Statistik (eBook)

Inhaltsverzeichnis 7
1 Einführung in die Statistik 15
1.1 Eingrenzungen des Begriffs„Statistik“ 15
1.1.1 Komprimierende Kennwerte 15
1.1.2 Staatswissenschaftliche Disziplin 16
1.1.3 Wahrscheinlichkeitstheoretisch fundierte Datenwissenschaft 16
1.2 Grundzüge statistischer Methoden 18
1.2.1 System und Zufall 18
1.2.2 Irrtums- und Sicherheitswahrscheinlichkeiten 20
1.2.3 Deskription und Induktion 22
1.2.4 Empirischer und theoretischer Kalkül 24
1.3 Teilbereiche, Spezialgebiete und Grundlagen 25
1.3.1 Datengewinnung und Aufbereitung 25
1.3.2 Spezielle Analysemethoden und Instrumente 28
1.3.3 Wissenschaftsspezifische Ausrichtungen 31
1.3.4 Mathematische und technische Grundlagen 32
Teil 1: Deskriptive Statistik – Empirischer Kalkül 33
2 Einführung in die deskriptive Statistik 34
2.1 Daten, Datensätze und Variablen 34
2.2 Grundgesamtheit, Merkmalstypen und Skalierungsarten 36
2.3 Empirische Verteilungen und Zusammenhänge 38
3 Gesamtbeschreibung empirischer Verteilungen 41
3.1 Tabellarische Darstellungsmöglichkeiten 41
3.1.1 Elementare Begriffe und Notation 41
3.1.2 Häufigkeitstabellen bei Urlisten 43
3.1.3 Häufigkeitstabellen bei klassierten Daten 45
3.2 Grafische Darstellungsmöglichkeiten 46
3.2.1 Kreis-, Säulen- und Balkendiagramme 46
3.2.2 Stamm-Blatt-Diagramme 48
3.2.3 Histogramme (Häufigkeitsdichten) 49
3.2.4 Boxplots 53
3.3 Empirische Verteilungsfunktion (EVF) 57
3.3.1 Häufigkeitsfunktion und EVF bei Urlisten 57
3.3.2 Häufigkeitsdichtefunktion und EVF bei klassierten Daten 59
4 Spezifizierende Beschreibung empirischer Verteilungen 63
4.1 Spezifika empirischer Verteilungen 63
4.2 Lagekennwerte 66
4.2.1 Arithmetisches Mittel 66
4.2.2 Median 70
4.2.3 Modalwert 73
4.2.4 Fechner'sche Lageregeln 73
4.3 Spezielle Lagekennwerte 75
4.3.1 Arithmetisches Mittel bei gruppierten Daten 75
4.3.2 Quantile 76
4.3.3 Geometrisches Mittel 79
4.4 Streuungskennwerte 83
4.4.1 Spannweite 83
4.4.2 Mittlere absolute Abweichungen 84
4.4.3 Median absoluter Abweichungen 86
4.4.4 Varianz, Standardabweichung und Schwankungsintervalle 87
4.5 Spezielle Streuungskennwerte 90
4.5.1 Varianz bei gruppierten Daten 90
4.5.2 Quantilsabstände 94
4.5.3 Variationskoeffizient 95
4.6 Standardisierung mittels Lage und Streuung 97
4.7 Messung von Schiefe 100
4.8 Darstellung und Messung von Konzentration 102
4.8.1 Lorenz-Kurve 102
4.8.2 Gini-Koeffzient 105
4.9 Spezifische Eigenschaften empirischer Kennwerte 108
4.9.1 Minimumeigenschaft des arithmetischen Mittels 108
4.9.2 Minimumeigenschaft des Medians 110
4.9.3 Transformationseigenschaften 112
4.9.4 Robustheit 117
5 Beschreibung und Analyse empirischer Zusammenhänge 119
5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen 119
5.1.1 Kontingenztabellen 119
Verteilungen in Kontingenztabellen 119
Empirische Abhängigkeit und Unabhängigkeit 124
Konzeptionelle Vorüberlegungen für ein Zusammenhangsmaß 128
5.1.2 Zusammenhangsmaße für Kontingenztabellen 130
Chi-Quadrat-Koeffzient 130
Mittlere quadratische Kontingenz 133
Kontingenzkoeffzient nach Pearson 134
Transformationseigenschaften der Zusammenhangsmaße 136
5.1.3 Grafische Analysemöglichkeiten 138
Gestapelte und gruppierte Säulendiagramme 138
Segmentierte Säulen- und Balkendiagramme 139
Assoziationsplots 140
Mosaikplots 141
Spineplots 142
5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen 143
5.2.1 Grafische Analysemöglichkeiten 143
Streudiagramme 143
Streudiagramm-Matrizen 145
Hexagonalplots 146
5.2.2 Zusammenhangsmaße für metrische Merkmale 146
Empirische Kovarianz 146
Empirischer Korrelationskoeffizient nach Pearson 151
Empirische Kovarianz- und Korrelationsmatrizen 159
