Wirtschaftsmathematik (eBook)

1 Mathematische Grundlagen 16
1.1 Folgen, Summen und Reihen 16
1.1.1 Grundlagen 16
1.1.2 Summenformeln 19
1.1.3 Grenzwerte von Folgen 23
1.2 Einige wichtige Funktionen 28
1.2.1 Lineare Funktionen 29
1.2.2 Quadratische Funktionen 33
1.2.3 Kubische Funktionen 35
1.2.4 Ganzrationale Funktionen 37
1.2.5 Gebrochenrationale Funktionen 38
1.2.6 Exponentialfunktionen 40
1.2.7 Logarithmusfunktionen 44
1.3 Übungen zum Kapitel 1 47
2 Differenzialrechnung in R 54
2.1 Grundlagen 54
2.1.1 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 54
2.1.2 Ableitungsfunktion und Ableitungsregeln 55
2.1.3 Ableitungen höheren Grades 60
2.1.4 Linearisierung und Änderungsraten 61
2.2 Numerische Lösung von Gleichungen 63
2.2.1 Die Idee des Newton-Verfahrens 64
2.2.2 Formalisierung des Iterationsschritts 66
2.2.3 Mögliche Probleme beim Newton-Verfahren 68
2.3 Monotonie und Krümmung 69
2.3.1 Monotonieverhalten 69
2.3.2 Krümmungsverhalten 71
2.3.3 Ökonomische Bedeutung von Monotonie und Krümmung 74
2.4 Optimierung von Funktionen 76
2.4.1 Lokale Extrema 76
2.4.2 Berechnung lokaler Extrema mit Differenzialrechnung 77
2.4.3 Globale Extrema 80
2.4.4 Wendepunkte 80
2.5 Anwendung der Differenzialrechnung auf ökonomische Funktionen 82
2.5.1 Kostenfunktionen 82
2.5.2 Absatz, Preis, Umsatz und Gewinn 85
2.5.3 Betriebsoptimum und Betriebsminimum 89
2.5.4 Angebot und Nachfrage 90
2.5.5 Produktionsfunktionen 93
2.5.6 Elastizität 94
2.6 Übungen zum Kapitel 2 98
3 Integralrechnung in R 103
3.1 Unbestimmtes und bestimmtes Integral 103
3.1.1 Stammfunktionen 103
3.1.2 Der Integralbegriff 104
3.1.3 Partielle Integration 106
3.1.4 Substitution 108
3.2 Flächenberechnung 109
3.2.1 Der Zugang über Summen 109
3.2.2 Flächenfunktionen 112
3.2.3 Konkrete Flächenberechnungen 114
3.3 Ökonomische Anwendungen der Integralrechnung 118
3.3.1 Individuelle und kumulierte Konsumentenrente 118
3.3.2 Konsumentenrente und Produzentenrente am Markt 119
3.4 Uneigentliche Integrale 122
3.4.1 Unbegrenzte Flächen 122
3.4.2 Deutung als Wahrscheinlichkeiten 125
3.4.3 Die Exponentialverteilung bei Warteprozessen 127
3.5 Übungen zum Kapitel 3 129
4 Lineare Algebra 133
4.1 Lineare Gleichungssysteme 133
4.1.1 Der Fall einer Variablen 133
4.1.2 Der Fall mehrerer Variablen 134
4.1.3 Systeme linearer Gleichungen in mehreren Variablen 136
4.1.4 Formulierung von LGS mit Matrizen 139
4.2 Der Gauß-Algorithmus 140
4.2.1 Der Fall quadratischer Koeffizientenmatrizen 140
4.2.2 Die drei Fälle der Lösbarkeit 143
4.2.3 Der Fall beliebiger Koeffizientenmatrizen 144
4.2.4 Der Gauß-Algorithmus in der Übersicht 146
4.3 Anwendungen des Gauß-Algorithmus in der Praxis 148
4.3.1 Probleme mit eindeutiger Lösbarkeit 148
4.3.2 Probleme mit mehrdeutiger Lösbarkeit 150
4.4 Matrizen 153
4.4.1 Grundlagen 153
4.4.2 Rechnen mit Matrizen 154
4.4.3 Deutung der Matrizenmultiplikation 157
4.4.4 Das Invertieren von Matrizen 160
4.4.5 Determinanten 163
4.4.6 Minoren und Entwicklungssatz nach Laplace 166
