Im Banne der Mathematik (eBook)

Rik Verhulst war Lektor für Mathematik an der Karel de Grote Hochschule in Antwerpen. Er ist Koordinator und Mitautor mehrerer Reihen von Mathematiklehrbüchern für weiterführende Schulen, darunter das legendäre „Wis en Kundig“. In Fachkreisen ist er bekannt durch seine zahlreichen Vorträge auf Kongressen und Studientagen und durch seine Beiträge in verschiedenen Zeitschriften. Als Mitarbeiter und Dozent am belgischen Zentrum für Methodik der Mathematik, den Vliebergh-Sencie-Lehrgängen, dem Zentrum für Didaktik der Mathematik an der Katholischen Universität Löwen und der flämischen Mathematikolympiade war er lange Zeit an der Fortbildung der Lehrer und der Vorbereitung von Schülern für die internationale Mathematikolympiade beteiligt.

Vorwort 5
Inhaltsverzeichnis 9
1 Wie funktioniert Mathematik? 13
1 Mathematik und das menschliche Denkvermögen 14
2 Mathematik und Sprache 18
3 Woher kommen die mathematischen Begriffe? 20
3.1 Definierte Begriffe 20
3.2 Grundbegriffe 21
3.3 Termklassen 22
3.4 Abstrakte Erzeugung von Begriffen 31
3.5 Die Anzahl der Begriffe, die mit einer endlichen Menge verbunden sind 35
3.6 Der Universalienstreit 39
4 Wahrheit und Widerspruchsfreiheit 41
4.1 Wahr und falsch 41
4.2 Junktoren 44
4.3 Lösungen logischer Probleme 47
4.4 Tautologien 51
4.5 Argumentationen und Beweise 52
4.6 Substitutionsprinzip 53
4.7 Kontradiktion und Widerspruch 54
4.8 Widerspruchsbeweis 57
4.9 Von der Logik zum Computer 58
4.10 Eleganz in der Sprache 64
5 Theorie und Modell 66
6 Strukturen 72
7 Metatheorie und der Gödelsche Unvollständigkeitssatz 80
Zum Abschluss 87
2 Wie arbeitet Mathematik? 89
1 Der königliche Weg zur mehrdimensionalen und nichteuklidischen Geometrie 90
1.1 Der Schnellzug der analytischen Geometrie 90
1.2 Die Welt der Inzidenzgeometrie 108
1.3 Geodäten auf einer gekrümmten Fläche 113
Schlussbemerkung 114
2 Vom leeren Nichts zu absonderlichen Unendlichkeiten 115
2.1 Die unendliche Folge der natürlichen Zahlen 115
2.2 Eine unendliche Prozession von Kardinalzahlen 116
2.3 Transfinite Ordinalzahlen 124
Schlussbemerkung 125
3 Erstaunliche Geburtstage und Garderobenverhältnisse 126
3.1 Happy birthday to you and you 127
3.2 Ist das mein Hut oder ist es der von Euler? 130
3.3 Paradoxien in der Wahrscheinlichkeitsrechnung 134
Schlussbemerkung 137
4 Vom Abendspaziergang zu operationalen Netzwerken 138
4.1 Die sieben Brücken von Königsberg 138
4.2 Eulerwege 139
4.3 Probleme aus der Graphentheorie 142
Schlussbemerkung 145
5 Ideale Maße für Miss Blecheimer und Mr. Pommestüte 146
5.1 Zylinder mit gegebenem Volumen und minimaler Oberfläche 146
5.2 Kegel mit vorgegebenem Inhalt und minimaler Mantelfläche. 148
Schlussbemerkung 150
6 Ende gut, alles gut! 151
6.1 Prüfzahlen 152
6.2 Fehlerkorrektur mit Hamming-Codes 156
Schlussbemerkung 160
7 Der Zauber der Fraktale und das deterministische Chaos 161
7.1 Iteration als Rezept für Fraktale 163
7.2 Chaotisches Verhalten deterministischer Systeme 172
Schlussbemerkung 181
8 Reduktive Algorithmen für das Wurzelziehen 182
8.1 Teilungen eines Intervalls mit dem Parallelografen 182
8.2 Rekursionsformeln und Nomogramme für das Wurzelziehen 187
Schlussbemerkung 194
Zum Abschluss 195
3 Mathematik und Kultur 197
1 Vom Nomadentum zur Agrarkultur 200
1.1 Steinalte Zahlen 201
1.2 Die ägyptischen Landmesser 202
1.3 Die babylonischen Astronomen 205
1.4 Das dezimale Zahlsystem der Hindus 209
1.5 Chinesische Rechenstäbchen 211
1.6 Die Kalender der Maya 213
Schlussbemerkung 215
2 Die Revolution durch den theoretischen Geist der Griechen 216
2.1 Thales von Milet 217
2.2 Die Schule des Pythagoras in Kroton 219
2.3 Die Paradoxien des Zenon von Elea 224
2.4 Die fünf platonischen Körper 225
2.5 Die aristotelische Logik 231
2.6 Das rationale Modell der Elemente des Euklid 234
2.7 Die olympische Erscheinung des Archimedes 239
Schlussbemerkung 242
3 Von einer agrarischen zu einer industriellen Kultur 243
3.1 Die geniale Erfindung der Dezimalbrüche 247
3.2 Der Rechenkomfort der „wundersamen“ Logarithmen 249
3.3 Ein neues Weltbild 252
3.4 Die Geburt der Mechanik 254
3.5 Die innige Umarmung von Algebra und Geometrie 255
3.6 Die Wege des Zufalls 258
3.7 Die Enträtselung der „Himmelsmechanik“ 262
Schlussbemerkung 269
4 Eintritt in die Moderne 270
4.1 Der abstrakte Sprung in eine nichteuklidische Geometrie 270
4.2 Die Geburt der modernen Algebra 273
4.3 Die eingehende Grundlegung der Analysis 276
4.4 Die Faszination des Unendlichen 277
4.5 Der Quell der Informatikflut 281
Zum Abschluss 284
4 Mathematik in Natur und Kunst 287
1 Mathematik in den Formen der Natur 290
1.1 Die Gleichungen des Kosmos 290
1.2 Die Formen der Dinge in unserer Nähe 299
Schlussbemerkung 313
2 Mathematische Strukturen in der Kunst 314
2.1 Die Formen und Techniken der Baukunst 314
Schlussbemerkung 330
2.2 Bildende Künste 331
Schlussbemerkung 345
2.3 Mathematik und Musik 346
Schlussbemerkung 365
2.4 Mathematik und Literatur 366
Schlussbemerkung 375
Zum Abschluss 376
Epilog 377
Bildnachweisen 378
Literaturverzeichnis 386
Register 389