Korrelationskoeffizient nach Spearman 160
5.2.3 Einfache lineare Regression 164
Zweck und allgemeine Vorgehensweise 164
KQ-Methode (L2-Regression) 167
LAD-Methode (L1-Regression) 172
Kritische Punkte und Alternativen 177
5.3 Ergänzende und vertiefende Themen 180
5.3.1 Zusammenhänge in anderen Skalierungsfällen 180
Grafische Analysemöglichkeiten 180
Zusammenhangsmaße 183
Spezielle Regressionsmodelle 185
5.3.2 Grafische Darstellung höherdimensionaler Daten 188
Höherdimensionale Mosaikplots 188
3D-Punktwolken 190
Biplots 190
5.3.3 Wichtige Aspekte bei der Analyse empirischer Zusammenhänge 197
Empirische Zusammenhänge und Kausalität 197
Spezielle Formen von Kausalität 200
Systematische Verzerrungen 202
Zufällige Schwankungen 212
Teil 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung – Theoretischer Kalkül 217
6 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 218
6.1 Wichtige Grundbegriffe und Regeln 218
6.1.1 Interpretation von Zufall und Wahrscheinlichkeiten 218
6.1.2 Elementare Mengenlehre 223
6.1.3 Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff und Regeln 230
6.2 Rechnen mit abhängigen und unabhängigen Ereignissen 240
6.2.1 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Rechenregeln 240
6.2.2 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen 247
6.2.3 Kalkül nach der Formel von Bayes 255
7 Theoretische Verteilungen und Abhängigkeiten 259
7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen 259
7.1.1 Eindimensionale Zufallsvariablen 259
Konzept und Ausblick 259
Diskrete Zufallsvariablen und Additionskalkül 261
Stetige Zufallsvariablen und Integrationskalkül 264
Theoretische Verteilungsfunktion 269
Wahrscheinlichkeitsverteilung 273
7.1.2 Mehrdimensionale Zufallsvariablen 274
Konzept und Ausblick 274
Zweidimensionale diskrete Zufallsvariablen 276
Zweidimensionale stetige Zufallsvariablen 282
Stochastische Abhängigkeit und Unabhängigkeit 288
Höherdimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen 292
7.1.3 Verteilung von Funktionen von Zufallsvariablen 301
Funktionen einer Zufallsvariable 301
Funktionen aus mehreren Zufallsvariablen 307
7.2 Theoretische Kennwerte 310
7.2.1 Kennwerte in Bezug auf Lage und Streuung 311
Erwartungswert 311
Theoretische Varianz und Standardabweichung 326
Theoretische Quantile und theoretischer Median 330
7.2.2 Kennwerte in Bezug auf Abhängigkeiten 333
Bedingte Erwartungswerte und Varianzen 333
Theoretische Kovarianz und Korrelation 341
Theoretische Regressionskoeffzienten 347
7.2.3 Spezifische Eigenschaften theoretischer Kennwerte 348
Minimumeigenschaften von Lagekennwerten 348
Wichtige Transformationseigenschaften 349
Endliche und nicht endliche theoretische Momente 352
7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen 354
7.3.1 Spezielle diskrete Verteilungen 355
Elementare Kombinatorik 355
Einpunktverteilung 358
Bernoulli-Verteilung 358
Binomialverteilung 360
Poisson-Verteilung 364
7.3.2 Spezielle stetige Verteilungen 368
Stetige Gleichverteilung 368
Exponentialverteilung 370
Normalverteilung 375
7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte 383
7.4.1 Exakte Aussagen 384
Erwartungswerte und Varianzen 384
Verteilungen unter bestimmten Ausgangsverteilungen 387
7.4.2 Asymptotische und approximative Aussagen 393
Gesetz der großen Zahlen (GGZ) 393
Zentraler Grenzwertsatz (ZGWS) 398
8 Ergänzungen und Verallgemeinerungen 408
8.1 Weitere eindimensionale Verteilungen 408
8.1.1 Weitere diskrete Verteilungen 408
8.1.2 Weitere stetige Verteilungen 410
8.1.3 Sonstige eindimensionale Verteilungen 414
8.2 Ergänzungen zu asymptotischen Aussagen 416
8.2.1 Alternative GGZ- und ZGWS-Varianten 417
