Cheng (1997) - Übungen zum Stellenwertkonzept verbessern die Additionsfähigkeitenvon Kindern (eigene Übersetzung)
3.2.4 Zwischenfazit 49
3.3 Studien zum Einfluss von Zahlwortsystemen auf Stellenwertverständnis 49
3.3.1 Comparisons of children’s cognitive representation of number: China, France, Japan, Korea, Sweden, and the United States, Miura, Okamoto, Kim, Chang, Steere, & Fayol (1994) - Vergleiche von kognitiven Zahlrepräsentationen bei Kindern: China, Frankreich, Japan, Korea, Schweden und Amerika (eigene Übersetzung)
3.3.2 Whorf reloaded – Language effects on non-verbal number processing in 1st grade – a trilingual study, Pixner, Möller, Hermanova, Nürk und Kaufmann (2011) - Sprachliche Effekte auf die nonverbale Zahlverarbeitung in der ersten Klasse. Eine trilinguale Studie (eigene Übersetzung) 52
3.3.3 Zwischenfazit 52
3.4 Zusammenfassung und Übersicht 53
4. Theoretische Darstellung der arithmetischen Inhalte zurBeschreibung von Stellenwertverständnis 55
4.1 Arithmetische Inhalte als Bestandteile zum Stellenwertverständnis 55
4.1.1 Zahlrepräsentation: Zahlzeichen 56
4.1.2 Zahlrepräsentation: Zahlwort 57
4.1.3 Zahlrepräsentation: Zahldarstellung 61
4.1.4 Stellenwertprinzip und Bündelungsprinzip im ZR 100 63
4.1.5 Übersetzungen zwischen Zahlrepräsentationen 65
4.1.5.1 Übersetzungen zwischen Zahlzeichen und Zahlwort 66
4.1.5.2 Übersetzungen zwischen Zahlwort und Zahldarstellung 67
4.1.5.3 Übersetzungen zwischen Zahlzeichen und Zahldarstellung 67
4.1.6 Zwischenfazit 68
4.2 Vorkenntnisse zum Stellenwertverständnis 69
4.2.1 Zählen (bis 9 bzw. 12) 69
4.2.2 Strukturieren 70
4.2.3 Nutzen der Teil-Ganzes-Beziehung 70
4.2.4 Bündeln 72
4.3 Modell zur Beschreibung von Stellenwertverständnis und Zwischenfazit 73
4.4 Anwendungsbereiche von Stellenwertverständnis 74
5. Typische Fehler, problematische Prozesse und Einflussfaktoren fürStellenwertverständnis 76
5.1 Fehler und problematische Prozesse innerhalb einer Zahlrepräsentation 76
5.1.1 Zahlwort 76
5.1.2 Zahlzeichen 77
5.2 Fehler und problematische Prozesse beim Übersetzen zwischenZahlrepräsentationen 78
5.2.1 Materialspezifische Fehler 78
5.2.2 Materialunspezifische Fehler 79
5.2.2.1 Interpretationsfehler des Zahlzeichens 79
5.2.1.1 Lautgetreue Schreibweise 81
5.2.1.2 Problematische Prozesse/ wenig flexible Nutzung von Strukturen 81
5.3 Fehler repräsentationsübergreifend 81
5.4 Zusammenfassung 83
6. Formulierung der Forschungsfragen 86
7. Empirische Untersuchung im Bereich Stellenwertverständnis imQuerschnittdesign 89
7.1 Methode 89
7.2 Stichprobe 90
7.3 Durchführung der Interviews 91
7.4 Auswertung der Interviews 92
7.5 Auswertungen der empirischen Ergebnisse 93
7.5.1 Empirische Ergebnisse: Anwendungsbereich von Stellenwertverständnis 95
7.5.1.1 Aufgabe: 30+7 95
7.5.1.2 Aufgabe: 26+30 97
7.5.1.3 Aufgabe: 54–40 99
7.5.1.4 Aufgabe: 70–8 101
7.5.1.5 Aufgabe: Analogienutzung 103
7.5.1.6 Zwischenfazit 105
7.5.2 Empirische Ergebnisse: Zahlzeichen 106
7.5.2.1 Vergleich zwischen Zahlzeichen (Stellenwertprinzip) 106
7.5.2.2 Interpretation eines Zahlzeichens (Bündelungsprinzip) 109
7.5.3 Empirische Ergebnisse: Zahlwort 112
7.5.3.1 Zählen (über 12) 112
7.5.3.1.1 Weiterzählen 113
7.5.3.1.2 Rückwärtszählen 116
7.5.3.1.3 Zählen in Zehnerschritten (Zehnerzahlen) 118
