Differenzialgleichungen für Einsteiger (eBook)

Vorwort 6
Inhaltsverzeichnis 8
1 Grundlegende Begriffe 10
1.1 Was ist eine gewöhnliche Differenzialgleichung? 10
1.2 Einteilung gewöhnlicher Differenzialgleichungen 13
1.3 Lösungen und ihre geometrische Interpretation 14
1.4 Anfangs- und Randwertprobleme 18
1.5 Einige Beispiele zur Modellierung 20
1.6 Direkte und inverse Probleme 25
1.7 Bis hierher alles klar? 30
2 Differenzialgleichungen 1. Ordnung 32
2.1 Ein grafisches Lösungsverfahren 32
2.2 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen 34
2.3 Differenzialgleichungen mit trennbaren Variablen 40
2.4 Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung 44
2.5 Wiederholung ist die Mutter der Weisheit 47
3 Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung 49
3.1 Homogene und inhomogene Differenzialgleichungen 49
3.2 Lösungsstruktur linearer Gleichungen 50
3.3 Variation der Konstanten 51
3.4 Ein algebraisches Lösungsverfahren 54
3.5 Die Schwingungsgleichung 59
3.6 Die Methode der Laplace-Transformation 68
3.6.1 Definition und Existenz der Laplace-Transformation 68
3.6.2 Eigenschaften der Laplace-Transformation 71
3.6.3 Regeln für die Rücktransformation 74
3.6.4 Anwendung zur Lösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen 76
3.7 Haben Sie alles verstanden? 84
4 Systeme linearer Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 86
4.1 Homogene und inhomogene Systeme 87
4.2 Lösungsstruktur linearer Systeme 91
4.3 Variation der Konstanten 94
4.4 Ein algebraisches Lösungsverfahren 95
4.4.1 Matrixeigenwertprobleme 96
4.4.2 Konstruktion eines Fundamentalsystems 103
4.5 Lösung von Anfangswertproblemen für Systeme mit dem algebraischen Lösungsverfahren 113
4.6 Lösung von Anfangswertproblemen für Systeme mit der Laplace-Transformation 118
4.7 Jetzt wiederholen wir noch mal! 125
5 Einführung in die Stabilitätstheorie 127
5.1 Stetige Abhängigkeit von den Eingangsdaten und Stabilität 127
5.2 Stabilität der trivialen Lösung 132
5.3 Stabilität und Gleichgewichtslagen 136
5.4 Alles stabil? 144
6 Etwas zur numerischen Lösung 145
6.1 Das EULER-Verfahren 146
6.2 Das HEUN-Verfahren 148
6.3 Das klassische RUNGE-KUTTA-Verfahren 150
6.4 Konvergenz und Schrittweite 152
6.5 Annäherungsversuche 154
7 Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen mit MAPLE 156
7.1 Vorbemerkungen 156
7.2 Lösung einer skalaren gewöhnlichen Differenzialgleichung 160
7.3 Lösung von Systemen 168
7.4 Grafische Lösung von Differenzialgleichungen 172
Anhang 1: Lösungen der Modellierungsbeispiele 176
Anhang 2: Lösungen der Aufgaben 180
Anhang 3: Testklausur mit Lösungen 190
Anhang 4: Tabelle von Laplace-Transformationen 193
Literaturverzeichnis 199
Index 200
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Prüfungsangst ( S. 19)

Das Herz rast, das Hemd ist durchgeschwitzt, rote Flecken zieren den Hals und die Stimme versagt. Angst. Angst ist etwas Natürliches und erfüllt Schutzfunktionen. Sie ist eine normale Reaktion auf ein als bedrohlich eingestuftes Ereignis. Doch nimmt sie überhand oder ist sie (in ihrem Ausmaß) unbegründet, so behindert sie uns. Umfragen zeigen, dass etwa 10 % der Studierenden unter Prüfungsangst leiden, unmittelbar vor einer Prüfung sogar 50 %. Bei etwa einem Viertel sind sowohl Prüfungsvorbereitung als auch Prüfungsleistung hierdurch beeinträchtigt (vgl. [31]).

Dieser Abschnitt wendet sich an Leserinnen und Leser, die bei Prüfungen sehr aufgeregt oder ängstlich sind und die sich dadurch in ihrer Leistung eingeschränkt fühlen, weil sie sich zum Beispiel nicht konzentrieren können, sie plötzlich alles vergessen haben oder nicht mehr schreiben können. Unser Ziel ist es, Ihnen aufzuzeigen, welche Ursachen und Auswirkungen Prüfungsangst hat und mit welchen Methoden Sie Prüfungsstress begegnen und Ihre Prüfungsangst überwinden können.

Wir kommen nicht umhin, Sie darauf hinzuweisen, dass Sie von Prüfungsangst leider nicht en passant befreit werden können. Vielmehr bedarf es Ihrer aktiven Anstrengung in einem längeren Prozess der Veränderung. Das Ziel besteht darin, mehr Kontrolle über sich und die belastende Situation zu erlangen. Verstehen Sie unsere Tipps bitte als eine Anregung. Wenngleich unsere Vorschläge auf einer soliden Basis stehen, so können wir Ihnen doch eine Besserung nicht garantieren.

Probieren Sie unsere Hinweise aus und finden Sie Ihren eigenen Weg. Und wenn Ihnen ein Tipp lächerlich vorkommt, dann bedenken Sie: Niemand sieht oder hört Ihnen beim Ausprobieren zu. Sollte Ihnen eine Übung einmal unangenehm sein, so brechen Sie diese ab und probieren eine andere. Veränderung braucht Zeit und die meisten Techniken zur Bewältigung von Prüfungsangst beruhen auf übenden Verfahren.

Nehmen Sie sich daher während der Prüfungsvorbereitung die Zeit, sich mit Ihrer Prüfungsangst auseinanderzusetzen. Freuen Sie sich auch über kleine Erfolge! Die Bewältigung von Angst ist ein dynamischer Prozess mit großen und kleinen Veränderungen, vielen Fortschritten und gelegentlichen Misserfolgen. Es ist ein Prozess des inneren Wachsens.

Ein wesentlicher Baustein bei der Bewältigung von Angst ist es, sich anderen mitzuteilen und sich so in Beziehung zu anderen zu setzen. Der Hintergrund dafür ist, dass Sie über die Kommunikation mit anderen zu mehr Klarheit über Ihr eigenes Empfinden, Ihre eigenen Gedanken und Ihr Verhalten gelangen. Au erdem ermöglicht Ihnen der Austausch mit anderen, sich deren Erfahrungen zu Nutze zu machen, das eigene Verhalten gespiegelt zu bekommen und Unterstützung und Zuspruch zu erhalten.

Sollte es Ihnen unmöglich erscheinen, sich anderen mitzuteilen, oder fühlen Sie sich häufig unverstanden, so empfehlen wir Ihnen, sich an einen Psychologischen Psychotherapeuten zu wenden. Auf tieferliegende Konikte oder massive Angste können wir hier nicht eingehen.

Bei sehr starken, immer wiederkehrenden Angstzuständen, Panikattacken oder allgemeiner Niedergeschlagenheit und Verstimmung oder wenn Angste und innere Erregung di us sind und sich nicht konkretisieren lassen ( " Warum habe ich gerade jetzt und wovor eigentlich Angst?") empfehlen wir Ihnen ebenfalls, ärztlichen oder psychologischen Rat einzuholen. Entsprechende Adressen nden Sie über die auf Seite 32 angegebenenWebseiten. Warum bloß habe ich diese Angst?