8.2.2 Stochastische Konvergenz und Verteilungskonvergenz 421
8.3 Einige multivariate Verallgemeinerungen 425
8.3.1 Multivariate Abhängigkeiten 425
Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Zufallsvektoren 425
Bedingte Abhängigkeit und Unabhängigkeit 428
8.3.2 Kenngrößen multivariater Abhängigkeiten 429
Theoretische Kovarianz- und Korrelationsmatrix 429
Bedingte Kennwerte für n > 2
8.3.3 Sonstige Verallgemeinerungen 433
Teil 3: Induktive Statistik – Verbindung von Empirie und Theorie 441
9 Einführung in die induktive Statistik 442
9.1 Modellierung und Handhabung von Schätz- und Testproblemen 442
9.2 Was versteht man unter einer Stichprobe? 446
9.3 Formale Unterscheidungsebenen 456
10 Statistisches Schätzen 460
10.1 Punktschätzung 460
10.1.1 Schätzer und ihre Gütekriterien 460
10.1.2 Erwartungstreue 467
10.1.3 Erwartete quadratische Abweichung (MSE) 471
10.1.4 Konsistenz 473
10.1.5 Effzienz 480
10.2 Intervallschätzung 483
10.2.1 Was versteht man unter einem Konfidenzintervall? 483
10.2.2 Konfidenzintervalle für Erwartungswerte 488
10.2.3 Konfidenzintervalle für Erwartungswertdifferenzen 494
10.2.4 Weitere Konfidenzintervalle 504
10.2.5 Adäquatheit bestimmter Modellannahmen 508
10.3 Schätzmethoden 514
10.3.1 Momentenmethode 514
10.3.2 Maximum-Likelihood-Methode 517
10.3.3 Weitere Schätzmethoden 523
11 Statistisches Testen 525
11.1Was versteht man unter einem Test? 525
11.1.1 Einführende Beispiele 525
11.1.2 Grundstruktur und Durchführung 537
11.1.3 Zusammenhang zur Intervallschätzung 540
11.2 Wichtige Aspekte beim Testen 542
11.2.1 Hypothesenwahl und Fehlerarten 543
11.2.2 Irrtumswahrscheinlichkeiten und Güte 546
11.2.3 p-Werte 557
11.2.4 Signifikanz vs. Relevanz 560
11.3 Ausgewählte Testverfahren 562
11.3.1 Tests über Erwartungswerte 562
11.3.2 Tests über Erwartungswertdifferenzen 566
11.3.3 Nichtparametrische 2-Tests 570
Allgemeiner überblick 570
X2-Anpassungstest 571
X2-Unabhängigkeitstest 579
11.3.4 Weitere Tests 584
Tests über Anteilswerte 584
Tests auf Unkorreliertheit und Unabhängigkeit 590
Sonstige Tests und Testmethoden 594
11.3.5 Allgemein zu beachtende Punkte 597
12 Das lineare Regressionsmodell 599
12.1 Einfaches lineares Regressionsmodell 599
12.1.1 Grundmodell und KQ-Methode 599
Statistisches Grundmodell 599
Herleitung der KQ-Schätzer 601
Eigenschaften der empirischen KQ-Regression 604
Bestimmtheitsmaß und Standardfehler der Regression 608
12.1.2 Modellannahmen und theoretische KQ-Regression 612
Ensembles von Modellannahmen 612
Theoretische KQ-Regression 619
12.1.3 Verteilungstheoretische Grundlagen 624
Verteilungen der KQ-Schätzer 624
Konsistenz und Effzienz der KQ-Schätzer 633
Schätzung der Varianzen der KQ-Schätzer 634
Verteilungen der Inferenzstatistiken 637
12.1.4 Schätzen und Testen 638
Konfidenzintervalle und Tests 638
Spezialfall: Binärer Regressor 640
Adäquatheit bestimmter Modellannahmen 643
Fallbeispiel 1: Bewässerung und Wachstum 650
Fallbeispiel 2: Klassengröße und Lernerfolg 654
12.2 Einführung in das multiple lineare Regressionsmodell 660
12.2.1 Partielle lineare KQ-Regression 660
Empirische partielle Regression 660
Theoretische partielle Regression 666
Verbindung von Empirie und Theorie 668
12.2.2 Multiple lineare KQ-Regression 670
Empirische multiple Regression 670
Theoretische multiple Regression 673
Verbindung von Empirie und Theorie 675
Statistische Modelle und Inferenz 675
12.2.3 Fallbeispiele 684
Fallbeispiel 2 fortgesetzt: Determinanten des Lernerfolgs 684
Fallbeispiel 3: Gewicht und Geschlecht 686
Fallbeispiel 4: Binäre Regressoren und ANOVA-Modelle 688
Anhang: Tabellen 692
Stichwortverzeichnis 695
Literaturverzeichnis 704