Affine Ebenen (eBook)

Einleitung 11
1 Affine Inzidenzebenen 17
1.1 Definition affiner Inzidenzebenen 17
1.2 Einfache Folgerungen 19
1.3 Kollineationen 22
1.4 Punktabbildung einer Kollineation 24
1.5 Dilatationen 25
1.6 Schließungssätze 27
1.6.1 Der große und der kleine Satz von Desargues 27
1.6.2 Der große und der kleine Satz von Pappos 30
1.6.3 Der Schließungssatz (D*) 31
1.6.4 Der große und der kleine Scherensatz 33
1.6.5 Zusammenhange zwischen den Schließungssätzen 34
1.6.6 (D)-Ebenen u. ä 35
2 Parallelverschiebungen in (d)-Ebenen 37
2.1 Definition von Parallelogrammen 37
2.2 Zur Definition uneigentlicher Parallelogramme 41
2.3 Eigenschaften von Parallelogrammen 42
2.4 Definition von Parallelverschiebungen 46
2.5 Einige Eigenschaften der Parallelverschiebungen 48
2.6 Die abelsche Gruppe der Parallelverschiebungen 49
2.7 Parallelverschiebungen respektieren die Kollinearitat 51
2.8 Parallelverschiebungen als Kollineationen 52
2.9 Parallelverschiebungen als Dilatationen 53
2.10 Fixpunkte, Fixgeraden, Spuren, Richtung von Parallelverschiebungen 53
2.11 Die Untergruppen Tg von T 54
2.12 Zusammenhang zwischen T und P, sowie zwischen Tg und Pg 55
2.13 Konjugationen in Gruppen 56
2.14 Konjugation von Parallelverschiebungen mit Kollineationen 57
2.15 Algebraische Struktur der Gruppe (T, o) 58
2.16 Zusammenhang zwischen Parallelverschiebungen und Translationen 59
2.17 Operieren der Translationsgruppe T auf der Punktmenge P 62
Ergänzungen zu Kapitel 2 67
2.18 Parallelgleichheit Vektoren als Äquivalenzklassen
2.19 Ortsvektoren 68
2.20 Ein geometrischer Beweis von Eigenschaft 2.5 (2) 69
3 Streckungen in (D)-Ebenen 71
3.1 Definition von Z-Trapezen 72
3.2 Zur Definition von uneigentlichen Z-Trapezen 74
3.3 Eigenschaften von Z-Trapezen 75
3.4 Definition von Streckungen 78
3.5 Einige Eigenschaften der Streckungen 80
3.6 Die Gruppe der Streckungen mit Zentrum Z 81
3.7 Streckungen erhalten die Kollinearität 84
3.8 Streckungen als Kollineationen 85
3.9 Streckungen als Dilatationen 85
3.10 Fixpunkte, Fixgeraden, Spuren von Streckungen 86
3.11 Zusammenhang in (D)-Ebenen zwischen der Menge aller Z-Streckungen und der Menge aller Punkte einer Geraden durch Z 86
3.12 Konjugation von Streckungen mit Kollineationen 88
3.13 Isomorphie aller Streckungsgruppen 88
3.14 Konjugation von Parallelverschiebungen mit Streckungen 89
3.15 Zusammenhang zwischen Streckungen und Dilatationen mit einem Fixpunkt 90
3.16 Die Streckungsgruppe mit Zentrum Z operiert in (D)-Ebenen auf jeder Geraden durch Z 92
3.17 Z-Streckungsgleichheit 95
3.18 Ein geometrischer Beweis von Satz 3.14 96
3.19 (D) ist eine notwendige Voraussetzung fär Satz 3.11 98
4 Schiefkörper der spurtreuen Endomorphismen von T 101
4.1 Zwei Ergebnisse aus der Linearen Algebra 103
4.1.1 Der Endomorphismenring einer abelschen Gruppe 103
4.1.2 Abelsche Gruppen als Linksmoduln äber ihrem Endomorphismenring 103
4.2 Anwendung auf die abelsche Gruppe (T, o) der Parallelverschiebungen 104
