Mathematik – Medien – Bildung (eBook)

Prof. Dr. rer. nat. Dr. phil. habil. Horst Hischer, Universität des Saarlandes (Mathematik und ihre Didaktik). Arbeitsgebiete: Mathematikunterricht im Kontext von Allgemeinbildung, Elementarmathematik, Geschichte der Mathematik, Integrativer Medienpädagogik, Informatik und Neuen Medien.Dr. phil. Wolf-Rüdiger Wagner (Germanistik, Politikwissenschaft und Philosophie). Schwerpunkt seiner Arbeit sowohl als Fachbuchautor als auch in der Lehrerbildung: (Integrative) Medienpädagogik.

Vorwort 6
Inhalt 12
1 Einleitung: Mathematik, Medien, Bildung – Medienbildung? 18
Teil I: Theorie 21
2 Bildungstheoretische Grundlagen 22
2.1 Bildung und Allgemeinbildung 22
2.1.1 Prolog: wider den Zeitgeist 22
2.1.2 Zur Genese des Bildungsbegriffs im deutschen Sprachraum 23
2.1.2.1 Vorbemerkung 23
2.1.2.2 Die Phase zwischen 1770 und 1830 24
2.1.2.3 Zum Bildungsbegriff in klassischen Enzyklopädien 25
2.1.2.4 „Bildung“ als Prozess der Entwicklung der Bildsamkeit 26
2.1.2.5 Kategoriale Bildung als Dualismus, nicht aber als Dichotomie 27
2.1.2.6 Klafki und „die Heimholung des Bildungsbegriffs“ 28
2.1.3 Zum heutigen Verständnis von Allgemeinbildung 29
2.1.3.1 Die „doppelte Positionierung“ der Didaktik der Mathematik 29
2.1.3.2 Klafki: Allgemeinbildung in fachübergreifender Sicht 29
2.1.4 Offenheit und Unterrichtsziele vs. Lernziele 32
2.1.5 Inhalt, Thema, Unterrichtsinhalt, Bildungsinhalt und Bildungsgehalt 33
2.2 Mathematikunterricht und Allgemeinbildung 34
2.2.1 Zur Leitposition der wissenschaftlichen Didaktik der Mathematik 34
2.2.2 Wittenberg: Bildung und Mathematik 35
2.2.3 Heymann: Thesen zu einem allgemeinbildenden Mathematikunterricht 38
2.2.4 Winter: Grunderfahrungen für eine mathematische Allgemeinbildung 40
2.2.5 Mathematik – Anwendung – Spiel – Irrtum 41
2.3 Technik und Technologie 45
2.4 Didaktik oder Methodik? – Methodik als Teil der Didaktik! 48
2.5 „Kompetenzen“? – ein kritisch-konstruktiver Einwurf 50
2.6 Am Rande: Bildung und Wissen – Bildung ist das Paradies! 56
3 Medien im didaktischen Kontext 60
3.1 Medien, Kultur und Enkulturation 60
3.1.1 „Medien“ im naiven umgangssprachlichen Verständnis 60
3.1.2 Kron: „Medium“ im bildungswissenschaftlichen Verständnis 62
3.1.3 „Kultur“ in naiver und philosophischer Sicht 63
3.1.4 Kulturtechniken 67
3.1.5 Herskovits & Loch: „Kultur“ im bildungswissenschaftlichen Verständnis
3.1.6 Enkulturation: Didaktik als Enkulturationswissenschaft 70
3.1.7 „Medium“ als Umgebung 71
3.2 „Medium“ alsGenus verbi im Griechischen 74
3.3 Medien als Werkzeuge zur Weltaneignung und als künstliche Sinnesorgane 77
3.4 Medien im didaktischen Kontext: „mediale Aspekte“ 79
3.5 Medien: enge Auffassung versus weite Auffassung 80
3.6 Ein Blick auf aktuelle technische Medien 82
3.7 Neue Medien 83
3.8 Medien im Unterricht als Werkzeug oder als Hilfsmittel? 84
3.9 Medienpädagogik 85
3.10 Integrative Medienpädagogik 87
3.11 Medien als Unterrichtsmittel oder als Unterrichtsgegenstand? 90
3.12 Medienbildung – Schlagwort oder Bildungskonzept? 92
3.13 „Medienbildung“ als „Integrative Medienpädagogik“ 94
3.14 Rückblick und Ausblick aus medienphilosophischer Sicht 97
4 Medialitätsbewusstsein 100
