Die Drei (eBook)

Prof. (em) Dr. Ernst-Erich Doberkat hat Mathematik und Philosophie studiert, in Mathematik promoviert und wurde im Fach Informatik habilitiert. Er hat an verschiedenen Universitäten in Deutschland und den USA gelehrt und in vielfältigen Arbeitsgebieten geforscht: Er hat unter anderem die durchschnittliche Laufzeit von Sortieralgorithmen untersucht, mit Archäologen an der Anforderungsanalyse für archäologische Datenbanken gearbeitet, gemeinsam mit anderen Software-Technikern multimediale Lernsysteme für die universitäre Software Engineering-Ausbildung entworfen und implementiert und die algebraischen Grundlagen für das Verständnis von Logiken untersucht, die mit Wahrscheinlichkeiten arbeiten. Auch nach seiner Emeritierung ist er aktiv und lehrt unter anderem in China und in Italien.

Vorwort 6
Inhaltsverzeichnis 7
1 Ein Buch über die Zahl Drei? 11
1.1 Gute Güte – wirklich? 11
1.2 Ein Flug über die Kapitel aus großer Höhe 15
1.3 Danksagungen 24
2 Sizilien ist dreieckig 26
2.1 Trinakria 27
2.2 Odysseus fährt im Dreieck 30
2.2.1 Polyphem und die Isole dei Ciclopi 30
2.2.2 Die Prophezeiung des Teiresias 34
2.3 Skylla und Charybdis 37
2.4 Die Sache mit den Schilden 43
2.5 Intermezzo: Pythagoras und der Schild des Euphorbos 49
2.5.1 Der Satz des Pythagoras 49
2.5.2 Seelenwanderung 51
2.5.3 Inkommensurable Zahlen 52
2.6 Antike Münzen aus Sizilien 57
2.7 Hasen und all das 59
2.7.1 Flaggen 59
2.7.2 Der Hasen und der Löffel drei . . . 60
2.7.3 Der jüdische Friedhof in Satanov 62
2.7.4 Die Mogao-Höhlen in Dunhuang 63
2.8 Rückblick 64
2.9 Anhang: Programmcode 64
3 Dreiteilung des Winkels 67
3.1 Das Problem 67
3.2 Origami 69
3.3 Zirkel und Lineal 72
3.3.1 Konstruierbare Zahlen 75
3.3.2 Erweiterungskörper 77
3.3.3 Des Rätsels Lösung 80
3.4 Näherungen und andere Alternativen 85
3.4.1 Die Lösung von Archimedes 86
3.4.2 Die Quadratrix des Hippias 87
3.4.3 Die Näherungslösung von Albrecht Dürer 88
3.5 Übrigens, auch die Kubikwurzel aus zwei ist faltbar 91
3.6 Nachtrag: Ein visueller Beweis des Ähnlichkeitssatzes von Euklid 93
4 Die Dreiermenge von Georg Cantor 98
4.1 Einleitung 98
4.2 Die Konstruktion der Dreiermenge 100
4.3 Unendlich? 104
4.3.1 Unendliches Zählen 104
4.3.2 Hilberts Hotel 106
4.3.3 War’s das schon? 108
4.4 Zurück zur Cantor-Menge 115
4.4.1 Ternäre Darstellungen 115
4.4.2 Selbstähnlichkeit 118
4.5 *Ein Blick hinter die Kulissen 121
4.5.1 Werkzeuge 121
4.5.2 Kontraktionen 124
4.5.3 Zweidimensionaler Staub 125
4.6 Eine Galerie einfacher Fraktale 128
4.6.1 Turtle-Graphik 128
4.6.2 Die Koch-Kurve 130
4.6.3 Sierpinskis Sieb 133
4.6.4 Barnsleys Blätter 136
5 0, 1, 1, 2, 3, 5, . . . , 141
5.1 Zahlen – Man kann auch Kaninchen nehmen 141
5.2 Leonardo Fibonacci 143
5.3 Die Fibonacci-Zahlen 150
5.3.1 Ein Python-Skript 150
5.3.2 Die Goldene Zahl 152
5.3.3 Nicht nur Kaninchen 155
5.3.4 *Die Fibonacci-Darstellung 158
5.4 Für reifere Leser: Erzeugende Funktionen 162
5.4.1 Die erzeugende Funktion für die Fibonacci-Zahlen 164
5.4.2 *Nur für ganz reife Leser! 166