7.5.3.1.4 Zählen in Zehnerschritten (gemischte Zahlen) 120
7.5.3.1.5 Zwischenfazit 124
7.5.3.2 Vergleich von Zahlen über Zahlworte 125
7.5.3.3 Übertragungen zwischen Zahlsprechweisen (Bündelungsprinzip) 127
7.5.3.3.1 Kanonische Übertragung: drei Zehner und sieben Einer 127
7.5.3.3.2 Nicht-kanonische Übertragung: vier Zehner und 13 Einer 130
7.5.3.3.3 Vergleich nicht-kanonischer und kanonischer Bündelungen: achtZehner oder sechzig Einer 133
7.5.3.3.4 Zwischenfazit 135
7.5.3.4 Interpretation des Zahlwortes Hundert (Bündelungsprinzip) 135
7.5.4 Empirische Ergebnisse: Zahldarstellung 138
7.5.5 Empirische Ergebnisse: Stellenwertprinzip und Bündelungsprinzip 142
7.5.5.1 Zahlauffassung nicht-kanonischer Zahldarstellungen 143
7.5.5.2 Zahldarstellung nicht-kanonischer Zahldarstellungen 147
7.5.5.3 Zuordnung von Ziffern im Zahlzeichen zur Zahldarstellung 151
7.5.5.4 Bedeutung der 0 an der Einerstelle 157
7.5.5.5 Bedeutung des Begriffs Zehner 162
7.5.6 Empirische Ergebnisse: Übersetzungen zwischen Zahlrepräsentationen 165
7.5.6.1 Zahlzeichen in Zahlwort 166
7.5.6.2 Zahlwort in Zahlzeichen 171
7.5.6.3 Zahlwort in Zahldarstellung 175
7.5.6.3.1 Zahldarstellung an Mehrsystemblöcken 175
7.5.6.3.2 Zahldarstellung am Rechenrahmen 177
7.5.6.3.3 Zahldarstellung an der Stellenwerttafel 180
7.5.6.3.4 Zwischenfazit und Bezug zum Modell zur Beschreibung vonStellenwertverständnis 182
7.5.6.4 Zahldarstellung in Zahlwort 184
7.5.6.4.1 Zahlauffassung an Mehrsystemblöcken 184
7.5.6.4.2 Zahlauffassung am Rechenrahmen 185
7.5.6.4.3 Zahlauffassung an Stellenwerttafel 187
7.5.6.4.4 Zwischenfazit und Bezug zum Modell zur Beschreibung vonStellenwertverständnis 188
7.5.6.5 Zahlzeichen in Zahldarstellung 190
7.5.6.5.1 Zahldarstellung an Mehrsystemblöcken 190
7.5.6.5.2 Zahldarstellung am Rechenrahmen 192
7.5.6.5.3 Zahldarstellung an der Stellenwerttafel 194
7.5.6.5.4 Zwischenfazit und Bezug zum Modell zur Beschreibung von Stellenwertverständnis 195
7.5.6.6 Zahldarstellung in Zahlzeichen 196
7.5.6.6.1 Zahldarstellung an Mehrsystemblöcken 196
7.5.6.6.2 Zahldarstellung am Rechenrahmen 198
7.5.6.6.3 Zahldarstellung an der Stellenwerttafel 202
7.5.6.6.4 Zwischenfazit und Bezug zum Modell zur Beschreibung von Stellenwertverständnis 203
7.5.7 Empirische Ergebnisse: Vorkenntnisse zum Stellenwertverständnis 204
6.5.6.1 Zählen (bis 12) 205
6.5.6.2 Strukturieren 205
6.5.6.3 Nutzen der Teile-Ganzes-Beziehung 209
6.5.6.4 Bündeln 211
8. Gesamtinterpretation der Ergebnisse 215
8.1 Beschreibung markanter Aspekte zum Stellenwertverständnis 215
8.1.1 Zahlendreher – repräsentationsübergreifend 215
8.1.2 Zehner – als Begriff und in der Zahlvorstellung 217
8.1.3 Differenzierung semantischer und syntaktischer Ebene 219
8.1.4 Qualität von Übersetzungen zwischen Zahlrepräsentationen und dessen Zusammenhangmit der Vorkenntnis Strukturieren 220
8.2 Zuordnung der aufgetretenen Fehler zu möglichen Ursachen 222
8.3 Mögliche Beschreibung von Stellenwertverständnis für den deutschenSprachraum 227
8.3.1 Beschreibung auf empirischer Basis 228
8.3.2 Mögliche Definition von Stellenwertverständnis 231
8.3.3 Begründung der Theoriewahl zum Verständnisbegriff 232
8.3.4 Entwicklung von Stellenwertverständnis 234
9. Zusammenfassung und Ausblick 243
10. Literaturverzeichnis 246