4.1 Prolog 100
4.2 Medien – Medialitätsbewusstsein – Medienbildung 107
4.3 Zur generellen Medialität unserer Weltzugänge 110
4.4 Medien als künstliche Sinnesorgane 110
4.5 Medien als „Kulturtechniken“ 112
4.6 Kulturtechniken und Generierung von Wissen 117
4.7 Mediengenerativismus versus Medienmarginalismus 118
4.8 Medialität 120
4.8.1 Alltagswirklichkeit versus Medienwirklichkeit 120
4.8.2 Medialität als „sinnmiterzeugendes“ Potential 121
4.8.3 „Sinn“ ist immer an eine mediale Form gebunden 123
4.8.4 „Nur in der Prozessualität eines Vollzugs ist etwas überhaupt ein Medium“ 124
4.8.5 Geräte und Verfahren werden zu Medien, indem sie Programme zur Aneignung von Welt unterstützen 127
4.8.6 Medien entfalten ihr Potential im Zusammenwirken von Geräten und Verfahren 130
4.9 Relevanz der Medialitätsforschung für die Medienbildung 131
4.9.1 „Wissensbilder“ 132
4.9.2 Graphische Darstellungen als Evidenzerzeuger 133
4.9.3 Leitmedien und ihr kulturprägendes Potential 134
4.10 Medialitätsbewusstsein als Bildungsziel 136
4.11 Fazit 138
Teil II: Beispiele 141
5 Mathematik und Medien – Vorbetrachtungen 143
5.1 Mediale Aspekte 143
5.2 Mathematikunterricht und Medialitätsbewusstsein 144
5.3 Mathematik als Medium im historischen Kontext 148
5.3.1 Mathematik zwischen Anwendung und Spiel 148
5.3.2 Mathematik als Medium 149
5.3.3 Mathematik, Medien und Bildung im historischen Kontext 152
6 Neue Medien 155
6.1 Neue Medien als Auslöser der Diskussion um Medienbildung 155
6.2 Funktionenplotter 156
6.2.1 Zur Geschichte der Funktionenplotter 156
6.2.2 Zur Struktur von Funktionenplottern 158
6.2.3 Funktionsplots termbasierter Funktionen 159
6.2.3.1 Funktionsplot als Simulation eines Funktionsgraphen 159
6.2.3.2 Funktionsgraph versus Funktionsplot 160
6.2.3.3 Medienbildende Konsequenz: „Idee“ versus „Simulation“ 161
6.2.4 Überlagerungsphänomene bei periodischen Strukturen 162
6.2.4.1 Rückwärts laufende Kutschenräder in Wildwestfilmen 162
6.2.4.2 Fehldarstellungen durch Funktionenplotter 162
6.2.4.3 Merkwürdige Ansichten von Brückengeländern 163
6.2.4.4 Schwebungen 164
6.2.4.5 Zusammenfassung und Weiterung 164
6.2.5 Aliasing bei Funktionenplottern 167
6.2.5.1 Funktion und Simulation 167
6.2.5.2 Aliasing als Abtastphänomen 168
6.2.6 Elementare Sätze über Funktionenplotter 170
6.2.7 Merkwürdiges: die „Hauptsätze für Funktionenplotter“ 171
6.3 Computeralgebrasysteme 174
6.3.1 Zur Struktur von Computeralgebrasystemen 174
6.3.1.1 Übersicht und Geschichte 174
6.3.1.2 Grundlegende Betriebsarten eines Computeralgebrasystems 175
6.3.1.3 Termersetzungstechniken 176
6.3.1.4 Analysis mit CAS? 177
6.3.1.5 CAS und Künstliche Intelligenz? 178
6.3.2 Computeralgebrasysteme und Mathematikunterricht 179
6.3.2.1 Computeralgebrasysteme als Auslöser grundlegender didaktischer Erörterungen 179
6.3.2.2 Wie viel Termumformung „braucht“ der Mensch? 180
6.3.2.3 Zur Auslagerung von Fertigkeiten auf Computeralgebrasysteme 182
6.3.2.4 Das epistemologische Dreieck und der Einsatz von Computeralgebrasystemen 183
6.4 Tabellenkalkulationsysteme 185
6.4.1 Überblick 185
6.4.2 Historische Anmerkungen 186
6.4.3 Zur Struktur von Tabellenkalkulationssystemen 187