4.3 Spurtreue Endomorphismen von (T, o) 107
4.4Geometrische Verhaältnisse bei der Anwendung spurtreuer Endomorphismen von (T, o) in (d)-Ebenen 109
4.5 Spurtreue Endomorphismen von (T, o) in (D)-Ebenen 111
4.6 Der Gruppenhomomorphismus konj : Dil (A) ^ Aut(T, o) 115
4.7 Der Schiefkörper K der spurtreuen Endomorphismen von (T, o) in (D)-Ebenen 117
4.8 Der einer (D)-Ebene zugeordnete Linksvektorraum KT 122
Ergänzungen zu Kapitel 4 123
4.9 Eigenschaften der von O verschiedenen spurtreuen Endomorphismen in (d)-Ebenen 123
4.10 Der Schiefkärper K der spurtreuen Endomorphismen in (d)-Ebenen 128
4.11 Algebraischer Beweis der Injektivitat der von O verschiedenen spurtreuen Endomorphismen in (d)-Ebenen 132
4.12 Algebraischer Beweis der Surjektivitäat der von O verschiedenen spurtreuen Endomorphismen in (d)-Ebenen 132
4.13 Algebraischer Beweis von K = Konj5o U {O} in (D)-Ebenen 133
5 Beziehungen zwischen (D)-Ebenen und algebraisch affinen Ebenen 137
5.1 Algebraisch affine Ebenen 137
5.1.1 Algebraische affine Raäume und Ebenen 138
5.1.2 Affine Standardräume 140
5.1.3 Unterraume eines algebraisch affinen Raumes 140
5.1.4 Einige Eigenschaften affiner Unterraäume 143
5.1.5 Semi-Affinitäten und Affinitaten zwischen affinen Raumen 144
5.2 Die einer algebraisch affinen Ebene A kanonisch zugeordnete (D)-Ebene G (A) 150
5.3 Die einer (D)-Ebene A kanonisch zugeordnete algebraisch affine Ebene F (A) 153
5.4 Kollineationen zwischen (D)-Ebenen induzieren Semi-Affinitäten zwischen den kanonisch zugeordneten algebraisch affinen Ebenen 154
5.5 Semi-Affinitaäten zwischen algebraisch affinen Ebenen induzieren Kollineationen zwischen den kanonisch zugeordneten (D)-Ebenen 160
5.6 Das Kompositum G o F der kanonischen Zuordnungen liefert eine Kollineation A ^ G o F (A) von (D)-Ebenen 162
5.7 Das Kompositum F o G der kanonischen Zuordnungen liefert eine Semi-Affinität A ^ F o G (A) algebraisch affiner Ebenen 163
5.7.1 Bezeichnungen 163
5.7.2 Bestimmung von T(G (A)) 164
5.7.3 Bestimmung der Untergruppen Tg von T (G (A)) 166
5.7.4 Bestimmung des Schiefkörpers K(G (A)) 166
5.7.5 Streckungen mit Zentrum O in G (A) 169
5.7.6 Semi-Affinität von A auf F (G (A)) 169
5.7.7 Ergebnis 170
5.8 Bijektion zwischen der Menge der Isomorphieklassen von (D)-Ebenen und der Menge der Isomorphieklassen von algebraisch affinen Ebenen 171
5.9 Der Hauptsatz der affinen Geometrie und sein Analogon 172
5.10 Koordinaten in (D)-Ebenen 174
Ergaänzungen zu Kapitel 5 177
5.11 Ist der Grundkärper von A kommutativ, so gilt in G (A) der große Satz von Pappos 177
6 Affine Kollineationen, insbesondere axiale Kollineationen in (D)-Ebenen Affinitäten und Achsenaffinitäten in algebraisch affinen Ebenen
6.1 Affine Kollineationen in (D)-Ebenen 180
6.2 (ng , a)- Vierecke 182
6.3 Eigenschaften von (ng , a) - Vierecken 186
6.4 Zur Definition uneigentlicher (ng , a)-Vierecke 191
6.5 (ng , a) - Abbildungen 192
6.6 (ng , a) - Abbildungen induzieren Kollineationen 196
6.7 Eigenschaften der (ng , a) - Kollineationen 200
