Basiswissen Lineare Algebra

1;Vorwort;62;Inhaltsverzeichnis;123;1 Aufbau, Gliederung und Voraussetzungen;144;2 Vektoren;204.1;2.1 Grundlegendes zu Vektoren;214.2;2.2 Rechenregeln für Vektoren;324.3;2.3 Lineare (Un-)Abhängigkeit ;354.4;2.4 Skalarprodukt ;414.5;2.5 Vektorprodukt;484.6;2.6 Spatprodukt;614.7;2.7 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung;654.8;2.8 Dreiecksungleichung;755;3 Matrizen;785.1;3.1 Grundlegendes zu Matrizen;835.2;3.2 Rechenregeln für Matrizen;865.3;3.3 Matrizenmultiplikation;905.4;3.4 Gaußscher Algorithmus für Matrizen;976;4 Determinanten;1106.1;4.1 Grundlegendes zu (2,2)- Determinanten;1116.2;4.2 Grundlegendes zu (3,3)- Determinanten;1186.3;4.3 Rechenregeln für (n,n)- Determinanten;1287;5 Allgemeine lineare Gleichungssysteme;1387.1;5.1 Gaußscher Algorithmus für Gleichungssysteme;1427.2;5.2 Homogene lineare Gleichungssysteme;1507.3;5.3 Inhomogene lineare Gleichungssysteme;1558;6 Reguläre lineare Gleichungssysteme;1608.1;6.1 Vollständiger Gaußscher Algorithmus;1668.2;6.2 Cramersche Regel ;1718.3;6.3 LR-Zerlegungen;1768.4;6.4 QR-Zerlegungen ;1829;7 Geraden und Ebenen;1909.1;7.1 Grundlegendes zu Geraden ;1919.2;7.2 Schnittmengen von Geraden;1949.3;7.3 Grundlegendes zu Ebenen;1989.4;7.4 Schnittmengen von Ebenen ;20010;8 Komplexe Zahlen;20810.1;8.1 Grundlegendes zu komplexen Zahlen;21010.2;8.2 Rechenregeln für komplexe Zahlen;21210.3;8.3 Darstellungen für komplexe Zahlen;21410.4;8.4 Rechentechniken für komplexe Zahlen;22210.5;8.5 Polynomfaktorisierungen ;22911;9 Eigenwerte und Eigenvektoren;23811.1;9.1 Grundlegendes zu Eigenwerten und -vektoren;24111.2;9.2 Berechnung von Eigenwerten und -vektoren;24311.3;9.3 Eigenschaften von Eigenwerten und -vektoren;24812;10 Spezielle quadratische Matrizen;25412.1;10.1 Diagonalähnliche Matrizen ;25412.2;10.2 Symmetrische und hermetische Matrizen;26112.3;10.3 Orthogonale und unitäre Matrizen;27213;11 Transformationen ;27813.1;11.1 Kartesische Koordinatentransformation;28013.2;11.2 Baryzentrische Koordinatentransformation;28313.3;11.3 Zentral- und Parallelprojektionen;28713.4;11.4 Spezielle 2D- und 3D- Transformationen;29313.5;11.5 Householder- Transformationen;30213.6;11.6 Karhunen-Loève- Transformationen;30713.7;11.7 Diskrete Fourier- Transformationen;31213.8;11.8 Diskrete Cosinus- Transformationen;31813.9;11.9 Diskrete Haar-Wavelet- Transformationen;32514;Glossar;33415;Literatur;34416;Namens- und Organisationsindex;34617;Sachindex;347

1 Aufbau, Gliederung und Voraussetzungen (S. 1)Der Aufbau dieses Buchs orientiert sich an der inzwischen klassisch zu nennenden Vorgehensweise bei der Erarbeitung der linearen Algebra für ein Anwendungsgebiet, hier primär das der Informatik. Dabei wird natürlich ein besonderer Augenmerk auf diejenigen mathematischen Techniken gelegt, die für die Informatik und informatiknahe Wissenschaften besonders relevant sind.Konkret sind dies z.B.: Definition und Analyse elementarer geometrischer Objekte sowie Berechnung ihrer Schnittmengen durch Lösung linearer Gleichungssysteme, Bereitstellung grundlegender geometrischer Konzepte zur Implementierung grafischer Oberflächen, Entwicklung spezieller Transformationen zur Visualisierung im Grafik-Kontext sowie zur Analyse, Kompression und Aufbereitung von Daten im weitesten Sinne. Um dies zu erreichen, ist das Buch folgendermaßen gegliedert:- "Aufbau, Gliederung &, Voraussetzungen" (S. 1)- "Vektoren" (S. 7)- "Matrizen" (S. 65)- "Determinanten" (S. 97)- "Allgemeine lineare Gleichungssysteme" (S. 125)- "Reguläre lineare Gleichungssysteme" (S. 147)- "Geraden und Ebenen" (S. 177)- "Komplexe Zahlen" (S. 195)- "Eigenwerte und Eigenvektoren" (S. 225)- "Spezielle quadratische Matrizen" (S. 241)- "Transformationen" (S. 265)Zu Beginn, also im vorliegenden Wissensbaustein, geht es neben dem gerade skizzierten Aufbau und der groben Gliederung des Buchs um die benötigten mathematischen Vor- aussetzungen, die bekannt sein sollten, um das Buch erfolgreich zu bearbeiten. Einige dieser Grundlagen werden nochmals kurz skizziert, um ein gegebenfalls nötiges schnelles Nachschlagen beim Lesen des Buchs zu ermöglichen.Daran anschließend beginnt der eigentliche Einstieg in die lineare Algebra, konkret die Definition und Erarbeitung erster wesentlicher Eigenschaften von Vektoren und Matrizen. Beim Studium dieser und der folgenden Wissensbausteine des Buchs ist es sinnvoll, sequenziell vorzugehen, denn die Konzepte bauen Schritt für Schritt aufeinander auf.Für die Informatik, aber auch für alle anderen mathematiknahen Wissenschaften, sind die Eigenschaften und Zusammenhänge von Vektoren und Matrizen von fundamentaler Bedeutung und nahezu bei jeder Implementierung, bei der auch etwas berechnet wird, von Nutzen. Ohne Anspruch auf Vollständigkeit seien die Computer-Grafik, die Verschlüsselungstechnik, die Datenkompressions- und -verarbeitungstechnik sowie die diskrete Signalverarbeitung genannt.Auf einige ausgewählte Anwendungen des genannten Typs wird im Rahmen der zu behandelnden Wissensbausteine genauer eingegangen. Generell gilt, dass das Buch ohne Zusatzliteratur studiert werden kann, sofern einige grundlegende Notationen und Konzepte aus dem Bereich der Analysis bekannt sind oder aber parallel erarbeitet werden.Dies sollte vorzugsweise unter Verwendung des Buchs /Lenze 06/ desselben Autors geschehen oder unter Zugriff auf ein anderes gutes Lehrbuch zur Analysis wie z.B. das von Preuß und Wenisch Preuß 03b/ oder aber das anspruchsvollere Lehrbuch von Heuser /Heuser 03/. Worum es sich bei diesen Grundlagen aus der Analysis genau handelt, wird zum Abschluss dieser Einführung in aller Kürze skizziert.Ergänzend sei darauf hingewiesen, dass eventuelle Lücken bei mathematischen Vorkenntnissen außer durch einen Blick in die al- ten Schulbücher durch die als Basis- und Einstiegsliteratur empfohlenen Bücher von Knorrenschild /Knorrenschild 04/, von Poguntke /Poguntke 04/ oder von Preuß und Wenisch /Preuß 03a/ geschlossen werden sollten.