6.4.4 Beispiele zur Verwendung von Rechenblättern 187
6.4.4.1 Tabellierung termdefinierter Funktionen 187
6.4.4.2 TKS sowohl als termbasierte als auch als punktbasierte Funktionenplotter 190
6.4.4.3 Greedy-Algorithmus mit Tabellenkalkulation 191
6.5 Bewegungsgeometriesysteme – Dynamische Geometrie 192
6.5.1 Vorbemerkung 192
6.5.2 Historische Aspekte 193
6.5.3 Typische Eigenschaften 194
6.6 Internet und World Wide Web (WWW) 194
6.6.1 Historische Aspekte 194
6.6.2 Zur Struktur 195
6.6.3 Recherchemöglichkeiten 195
6.7 Anthropomorphisierende Aspekte als „Medialität“ 196
6.7.1 Vorbemerkung 196
6.7.2 Beispiele 197
6.7.2.1 Trivialisierer 197
6.7.2.2 Beweiser und Entdecker 199
6.7.2.3 Rechenknecht, Möglichkeitserweiterer, Türöffner und „Rennen gegen die Mauer“ 200
6.7.2.4 Täuscher und Blender 202
6.7.2.5 Recherchierer 204
7 Funktionen als Medien 205
7.1 Funktionen und Medienbildung 205
7.2 Zum aktuell nicht einheitlichen Verständnis von „Funktion“ 207
7.3 Funktionen haben viele Gesichter 208
7.4 Zeittafel zur Entwicklung des Funktionsbegriffs 210
7.5 Funktionen als Tabellen bei den Babyloniern 211
7.6 Zur Dominanz zeitachsenorientierter Funktionen seit etwa 1000 n. Chr. 213
7.6.1 Klosterschule: Darstellung des Zodiacs in einem Koordinatensystem 214
7.6.2 Guido von Arezzo: Begründer der Notenschrift 217
7.6.3 Nicole d‘Oresme: geometrische Darstellung zeitabhängiger Funktionen 219
7.7 Empirische Funktionen im Vorstadium formaler Begriffsentwicklung 222
7.7.1 Überblick 222
7.7.2 1551 Rheticus: erste trigonometrische Tabellen 223
7.7.3 1614 John Napier: erste „Logarithmentafeln“? 224
7.7.4 1662 John Graunt: erste demographische Statistik 226
7.7.5 1669 Christiaan Huygens: „Lebenslinie“ und „Lebenserwartungszeit“ 227
7.7.6 1686 Edmund Halley: Luftdruckkurve 227
7.7.7 1741 / 1761 Johann Peter Süßmilch: geistiger Vater der Demographie 228
7.7.8 1762 / 1779 Johann Heinrich Lambert: Langzeittemperaturmessungen 229
7.7.9 1786 / 1821 William Playfair: Datenvisualisierung durch Charts 233
7.7.10 1795 / 1797 Louis Ézéchiel Pouchet: Nomogramme 234
7.7.11 1796 James Watt & John Southern: Dampfmaschine und Kreisprozess
7.7.12 1817 Alexander von Humboldt: erstmals geographische Isothermen 235
7.7.13 1821 Jean Baptiste Joseph Fourier: Häufigkeitsverteilung 235
7.8 Beginn der expliziten Begriffsentwicklung von „Funktion“ 236
7.8.1 Überblick 236
7.8.2 1671 Isaac Newton: Fluxionen und Fluenten 236
7.8.3 1673 / 1694 Gottfried Wilhelm Leibniz: erstmals das Wort „Funktion“ 237
7.8.4 1706 / 1718 Johann I. Bernoulli: erstmals Definition von „Funktion“ 238
7.8.5 1748 Leonhard Euler: erstmals „Funktion“ als grundlegender Begriff 239
7.9 Entwicklung zum modernen Funktionsbegriff seit Anfang des 19. Jhs. 241
7.9.1 1822 Jean Baptiste Fourier: erste termfreie Definition von „Funktion“ 241
7.9.2 1829 / 1837 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet: termfreier Funktionsbegriff 242
7.9.3 1875 Paul Du Bois-Reymond: Funktion als Tabelle 245
7.9.4 1887 Richard Dedekind: Abbildung als eindeutige Zuordnung 246
7.9.5 1891 Gottlob Frege – Präzision: 247
7.9.6 Ende 19. Jh. Peirce, Schröder, Peano: erstmals Funktion als Relation 249
