Denkstrukturen in Lösungsansätzen von Modellierungsaufgaben (eBook)

Danksagung 6
Zusammenfassung 8
Abstract 12
Inhaltsverzeichnis 14
Kapitel 1 Einleitung 18
Teil I Theoretische Grundlagen 20
Kapitel 2 Mathematisches Modellieren 22
2.1 Begriffsdefinition 22
2.1.1 Mathematisches Modell 23
2.1.2 Mathematisches Modellieren 25
2.1.3 Modellierungskreislauf 28
2.1.4 Modellierungsaufgaben 33
2.2 Zielsetzungen 36
Kapitel 3 Mathematisches Modellieren im Mathematikunterricht 42
3.1 Mathematisches Modellieren im Schulalltag 43
3.2 Schwierigkeiten und Hindernisse 44
3.2.1 Organisatorische Hindernisse 45
3.2.2 Schülerbezogene Hindernisse 46
3.2.3 Materialbezogene Hindernisse 47
3.2.4 Lehrerbezogene Hindernisse 48
3.3 Bewertung von Modellierungsaufgaben 50
3.4 Aufgabenschwierigkeit 55
3.5 Folgerungen für die vorliegende Arbeit 58
Teil II Forschungsansatz und Zielsetzung 59
Kapitel 4 Forschungsfragen 61
Kapitel 5 Schwierigkeit von Modellierungsaufgaben 64
5.1 Die Struktur von Lösungsansätzen 65
5.1.1 Beziehung zu Modellbildungssoftware 68
5.1.2 Der Zusammenhang von Lösungsstruktur und Schwierigkeit 72
5.2 Denkstrukturanalyse 73
5.2.1 Verortung von Denkoperationen in der Denkstruktur 79
Lösungsansatz Zeilen/Spalten 79
Lösungsansatz Fläche 81
Fazit 83
5.3 Denkstrukturen und das Arbeitsgedächtnis 85
5.4 Komplexität der Aufgabenstellung 87
5.5 Modelle zur Bestimmung der Schwierigkeit von Lösungsansätzen 92
Additionsmodell 96
Maximummodell 96
Quadratmodell 97
Vektorlängenmodell 98
Fakultätsmodell 98
Teil III Methode 100
Kapitel 6 Konzeption der Studie 102
6.1 Ablauf und Stichprobe 102
6.2 Aufgabenentwicklung 104
6.2.1 Kriterien zur Entwicklung der Modellierungsaufgaben 105
6.3 Die Modellierungsaufgaben 106
6.3.1 Taj Mahal 106
6.3.2 Kartoffel 108
6.3.3 Cola 110
6.3.4 Tennisschläger 112
6.3.5 Brücke 114
Kapitel 7 Komplexität der Aufgabenstellung 117
Kapitel 8 Kategorisierung von Schülerlösungen 120
8.1 Lösungsansätze Taj Mahal 121
8.1.1 Lösungsansatz Fläche 123
8.1.2 Lösungsansatz Zeilen/Spalten 126
8.1.3 Lösungsansatz Etage 129
Kapitel 9 Denkstrukturen und Schwierigkeitsgrad 132
9.1 Denkstrukturanalyse Taj Mahal 132
9.1.1 Fläche 134
9.1.2 Lösungsansatz Zeilen/Spalten 137
9.1.3 Lösungsansatz Etage 139
9.2 Theoretische Schwierigkeit der Lösungsansätze Taj Mahal 142
Kapitel 10 Bewertungsschema 144
10.1 Entwicklung eines Bewertungsschemas 145
10.2 Bewertungsschemata Taj Mahal 146
10.2.1 Lösungsansatz Fläche 147
10.2.2 Lösungsansatz Zeilen/Spalten 150
10.2.3 Etage 152
Teil IV Ergebnisse, Diskussion und Ausblick 154
Kapitel 11 Ergebnisse und Auswertung 156
11.1 Lösungsraum der Modellierungsaufgaben 158
Zusammenfassung 160
11.2 Empirische Schwierigkeit 161
Zusammenfassung 166
11.3 Vergleich von empirischer und theoretischer Schwierigkeit 167
11.3.1 Regressionsmodelle und Gütemaß 167
11.3.2 Empirische und theoretische Schwierigkeit der Lösungsansätze 171
Zusammenfassung 179
11.3.3 Empirische und theoretische Schwierigkeit der Modellierungsaufgaben 180
Zusammenfassung 183
Kapitel 12 Diskussion der Ergebnisse 185
12.1 Lösungsraum der Modellierungsaufgaben 185
12.2 Analyse der empirischen Schwierigkeit 187