6.8 Axiale Kollineationen 202
6.9 Aquivalenz von (ng , a)-Kollineationen und axialen Kollineationen 202
6.10 Fundamentalsatz der affinen Geometrie in (D)-Ebenen 206
6.11 Komposition axialer Kollineationen mit gleicher Achse 208
Erganzungen zu Kapitel 6 211
6.12 (ng , a) - Äquivalenz 211
6.13 Axiale Kollineationen und Achsenaffinitäaten 212
6.14 Algebraische Beschreibung, insbesondere Matrizendarstellung von Achsenaffinitaäten 213
6.14.1 Algebraische Beschreibung von Achsenaffinitaäten 213
6.14.2 Matrizendarstellung von Scherungen 214
6.14.3 Matrizendarstellung von Achsenaffinitäaten, die keine Scherungen sind 215
7 Hilbertsche Streckenrechnung in (D)-Ebenen 217
7.1 Einleitung 217
7.2 Wiederholung aus der Algebra 218
7.3 Der Schiefkorper der HlLBERTschen Streckenrechnung 219
7.4 Geometrische Konstruktion der Addition von Strecken 224
7.5 Geometrische Konstruktion der Multiplikation von Strecken 226
7.6 Koordinaten bei der HlLBERTschen Streckenrechnung 228
7.7 Kennzeichnung der Geraden als lineare Mannigfaltigkeiten 229
7.8 Zusammenhang zwischen den Koordinaten gemäß der HlLBERTschen Streckenrechnung und unseren Koordinaten 237
Anhang 241
8 Teilverhältnis und Proportionen in (D)-Ebenen 243
8.1 Definition und Eigenschaften des Teilverhäaltnisses 243
8.2 Strahlensäatze 245
8.3 Teilverhäaltnis bei affinen Kollineationen und bei Parallelprojektionen 247
8.4 Proportionen in der HlLBERTschen Streckenrechnung 249
9 Beweise der verwendeten Zusammenhänge zwischen den Schließungssatzen 251
9.1 Aus (D) folgt (d) 252
9.2 Aus (d) folgt (p) 255
9.3 Aus (p) folgt (s) 259
9.4 Aus (P) folgt (D) 262
9.5 Aus (D) folgt (D*) 276
9.6 Aus (D) folgt (S) 284
10 Konstruktive Definition von Zentralkollineationen in projektiven (D)-Ebenen 291
10.1 Projektive Ebenen 293
10.2 Zusammenhang zwischen projektiven und affinen Ebenen 295
10.3 Der Satz von Desargues in projektiven Ebenen 297
10.3.1 Der Satz von Desargues in projektiven Ebenen 297
10.3.2 Zusammenhang der beiden affinen Schließungssätze (D) und (D*) 299
10.3.3 Zusammenhang zwischen (Daff) und (Dproj) 300
10.3.4 Allgemeinere Formulierung von (Dproj) 301
10.4 (Z, a)-Vierecke 301
10.5 Eigenschaften von (Z, a)-Vierecken 305
10.6 Zur Definition uneigentlicher (Z, a)-Vierecke 307
10.7 (Z, a)-Punktabbildungen 308
10.8 (Z, a)-Punktabbildungen induzieren Kollineationen 313
10.9 Zentralkollineationen in projektiven Ebenen 315
10.10 Äquivalenz der axiomatischen Definition von Zentralkollineationen und der konstruktiven Definition von (Z, a)-Kollineationen in projektiven (D)-Ebenen 319
10.11 Beziehungen der (Z, a)-Kollineationen zu den in den Kapiteln 2, 321
Ergaönzungen zu Kapitel 10 323
10.12 (Z, a)-Äquivalenz 323
10.13 Komposition zentraler Kollineationen mit derselben Achse, aber verschiedenen Zentren 323
10.14 Äquivalenz des Schließungssatzes D(Z, a) mit der linearen Transitivität der Gruppe Z(Z,a) 328
10.15 Anmerkungen zur Gruppe T(a) 331
Literaturverzeichnis 333
Bezeichnungen 335
Index 339