7.9.7 1903 – 1910 Russell, Zermelo, Whitehead: Annäherung an „Relation“ 249
7.9.8 1914 Felix Hausdorff: mengentheoretische Definition von „Funktion“ als „Relation“ 250
7.9.9 Funktion und Funktionsgraph: eine kuriose Konsequenz 251
7.10 „Gesichter“ von Funktionen: ungewöhnliche Beispiele 252
7.10.1 Vorbemerkungen 252
7.10.1.1 Anfang des 21. Jhs.: Die große Vielfalt – Funktionen haben viele Gesichter 252
7.10.1.2 Zu „medialen Sichtweisen“ von Funktionen 252
7.10.2 Bilder als Funktionen – Sichtbare Funktionen 253
7.10.3 Funktionenplotter, Funktionsplots und Schaubilder von Funktionen 253
7.10.4 Scanner als materialisierte Funktion: Diskretisierung und Digitalisierung 254
7.10.5 Hörbare Funktionen 255
7.10.6 Funktionenplotter, Kameras, Projektoren und Filme als Funktionen 258
7.11 Fazit 259
8 Zur Medialität mathematischer „Probleme“ am Beispiel der „drei klassischen Probleme“ 263
8.1 Die drei Probleme in früher schulbezogener Literatur 263
8.2 Überblick zur Behandlung der drei Probleme in der Antike 265
8.2.1 Problemskizzen 265
8.2.2 „Konstruktion mit Zirkel und Lineal“ in medialer Sicht 267
8.2.3 Zur Entstehung der drei klassischen Probleme in der Antike 269
8.2.3.1 Zeittafel 269
8.2.3.2 Quadratur des Kreises 269
8.2.3.3 Verdoppelung des Würfels 270
8.2.3.4 Dreiteilung eines Winkels Hippias von Elis 272
8.2.4 Exakte Lösungen vs. Näherungslösungen? 273
8.3 Gemeinsamkeiten und Unterschiede der drei Probleme 274
8.3.1 Strukturelle Aspekte 274
8.3.2 Mediale Aspekte 276
8.4 Dreiteilung eines Winkels 277
8.4.1 Ausgangslage: Strahlensatz ist nicht direkt anwendbar 277
8.4.2 Lösungswerkzeug: die Trisectrix des Hippias von Elis 277
8.4.3 Lösungswerkzeug: die Archimedische Spirale 278
8.4.4 Lösungswerkzeug: das „Einschiebelineal“ des Archimedes 280
8.4.5 Lösungswerkzeug: die Muschellinie des Nikomedes 282
8.5 Verdoppelung des Würfels 284
8.5.1 Grundidee: Ermittlung von zwei mittleren Proportionalen 284
8.5.2 Lösungsweg: mechanische Einschiebung 287
8.5.2.1 Einschiebung mit einem Holzrahmen-Apparat (vermutlich durch Eratosthenes) 287
8.5.2.2 Einschiebung mit einem Winkelhaken-Paar (vermutlich durch Hippokrates) 289
8.5.2.3 Zur Fehlzuweisung dieser Einschiebelösungen zu Platon 290
8.5.3 Lösungsweg: die „krumme Linie“ des Archytas von Tarent 292
8.5.4 Lösungsweg: die Muschellinie (Konchoïde) des Nikomedes 295
8.5.5 Lösungsweg: das Mesolabium des Eratosthenes 296
8.5.6 Lösungsweg: Schnittpunkt von zwei Kegelschnitten nach Menaichmos 298
8.5.7 Lösungsweg: Schnittpunkt von Parabel und Kreis nach Descartes 300
8.6 Quadratur des Kreises 301
8.6.1 Lösungswerkzeuge: die Trisectrix als Quadratrix, Satz des Dinostratos 301
8.6.2 Lösungswerkzeug: die Archimedische Spirale 303
8.7 Ergänzungen 305
8.7.1 Zur „Neusis“ als Lösungsmethode 305
8.7.2 Konstruktion mit Zirkel und Lineal: 309
8.7.3 Vertiefung: exakte Lösungen vs. Näherungslösungen 313
8.7.4 19. Jahrhundert: die endgültige Lösung der drei klassischen Probleme 316
8.7.4.1 Definition: „mit Zirkel und Lineal konstruierbar“ 316
8.7.4.2 Das Delische Problem 316
8.7.4.3 Die Quadratur des Kreises 316
8.7.4.4 Die Winkeldreiteilung 317
8.7.5 Zusammenfassung 317
8.7.5.1 Winkeldreiteilung 317
8.7.5.2 Würfelverdoppelung 318
