Zählen lernen

Um zu begreifen, wie genial unsere Zahlen sind, hilft es, sich etwas mit den römischen zu beschäftigen, die bei uns noch bis vor wenigen hundert Jahren in Gebrauch waren. Bei den Römern wurden Zahlen durch sieben verschiedene Buchstaben dargestellt – jeder von ihnen stand unveränderbar für eine bestimmte Menge. Hier eine Übersicht.

Komplexere Zahlen wurden durch Addition und Subtraktion dargestellt. XXII zum Beispiel steht für 22 (10 + 10 + 1 + 1 = 22) und MMXIII für 2013 (1000 + 1000 + 10 + 1 + 1 + 1 = 2013). Wenn kleinere Buchstaben auf der linken Seite von größeren standen, wurden sie subtrahiert. IIX zum Beispiel bedeutet acht (10 - 2 = 8). Es fällt auf, dass bei diesem System die Anzahl der Buchstaben nichts über die dargestellte Menge aussagt – es fällt somit schwer, Zahlen zu vergleichen. Einer, Zehner und Hunderter lassen sich nicht einfach in Spalten untereinanderschreiben.

Dieses System war somit prima, um eine Jahreszahl in den Sockel eines Denkmals zu hämmern – aber komplett ungeeignet, um schriftliche Berechnungen durchzuführen. Doch die waren nicht notwendig: Man rechnete damals mit dem Abakus, in seiner ganz frühen Form war das ein Brett mit Rillen, auf dem Tonmurmeln hin und her geschoben wurden. Je nachdem, wo sich diese Murmeln auf dem Brett befanden, konnten sie einen Einer, Zehner oder Hunderter darstellen. Geschriebene Zahlen dienten nur zum Festhalten des Ergebnisses, aber nicht zu dessen Berechnung. Eine Zahl für die Menge »nichts« war somit nicht notwendig. Wo auf dem Abakus keine Murmel war, war eben nichts.

Dann brachten arabische Händler eine Neuerung aus dem fernen Indien nach Europa, die wahrscheinlich die wichtigste kulturelle Errungenschaft der Menschheit nach Ackerbau und Viehzucht ist: das Stellenwertsystem. Die Hindus hatten ein System entwickelt, bei dem der Wert einer Ziffer von ihrer Position in der Zahl abhing: Jede Stelle der Zahl war das Zehnfache der jeweils rechts von ihr stehenden wert. Die Ziffer Eins konnte somit für die Menge eins, zehn, hundert oder eine Trillion stehen. Das älteste erhaltene Dokument dieser Art ist eine in Sanskrit beschriebene Kupferplatte aus dem Jahr 595 n. Chr., welche die Zahl 346 enthält. Dieses System brachte riesige Vorteile mit sich: die Größenordnung einer Zahl war ganz einfach aus ihrer Länge ersichtlich, Zahlen ließen sich somit sehr einfach vergleichen, untereinanderschreiben und addieren. Somit wurden schriftliche Berechnungen erst möglich!

Die Zahl Hundertundeins bestand nun aus einem Hunderter und einem Einer, aber keinem Zehner. Zwischen dem Hunderter und dem Einer war – nichts! Man brauchte einen Platzhalter, um diesen fehlenden Zehner darzustellen. Zuerst ließ man einfach eine Lücke: 1 1. Auf diese Weise ließ sich aber nicht feststellen, ob es sich um die Zahl Hundertundeins oder um Tausendundeins handelte. Irgendwann setzte man einen Punkt als Platzhalter ein, der sich später zu einem Kreis entwickelte – die Zahl Null war geboren.

Man nimmt an, dass die Null in Indien erfunden wurde. Die älteste noch erhaltene Null der Welt stammt aus dem 7. Jahrhundert und findet sich heute in Kambodscha als gemeißelte Inschrift der Tempelanlage Sambor Prei Kuk. Dort steht geschrieben: »Die Śaka-Ära erreicht 605 den fünften Tag des abnehmenden Mondes …«

