Matrizentheorie

Erster Teil: Allgemeine Theorie
1. Matrizen und Matrizenoperationen
1.1. Definition der Matrix. Bezeichnungen
1.2. Addition und Multiplikation von Matrizen
1.3. Quadratische Matrizen
1.4. Assoziierte Matrizen. Minoren inverser Matrizen
1.5. Inversion rechteckiger Matrizen. Die pseudoinverse Matrix
2. Der Gaußsche Algorithmus
2.1. Die Gaußsche Eliminationsmethode
2.2. Eine mechanische Interpretation des Gaußschen Algorithmus
2.3. Der Sylvestersche Determinantensatz
2.4. Zerlegung quadratischer Matrizen in Produkte von Dreiecksmatrizen
2.5. Übermatrizen. Das Rechnen mit Übermatrizen. Der verallgemeinerte Gaußsche Algorithmus
3. Lineare Operatoren im n-dimensionalen Vektorraum
3.1. Vektorräume
3.2. Lineare Operatoren, die einen n-dimensionalen Vektorraum in einen m-dimensionalen Vektorraum abbilden
3.3. Addition und Multiplikation linearer Operatoren
3.4. Koordinatentransformationen
3.5. Äquivalente Matrizen. Der Rang eines Operators. Die Sylvestersche Ungleichung
3.6. Lineare Operatoren, die einen n-dimensionalen Vektorraum in sich abbilden
3.7. Charakteristische Wurzeln und Eigenvektoren linearer Operatoren
3.8. Lineare Operatoren einfacher Struktur
4. Charakteristisches Polynom und Minimalpolynom einer Matrix
4.1. Addition und Multiplikation von Matrizenpolynomen
4.2. Rechte und linke Division von Matrizenpolynomen. Der verallgemeinerte Bezoutsche Satz
4.3. Das charakteristische Polynom einer Matrix. Adjungierte Matrizen
4.4. Die Methode von D. K. Faddeev zur gleichzeitigen Berechnung des charakteristischen Polynoms und der adjungierten Matrix
4.5. Das Minimalpolynom einer Matrix
5. Matrizenfunktionen
5.1. Definition der Matrizenfunktion
5.2. Das Lagrange-Sylvestersche Interpolationspolynom
5.3. Andere Wege zur Bestimmung von f(A). Die Komponenten der Matrix A
5.4. Darstellung von Funktionen durch Matrizenreihen
5.5. Einige Eigenschaften von Matrizenfunktionen
5.6. Die Anwendung der Matrizenfunktionen zur Integration linearer Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten
5.7. Stabilität im Fall linearer Systeme
6. Äquivalente Transformationen von Polynommatrizen. Analytische Elementarteilertheorie
6.1. Elementare Transformationen von Polynommatrizen
6.2. Die kanonische Form einer ?-Matrix
6.3. Invariantenteiler und Elementarteiler von Polynommatrizen
6.4. Äquivalenz linearer Binome
6.5. Kriterien für die Ähnlichkeit von Matrizen
6.6. Normalformen von Matrizen
6.7. Die Elementarteiler der Matrix f(A)
6.8. Eine Methode zur Konstruktion der Transformationsmatrix
6.9. Eine weitere Methode zur Konstruktion der Transformationsmatrix
7. Die Struktur linearer Operatoren im n-dimensionalen Vektorraum. Geometrische Elementarteilertheorie
7.1. Das Minimalpolynom eines Vektors bzw. eines Vektorraumes (bezüglich eines gegebenen linearen Operators)
7.2. Die Zerlegung eines Vektorraumes in invariante Unterräume mit teilerfremden Minimalpolynomen
7.3. Kongruenzen. Quotientenräume
7.4. Die Zerlegung eines Vektorraumes in zyklische invariante Unterräume
7.5. Normalformen einer Matrix
7.6. Invariantenteiler. Elementarteiler
7.7. Die Jordansche Normalform einer Matrix
7.8. Die Methode von A. N. Krylov zur Transformation der Säkulargleichung
8. Matrizengleichungen
8.1. Die Gleichung AX = XB
8.2. Der Spezialfall A = B. Vertauschbare Matrizen
8.3. Die Gleichung AX — XB = C
8.4. Die skalare Gleichung f(X) = 0
8.5. Gleichungen von Matrizenpolynomen
8.6. Die m-ten Wurzeln regulärer Matrizen
8.7. Die m-ten Wurzeln singulärer Matrizen
8.8. Der Logarithmus einer Matrix
9. Lineare Operatoren im unitären Raum
9.1. Vorbemerkungen
9.2. Metrische Räume
9.3. Die Gramsche Determinante
9.4. Orthogonalprojektionen
9.5. Die geometrische Bedeutung der Gramschen Determinante
9.6. Orthogonalisierung
9.7. Orthonormalbasen
9.8. Adjungierte Operatoren
9.9. Normale Operatoren im unitären Raum
9.10. Spektren normaler, hermitescher und unitärer Operatoren
9.11. Positiv semidefinite und positiv definite hermitesche Operatoren
9.12. Polare Zerlegung linearer Operatoren im unitären Raum. Cayleysche Formeln
9.13. Lineare Operatoren im euklidischen Raum
9.14. Die polare Zerlegung linearer Operatoren und die Cayleyschen Formeln im euklidischen Raum
9.15. Vertauschbare normale Operatoren
9.16. Der pseudoinverse Operator
10. Quadratische und hermitesche Formen
10.1. Lineare Transformationen quadratischer Formen
10.2. Die Transformation einer quadratischen Form in eine Summe von Quadraten Das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen
10.3. Die Methode von Lagrange zur Transformation einer quadratischen Form in eine Summe von Quadraten. Die Jacobische Gleichung
10.4. Semidefinite und definite quadratische Formen
10.5. Die Hauptachsentransformation quadratischer Formen
10.6. Formenbüschel
10.7. Extremaleigenschaften der charakteristischen Wurzeln regulärer Formenbüschel
10.8. Kleine Schwingungen von Systemen mit n Freiheitsgraden
10.9. Hermitesche Formen
10.10. Hankelsche Formen
Zweiter Teil: Spezielle Fragen und Anwendungen
11. Komplexe symmetrische, schief symmetrische und orthogonale Matrizen
11.1. Einige Sätze über komplexe orthogonale und unitäre Matrizen
11.2. Die polare Zerlegung einer komplexen Matrix
11.3. Normalformen komplexer symmetrischer Matrizen
11.4. Normalformen komplexer schiefsymmetrischer Matrizen
11.5. Normalformen komplexer orthogonaler Matrizen
12. Singuläre Matrizenbüschel
12.1. Einführung
12.2. Reguläre Matrizenbüschel
12.3. Singuläre Büschel
12.4. Die kanonische Form singulärer Matrizenbüschel
12.5. Die minimalen Indizes eines Büschels. Ein Kriterium für die strenge Äquivalenz von Matrizenbüscheln
12.6. Singuläre Büschel quadratischer Formen
12.7. Anwendungen in der Theorie der Differentialgleichungen
13. Matrizen mit nichtnegativen Elementen
13.1. Allgemeine Eigenschaften
13.2. Spektraleigenschaften unzerlegbarer nichtnegativer Matrizen
13.3. Zerlegbare Matrizen
13.4. Die Normalform einer zerlegbaren Matrix
13.5. Primitive und imprimitive Matrizen
13.6. Stochastische Matrizen
13.7. Grenzwahrscheinlichkeiten homogener Markovscher Ketten mit endlich vielen Zuständen
13.8. Vollständig nichtnegative Matrizen
13.9. Oszillationsmatrizen
14. Verschiedene Regularitätskriterien und die Lokalisierung der charakteristischen Wurzeln
14.1. Das Regularitätskriterium von Hadamard und seine Verallgemeinerungen
14.2. Die Norm einer Matrix
14.3. Die Verallgemeinerung des Hadamardschen Kriteriums auf Übermatrizen
14.4. Das Regularitätskriterium von Fiedler
14.5. Die Geršgorinschen Kreise und andere Lokalisierungsgebiete
15. Anwendungen der Matrizenrechnung zur Untersuchung linearer Differentialgleichungssysteme
15.1. Systeme linearer Differentialgleichungen mit stetigen Koeffizienten. Grundbegriffe
15.2. Die Ljapunovsche Transformation
15.3. Reduzierbare Systeme
15.4. Die kanonische Form reduzierbarer Systeme. Der Satz von Erugin
15.5. Der Matrizant
15.6. Das Produktintegral. Der Volterrasche Infinitesimalkalkül
15.7. Differentialgleichungssysteme im Komplexen. Allgemeine Eigenschaften
15.8. Das Produktintegral im Komplexen
15.9. Isolierte singuläre Stellen
15.10. Schwach singuläre Stellen
15.11. Reduzierbare analytische Systeme
15.12. Analytische Funktionen mehrerer Matrizen und ihre Anwendung zur Untersuchung von Differentialgleichungssystemen. Die Arbeiten von Lappo-Danilevsktj
16. Das Routh-Hurwitzsehe Problem und verwandte Fragen
16.1. Einleitung
16.2. Die Cauchyschen Indizes
16.3. Der Routhsche Algorithmus
16.4. Spezialfälle. Beispiele
16.5. Der Satz von Ljapunov
16.6. Der Routh-Hurwitzsche Satz
16.7. Die Formel von Orlando
16.8. Sonderfälle des Routh-Hurwitzschen Satzes
16.9. Die Methode der quadratischen Formen. Die Bestimmung der Anzahl der verschiedenen reellen Nullstellen eines Polynoms
16.10. Unendliche Hankelsche Matrizen endlichen Ranges
16.11. Die Bestimmung des Index einer gebrochenen rationalen Funktion mit Hilfe der Koeffizienten in Zähler und Nenner
16.12. Ein zweiter Beweis des Routh-Hurwitzschen Satzes
16.13. Einige Ergänzungen zum Routh-Hurwitzschen Satz. Das Stabilitätskriterium von Liénard und Chipart
16.14. Einige Eigenschaften Hurwitzscher Polynome. Ein Satz von Stieltses. Die Darstellung Hurwitzscher Polynome mit Hilfe von Kettenbrüchen
16.15. Das Stabilitätsgebiet. Die Markovschen Parameter
16.16. Der Zusammenhang mit dem Momentenproblem
16.17. Der Zusammenhang der Hurwitzschen mit den Markovschen Determinanten
16.18. Die Sätze von Markov und ?ebvšev
16.19. Das verallgemeinerte Routh-Hurwitzsche Problem
Anhang von V. B. Lidskij
Ungleichungen für charakteristische und singuläre Wurzeln
1. Majorantenfolgen
2. Die Horn-Neumannschen Ungleichungen
3. Die Weylschen Ungleichungen
4. Maximal-Minimaleigenschaften von Summen und Produkten der charakteristischen Wurzeln hermitescher Operatoren
5. Ungleichungen für charakteristische und singuläre Wurzeln von Operatorsumnien und -produkten
6. Eine andere Aufgabenstellung bezüglich des Spektrums von Summen und Produkten hermitescher Operatoren
Literatur
Namen- und Sachverzeichnis.