8.7.5.3 Kreisquadratur 318
8.7.5.4 Tabellarischer Überblick 319
8.8 Fazit 320
9 Weitere mediale Aspekte in der Mathematik 323
9.1 Visualisierungen 323
9.1.1 „Visualisierung“ – was ist das eigentlich? 323
9.1.2 Visualisierungen in der Mathematik 324
9.1.3 Beweise ohne Worte 326
9.1.4 Figurierte Zahlen 328
9.1.5 Illusionen durch Visualisierung unmöglicher Figuren 331
9.1.6 Optische Täuschungen 334
9.2 Historische Werkzeuge der Mathematik 335
9.2.1 Vorbemerkung 335
9.2.2 Mechanische Instrumente zum Zeichnen, Messen und Rechnen 336
9.2.3 Auf dem Wege zur Entwicklung von Rechenmaschinen 337
9.2.4 Tafelwerke 339
9.2.5 Rechenschieber 341
9.2.6 Mathematische Papiere 342
9.3 Formale Aspekte 345
9.3.1 Vorbemerkung 345
9.3.2 Variablen, Logik und Mengen 345
9.3.3 Algorithmen und Kalküle 347
9.3.3.1 Erste Begriffsbeschreibungen 347
9.3.3.2 Zur Geschichte 348
9.3.3.3 Zu Begriffsdefinitionen von „Algorithmus“ und „Kalkül“ 348
9.3.3.4 Beispiele für Kalküle 351
9.3.4 Axiome, Strukturen und Modelle 353
9.3.4.1 Vorbemerkung 353
9.3.4.2 Historische Aspekte zu Axiomen 354
9.3.4.3 Aktuelle Auffassungen zu Axiomen und Axiomensystemen 356
9.3.4.4 Heteronome und autonome Axiomensysteme 358
9.3.4.5 Axiomatische Beschreibung mathematischer Strukturen 360
9.3.4.6 Modell, Widerspruchsfreiheit, Monomorphie und Vollständigkeit 362
9.3.4.7 Modell und Modellierung in der Mathematik bzw. in der Physik 364
9.3.4.8 Modell und Modellierung: Heinrich Hertz – Modellieren als Axiomatisieren 367
9.4 Mathematik, Sprache und Logik 370
9.5 Fazit 372
10 Vernetzung als Medium zur Weltaneignung 373
10.1 Einleitung 373
10.2 Kleine Welten und Netzwerke 373
10.2.1 Vorbemerkung 373
10.2.2 Kleine Welten – zwei Einstiegsbeispiele und ihre (Be-)Deutung 374
10.2.2.1 Das Kevin-Bacon-Orakel 374
10.2.2.2 Die Erdös-Zahl 377
10.2.2.3 Der Akteurs-Graph und der Erdös-Graph als „Kleine Welten“ 381
10.2.2.4 Der Mathematiker-Graph und das Potenzgesetz („Power Law“) 382
10.3 Netz, Netzwerke und Vernetzung 385
10.3.1 Vorbemerkung 385
10.3.2 Alltagssprachlicher Bedeutungsumfang von „Netz“ 388
10.3.3 „Netz“ in pädagogisch-didaktischer axiomatisch orientierter Sicht 390
10.3.4 Netzgraphen, Netzwerke, Vernetzung und Verzweigung 392
10.3.5 Das „Netz-Dilemma“ 396
10.4 Modellierung natürlich wachsender Netzwerke 397
10.4.1 Übersicht 397
10.4.2 Das „ER-Modell“ von Erdos und Rényi (1959) 398
10.4.3 Das „WS-Modell“ von Watts und Strogatz (1998) 399
10.4.4 Das „BA-Modell“ von Barabási und Albert (1999) 401
10.4.5 Ausfallverhalten von Netzwerken: Fehlertoleranz und Stabilität 406
10.4.6 Zusammenfassung 411
10.5 Fazit: Vernetzung als Medium zur Weltaneignung 412
10.5.1 Vorbemerkung 412
10.5.2 Vernetzung, Kleine Welten und Mathematikdidaktik: Grundsätzliches 412
10.5.3 Kleine Welten, BA-Modell und „vernetzender Unterricht“ 414
10.5.3.1 Grundsätzliches 414
10.5.3.2 kleiner mittlerer Knotenabstand 415
10.5.3.3 Naben 416
10.5.3.4 Ausfallverhalten 416
10.5.4 Kleine Welten, Netzwerke: Anregungen für den Mathematikunterricht 417
10.5.5 Pädagogische Aspekte: soziale Netzwerke 418
10.5.6 Zusammenfassung 421
11 Nachwort 423
12 Literatur 429
13 Abbildungsverzeichnis 455
14 Register 459