Der italienische Wissenschaftler Leonardo Fibonacci erkannte als einer der Ersten die Überlegenheit der indisch-arabischen Zahlen gegenüber den damals in Europa benutzten römischen Zahlen und beschrieb sie um das Jahr 1200 in Europa. Das heißt aber noch nicht, dass sie damit den Sprung in unseren Kulturkreis geschafft hätten. Sie wurden als »heidnische« Zahlen verschrien, während die römischen zu »christlichen« und »teutschen« erklärt wurden. Ein Erlass von 1299 in Florenz verbot Kaufleuten das Rechnen mit der Null, da sie »Betrug Tür und Tor« öffnen würde. Es dauerte noch mehrere hundert Jahre, bis sich das indisch-arabische Zahlensystem mit der Null in Europa durchsetzen konnte. In Deutschland verhalf ihm erst 1522 der sprichwörtlich gewordene Rechenmeister Adam Ries (»Das macht nach Adam Riese …«) mit seinem Büchlein Rechenung auff der linihen und federn zum Durchbruch.

Wenn Ihr Kind also nicht verstehen will, warum zehn größer ist als neun, obwohl die Zahl doch nur aus einer Eins und nichts besteht, halten Sie sich vor Augen, wie lange die Europäer gebraucht haben, um diesen asiatischen Zahlenzauber zu begreifen.

Unsere Finger sind der Grund, warum wir ein Zahlensystem benutzen, das auf der Zehn basiert. Noch heute bezeichnet man im Englischen Ziffern und Stellen als digits – Finger und Zehen. Wie wichtig unsere Finger für die Entwicklung unseres Zahlensystems waren, wird klar, wenn wir uns mit den Zahlensystemen der Mayas, Azteken oder Kelten beschäftigen. Die Menschen dieser unterschiedlichen Kulturen hatten gemein, dass sie barfuß im Schneidersitz rechneten und somit nicht nur ihre Finger, sondern auch ihre Zehen nutzen konnten. Daher verwendeten sie Zahlensysteme, die auf der Zwanzig basierten. Abgesehen von unserer Fingerzahl, gibt es keinen zwingenden Grund für das Zehner-System. Ein auf der Zwölf fußendes System zum Beispiel hätte uns aus mathematischer Sicht mehr Vorteile zu bieten: Da die Zwölf ohne Rest durch zwei, drei, vier und sechs sowie eins und sich selbst geteilt werden kann, hätte uns ein Zwölfer-System viel von der ungeliebten Bruchrechnung erspart – die Zehn dagegen kann nur durch zwei, fünf sowie eins und sich selbst dividiert werden.

Doch was wäre, wenn wir nur acht Finger hätten – so wie Homer Simpson oder Micky Maus? Dann würden wir so zählen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12 … Ein solches Zahlensystem nennt man Oktalsystem. Beachten Sie, wie die Ziffer Acht hier nie auftaucht – so wie es in unserem Dezimalsystem keine Ziffer für die Zehn gibt. Irritierenderweise erscheinen die Ziffern Acht und Neun ständig in Simpsons-Folgen – Homer rechnet also trotz seiner Finger dezimal. Und das, obwohl sich jede Menge Mathematiker und Naturwissenschaftler unter den Autoren der Serie befinden!

Unsere Kinder wachsen umgeben von Gegenständen auf, die durch Zahlen bezeichnet werden: Das Haus der Familie hat die Nummer drei; wenn sie mit der Mutter in der Straßenbahn in die Stadt fahren, sagt diese: »Wir nehmen die Acht.« Es ist daher nicht überraschend, dass Kinder zu dem Schluss kommen, diese Nummern seien fest mit den Gegenständen verbunden. Wenn Kinder im Alter von zwei oder drei Jahren Zahlen kennenlernen, nehmen sie diese eher als Eigenschaftswörter oder Namen wahr denn als Mengen.

Ein Beispiel: Angenommen, Sie zählen mit Ihrem Kleinkind zusammen Gummibärchen. Wenn Sie es fragen, ob es Ihnen drei Bärchen geben könne, wird es Ihnen nur eines reichen – nämlich jenes, auf das Sie zeigten, als Sie beim Zählen »drei« gesagt hatten.

Der erste Schritt, den ein Kind daher machen muss, ist, festzustellen, dass Zahlen keine Eigenschaften sind, sondern Mengen bezeichnen. Führen wir uns kurz vor Augen, was es auf dem Weg zum souveränen Zähler zudem noch lernen muss: