Numerische Methoden (eBook)

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Hermann Friedrich und Frank Pietschmann, Hochschule Zittau/Görlitz, Zittau.

Vorwort 6
Inhaltsverzeichnis 8
Grundlagen 14
1.1 Aufgabenstellung 14
1.2 Matrizen und Determinanten 15
1.3 Betrag und Normen 36
1.4 Aufgaben 39
Numerisches Rechnen und Fehler 42
2.1 Fehler 42
2.2 Maschinenzahlen 44
2.3 Fehlerfortpflanzung 48
2.4 Konditionszahlen 52
2.5 Aufgaben 55
Iterationsverfahren 56
3.1 Iterationsprobleme 56
3.2 Anschauliche Deutung des Iterationsverfahrens 66
3.3 Fehlerabschätzungen 68
3.4 Abbruchkriterien bei Iterationsverfahren 72
3.5 Konvergenzordnung 73
3.6 Spezielle Iterationsverfahren 74
3.7 Konvergenzverbesserung 86
3.8 Aufgaben 90
Lineare Gleichungssysteme 93
4.1 Aufgabenstellung 93
4.2 Eliminationsverfahren 94
4.3 Iterationsverfahren 120
4.4 Aufgaben 131
Approximation von Funktionen 135
5.1 Problemstellungen 135
5.2 Diskrete Approximation 135
5.3 Stetige Approximation mit der Methode der kleinsten Quadrate 151
5.4 Lokale Approximation 175
5.5 Aufgaben 182
Interpolationsprobleme 186
6.1 Problemstellung 186
6.2 Polynominterpolation 187
6.3 Splineinterpolation 212
6.4 Interpolation mit periodischen Funktionen 260
6.5 Aufgaben 297
Numerische Differentiation 301
7.1 Vorbemerkungen 301
7.2 Numerische Bestimmung von Ableitungen erster Ordnung 302
7.3 Der Rundungsfehler bei der numerischen Differentiation 309
7.4 Numerische Bestimmung von Ableitungen höherer Ordnung 311
7.5 Aufgaben 312
Numerische Integrationsmethoden 314
8.1 Aufgabenstellung 314
8.2 Trapezformel 315
8.3 Simpsonsche Formel 320
8.4 Fehlerabschätzungen 327
8.5 Verfahren von Romberg 331
8.6 Adaptive Simpson-Quadratur 338
8.7 Gauß-Integration 347
8.8 Aufgaben 354
Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen 356
9.1 Begriffe und Beispiele 356
9.2 Taylor-Methoden 362
9.3 Runge-Kutta-Verfahren 371
9.4 Mehrschrittverfahren 377
9.5 Steife Differentialgleichungen 393
9.6 Weitere Anfangswertaufgaben 403
9.7 Aufgaben 410
Polynome 414
10.1 Reelle Polynome 414
10.2 Allgemeine Horner-Schemata bei reellen Polynomen 422
10.3 Komplexe Polynome 433
10.4 Anzahl und Lage der Nullstellen von Polynomen 436
10.5 Aufgaben 448
Numerische Simulation von Zufallsgrößen 452
11.1 Zufallsgrößen 452
11.2 Zufallszahlengeneratoren 460
11.3 Anwendungen der Monte-Carlo-Methode 465
11.4 Aufgaben 471
Lösungen 472
Lösungen zu Kapitel 1 472
Lösungen zu Kapitel 2 474
Lösungen zu Kapitel 3 475
Lösungen zu Kapitel 4 479
Lösungen zu Kapitel 5 482
Lösungen zu Kapitel 6 486
Lösungen zu Kapitel 7 493
Lösungen zu Kapitel 8 496
Lösungen zu Kapitel 9 500
Lösungen zu Kapitel 10 509
Lösungen zu Kapitel 11 516
Zufallszahlentabelle 518
Literaturverzeichnis 522
Abbildungsverzeichnis 528
Tabellenverzeichnis 532
Index 536