4.5 Ökonomische Anwendungen von Matrizen 169
4.5.1 Input-Output–Analyse 169
4.5.2 Innerbetriebliche Leistungsverrechnung 172
4.5.3 Markow-Ketten 174
4.6 Übungen zum Kapitel 4 178
5 Lineare Optimierung 187
5.1 Einführung 187
5.1.1 Warum lineare Funktionen? 187
5.1.2 Graphische Darstellungen 188
5.1.3 Erste Schritte zur Optimierung 190
5.1.4 Formalisierung des Problems 192
5.2 Die graphische Methode 193
5.2.1 Der zulässige Bereich eines Optimierungsproblems 194
5.2.2 Die Zielfunktion und die Gradientenrichtung 195
5.2.3 Graphische lineare Optimierung 197
5.3 Der Simplex-Algorithmus 201
5.3.1 Die Schlupfvariablen und das Starttableau 202
5.3.2 Basisvariablen 204
5.3.3 Der Basiswechsel 205
5.3.4 Das Verfahren im Überblick 208
5.4 Methoden zur Minimierung 212
5.4.1 Die Zwei-Phasen-Methode 212
5.4.2 Der duale Simplex-Algorithmus 217
5.5 Diskrete lineare Optimierung 221
5.5.1 Grundbegriffe 222
5.5.2 Ganzzahlige lineare Optimierung 222
5.5.3 Binäre lineare Optimierung 227
5.6 Übungen zum Kapitel 5 231
6 Differenzialrechnung in Rn 237
6.1 Ableitungsfunktionen 237
6.1.1 Steigungen und Änderungsraten 237
6.1.2 Höhere Ableitungen und Hesse-Matrizen 243
6.2 Optimierung von Funktionen in mehreren Variablen 246
6.2.1 Der Fall zweier Variablen 246
6.2.2 Der Fall beliebig vieler Variablen 249
6.2.3 Globale Extrema 251
6.3 Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen 252
6.3.1 Substitution 252
6.3.2 Lagrange-Methode mit einer Nebenbedingung 259
6.3.3 Bedeutung des Lagrangeschen Multiplikators 263
6.3.4 Lagrange-Methode mit mehreren Nebenbedingungen 265
6.4 Übungen zum Kapitel 6 268
7 Finanzmathematik 272
7.1 Grundlagen der Zinsrechnung 272
7.1.1 Wachstumsfaktoren 272
7.1.2 Lineare Verzinsung 275
7.1.3 Exponentielle und kalenderjährliche Verzinsung 277
7.1.4 Unterperiodische Verzinsung 279
7.1.5 Stetige Verzinsung als Grenzübergang diskreter Verzinsungen 282
7.1.6 Inflation 285
7.2 Zahlungsreihen 287
7.2.1 Kalkulationszins und Zahlungsreihen 287
7.2.2 Anpassung der Perioden 290
7.2.3 Äquivalenz von Zahlungsreihen 293
7.3 Rentenrechnung 294
7.3.1 Nachschüssige und vorschüssige Renten 294
7.3.2 Anpassung der Perioden mit der Ersatzrente 296
7.3.3 Ewige Renten 299
7.4 Tilgungsrechnung 300
7.4.1 Der Zahlungsstrom eines Kredits 300
7.4.2 Tilgungspläne 301
7.4.3 Ratentilgung 302
7.4.4 Reguläre Annuitätentilgung 303
7.4.5 Prozentannuitätentilgung 305
7.4.6 Prozentannuitätentilgung mit Disagio 307
7.5 Investitionsrechnung 309
7.5.1 Normalinvestitionen und Kapitalwert 309
7.5.2 Annuitäten von Investitionsreihen 311
7.5.3 Interner Zinsfuß bei Normalinvestitionen 312
7.5.4 Interner Zinsfuß bei Nicht-Normalinvestitionen 316
7.6 Portfolio-Optimierung 318
7.6.1 Optimierung eines Portfolios zweier Aktien 319
7.6.2 Optimierung eines Portfolios beliebig vieler Aktien 322
7.7 Übungen zum Kapitel 7 324
Sachwortverzeichnis 330

Mathematische Grundlagen
Differenzialrechnung in R
Integralrechnung in R
Lineare Algebra
Lineare Optimierung
Differenzialrechnung in Rn
Finanzmathematik