5.4.3 Die erzeugende Funktion als Informant 173
5.4.4 Geld wechseln 175
5.4.5 Jetzt drehen wir den Spieß um 177
5.5 Das haben wir erreicht 181
6 Drei Kronen, alle anderen zu beherrschen 183
6.1 Eine Krone auf die andere 183
6.1.1 In Sutri wurde gehandelt 184
6.1.2 Die Investitur von Bischöfen 184
6.1.3 Mitra ? Diadem ? Krone ? Tiara 185
6.2 Zur Semantik 188
6.2.1 Kirchliche Protokolle 189
6.2.2 Verzicht auf die Tiara 189
6.3 Und die Teufelszahl 666? 190
7 Piero della FrancescasFlagellazione di Cristo 191
7.1 Die Geißelung 191
7.2 Die Textgrundlage 193
7.3 Das Bild 196
7.3.1 Das Prätorium 196
7.3.2 Die Personen im Vordergrund 197
7.3.3 Lichtquellen 198
7.3.4 Der Fußboden 199
7.3.5 Convenerunt in unum 200
7.3.6 Provenienz 202
7.4 Fragen 202
7.5 Piero della Francesca 203
7.5.1 Vita 204
7.5.2 Der Mathematiker 206
7.6 Historisches 217
7.6.1 Rom 217
7.6.2 Florenz 219
7.6.3 Urbino 221
7.7 Zur Interpretation 223
7.7.1 R. Lightbown: Bitte um Hilfe 223
7.7.2 J. R. Banker: Erinnerungsbild 226
7.7.3 M. A. Lavin: Trauer und Tröstung 230
7.7.4 J. V. Field: Übung zur Perspektive? 234
7.7.5 S. Ronchey: Aufruf zum Kreuzzug 235
7.8 Bunte Steine 240
8 Tres faciunt collegium 243
8.1 Eine kraftvolle Idee 243
8.2 Zur Historie: Collegia 244
8.2.1 Triumviri 246
8.2.2 Ämter: Die Kraft der Drei 248
8.2.3 Die beiden Triumvirate 250
8.3 Der Dreisatz, Goethes Franzosen und andere Betrachtungen 250
8.3.1 Das Kind bekommt einen Namen 254
8.3.2 Ringe: runde Monoide? 256
8.3.3 Mathematiker sind nicht Goethes Franzosen 258
8.4 Die Heiligen Drei Könige 259
8.4.1 Die drei Weisen aus dem Morgenland 260
8.4.2 Der Weg nach Köln: Lesarten 261
8.4.3 Der Weg nach Mailand: Zwei Versionen 265
8.5 Macbeths Hexen 269
8.5.1 Die Prophezeiung 270
8.5.2 Hekate 273
8.5.3 Der Wald von Birnam 277
8.6 Die unsichtbare Dritte 278
8.6.1 Christenpflichten 279
8.6.2 Miss West darf fehlen 281
9 Drei Chinesen mit nemKontrabass . . . 285
9.1 Die Schlacht am Roten Felsen 285
9.2 Götter und Drachen 287
9.2.1 Drei Göttliche Könige 288
9.2.2 Drachen und ihre Klassifikation 293
9.3 Einige mathematische Beispiele 295
9.3.1 Berechnung von Wurzeln 299
9.3.2 Die Technik der Himmlischen Elemente 302
9.3.3 Meister Suns Problem 304
9.3.4 Da steht ein Berg auf einer Insel 314
10 Dreiklänge und andere Harmonien 317
10.1 Einleitung und Übersicht 317
10.2 Noten, Tonleitern und all das 319
10.2.1 Die Dur-Tonleitern 320
10.2.2 Die Moll-Tonleitern 322
10.2.3 Metriken 323
10.2.4 Dreiklänge und Restklassenringe 326
10.2.5 Tonnetze 335
10.3 Transformationen 338
10.3.1 Ein kleiner Baukasten 339
10.3.2 Pachelbels Canon in D 340
10.3.3 Taverners The Lamb 342
10.3.4 Beethovens Fünfte Symphonie 344
10.3.5 *Eine Anmerkung zum Notensatz 346
10.4 Opern 347
10.4.1 Die Zauberflöte 348
10.4.2 Norma 349
10.4.3 Die Walküre 351
10.4.4 Die Liebe zu den drei Orangen 353
10.5 Die h-Moll-Messe von Johann SebastianBach 354
10.5.1 Das Credo 355
10.5.2 Wiederverwendung und Parodie 357
Wenn Sie mehr wissen wollen 361
Literaturverzeichnis 362
Abbildungsnachweis 373
Index 377