12.3 Analyse des theoretischen und empirischen Schwierigkeitsvergleichs auf Ebene der Lösungsansätze 188
12.4 Analyse des theoretischen und empirischen Schwierigkeitsvergleichs auf Ebene der Modellierungsaufgaben 190
Kapitel 13 Zusammenfassung und Ausblick 192
Kapitel A Test-Booklets 196
Kapitel B Analyse der restlichen Modellierungsaufgaben 204
B.1 Modellierungsaufgabe Kartoffel 205
B.1.1 Lösungsansätze 205
Lösungsansatz Schicht von Modellierungsaufgabe Kartoffel 206
Lösungsansatz Quadervolumen von Modellierungsaufgabe Kartoffel 207
Lösungsansatz Zylindervolumen von Modellierungsaufgabe Kartoffel 210
Lösungsansatz Fläche von Modellierungsaufgabe Kartoffel 211
B.1.2 Denkstrukturanalyse 215
Denkstrukturanalyse des Lösungsansatzes Schicht von Modellierungsaufgabe Kartoffel 215
Denkstrukturanalyse des Lösungsansatzes Quadervolumen von Modellierungsaufgabe Kartoffel 217
Denkstrukturanalyse des Lösungsansatzes Zylindervolumen von Modellierungsaufgabe Kartoffel 219
Denkstrukturanalyse des Lösungsansatzes Fläche von Modellierungsaufgabe Kartoffel 221
B.1.3 Bewertungsschemata 222
B.2 Modellierungsaufgabe Cola 227
B.2.1 Lösungsansätze 227
Lösungsansatz Quader von Modellierungsaufgabe Cola 227
Lösungsansatz Zylinder von Modellierungsaufgabe Cola 229
Lösungsansatz Zerlegung von Modellierungsaufgabe Cola 230
B.2.2 Denkstrukturanalyse 235
Denkstrukturanalyse des Lösungsansatzes Quader von Modellierungsaufgabe Cola 235
Denkstrukturanalyse des Lösungsansatzes Zylinder von Modellierungsaufgabe Cola 237
Denkstrukturanalyse des Lösungsansatzes Zerlegung von Modellierungsaufgabe Cola 239
B.2.3 Bewertungsschemata 240
B.3 Modellierungsaufgabe Tennisschläger 244
B.3.1 Lösungsansätze 244
Lösungsansatz Rechteck von Modellierungsaufgabe Tennisschläger 244
Lösungsansatz Funktional I von Modellierungsaufgabe Tennisschläger 246
Lösungsansatz Funktional II von Modellierungsaufgabe Tennisschläger 248
B.3.2 Denkstrukturanalyse 252
Denkstrukturanalyse des Lösungsansatzes Rechteckt von Modellierungsaufgabe Tennisschläger 252
Denkstrukturanalyse des Lösungsansatzes Funktional I von Modellierungsaufgabe Tennisschläger 254
Denkstrukturanalyse des Lösungsansatzes Funktional II von Modellierungs aufgabeTennisschläger 256
B.3.3 Bewertungsschemata 257
B.4 Modellierungsaufgabe Brücke 261
B.4.1 Lösungsansätze 261
Lösungsansatz Fläche von Modellierungsaufgabe Brücke 261
Lösungsansatz Zeilen/Spalten von Modellierungsaufgabe Brücke 263
Lösungsansatz pro m2 von Modellierungsaufgabe Brücke 264
Lösungsansatz pro Flächeneinheit von Modellierungsaufgabe Brücke 266
B.4.2 Denkstrukturanalyse 267
Denkstrukturanalyse des Lösungsansatzes Fläche von Modellierungsaufgabe Brücke 267
Denkstrukturanalyse des Lösungsansatzes Zeilen/Spalten von Modellierungsaufgabe Brücke 270
Denkstrukturanalyse des Lösungsansatzes pro m2 von Modellierungsaufgabe Brücke 272
Denkstrukturanalyse des Lösungsansatzes pro Flächeneinheit von Modellierungsaufgabe Brücke 274
B.4.3 Bewertungsschemata 275
Kapitel C Anhänge zur statistischen Auswertung 280
Abbildungsverzeichnis 290
Tabellenverzeichnis 296
Literaturverzeichnis 302