Finite Elemente in der Baustatik (eBook)

Prof. Dr.-Ing. Horst Werkle lehrt Baustatik an der Hochschule Konstanz.

Vorwort zur 1. Auflage 6
Vorwort zur zweiten Auflage 7
Vorwort zur dritten Auflage 8
Inhaltsverzeichnis 10
1 Matrizenrechnung 15
1.1 Matrizen und Vektoren 15
1.2 Matrizenalgebra 17
1.2.1 Addition und Subtraktion 17
1.2.2 Multiplikation 18
1.2.3 Matrizeninversion 20
1.3 Gleichungssysteme 21
1.3.1 Inhomogene und homogene Gleichungssysteme 21
1.3.2 Existenz von Lösungen 22
1.3.3 Lösungsverfahren 23
1.3.4 Normen und Konditionszahl 32
1.4 Eigenwertprobleme 33
1.4.1 Allgemeines Eigenwertproblem 33
1.4.2 Numerische Lösungsverfahren für Eigenwertprobleme 39
1.5 Nichtlineare Gleichungssysteme 51
1.5.1 Einführung 51
1.5.2 Sekantenverfahren 53
1.5.3 Newton-Raphson-Verfahren 55
1.5.4 Quasi-Newton-Verfahren 64
1.5.5 Kurvenverfolgungsverfahren 68
1.5.6 Konvergenzkriterien 74
1.5.7 Steuerungsstrategien 76
2 Grundgleichungen der Elastizitätstheorie 79
2.1 Tragwerkstypen und Grundgleichungen 79
2.2 Grundgleichungen von Fachwerkstab und Scheibe 80
2.3 Grundgleichungen von Biegebalken und Platte 89
2.4 Räumliche Tragwerke 97
3 Finite-Element-Methode für Stabwerke 101
3.1 Überblick 101
3.1.1 Die Finite-Element-Methode als statisches Berechnungsverfahren 101
3.1.2 Knotenpunkte, Freiheitsgrade und Finite Elemente 101
3.1.3 Berechnungsverfahren 103
3.2 Einführungsbeispiel: Ebene Fachwerke 105
3.2.1 Statisches System 105
3.2.2 Elementsteifigkeitsmatrix des Fachwerkstabs 106
3.2.3 Koordinatentransformation 108
3.2.4 Systemsteifigkeitsmatrix 114
3.2.5 Auflagerbedingungen 121
3.2.6 Lösung des Gleichungssystems 124
3.2.7 Auflagerkräfte und Elementspannungen 125
3.3 Federn 128
3.4 Biegebalken 129
3.4.1 Elementsteifigkeitsmatrix und Spannungsmatrix 129
3.4.2 Elementlasten 132
3.4.3 Erweiterung der Steifigkeitsmatrix für Normalkräfte und zur 138
Berücksichtigung der Schubsteifigkeit 138
3.4.4 Koordinatentransformation 139
3.4.5 Gelenke 141
3.5 Zusammengesetzte Stabwerke 144
3.6 Räumliche Stabwerke 147
3.6.1 Allgemeines 147
3.6.2 Biegebalken 148
3.6.3 Biegebalken mit Wölbkrafttorsion 151
3.7 Modellbildung bei Stabwerken 157
3.7.1 Auflager 157
3.7.2 Federn 159
3.7.3 Biegebalken 162
3.7.4 Symmetrische Systeme 168
3.8 Qualitätssicherung und Dokumentation von Stabwerksberechnungen 171
3.8.1 Fehlermöglichkeiten bei Stabwerksberechnungen 171
3.8.2 Kontrollen von Stabwerksberechnungen 175
4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke 181
4.1 Historische Entwicklung 181
4.2 Überblick 181
4.3 Näherungscharakter der Finite Element Methode 183
4.3.1 Eindimensionales Erläuterungsbeispiel 183
4.3.2 Analytische Lösung 184
4.3.3 FEM-Näherungslösung mit linearem Verschiebungsansatz 187
4.3.4 FEM-Näherungslösung mit quadratischem Verschiebungsansatz 194
4.3.5 Eigenschaften der FEM-Näherungslösung 202
4.4 Rechteckelement für Scheiben 203
4.4.1 Ansatzfunktionen 203
4.4.2 Verzerrungen und Spannungen 206
4.4.3 Steifigkeitsmatrix 208
4.4.4 Elementlasten 211
4.4.5 Beispiele 214
4.5 Finite Elemente für Scheiben 220
4.5.1 Eigenschaften von Finiten Elementen 220
4.5.2 Elemente mit stetigen Verschiebungsansätzen 226
4.5.3 Nichtkonforme Elemente 234
4.5.4 Hybride Elemente 235
4.6 Rechteckelement für Platten 243
4.6.1 Elementtyp 243
4.6.2 Ansatzfunktionen 243
4.6.3 Verzerrungsgrößen und Schnittgrößen 245
4.6.4 Steifigkeitsmatrix 247
4.6.5 Elementlasten 249
4.7 Finite Elemente für Platten 251
4.7.1 Schubweiche Plattenelemente mit Verschiebungsansatz 251
4.7.2 Schubstarre Plattenelemente mit Verschiebungsansatz 252
4.7.3 Hybride Plattenelemente 257
4.7.4 Beispiel 258
4.8 Finite Elemente für Schalen 261
4.8.1 Ebene Schalenelemente 261
4.8.2 Gekrümmte Schalenelemente als modifizierte Volumenelemente 264
4.8.3 Rotationssymmetrische Schalenelemente 264
4.9 Volumenelemente 268
4.10 Verbindung unterschiedlicher Elementarten 269
4.10.1 Allgemeines 269
4.10.2 EST-Element zur Verbindung von Stäben und Stützen mit Scheiben 271
4.10.3 EST-Element zur Verbindung von Stützen mit Plattentragwerken 284
4.10.4 Weitere Elementübergänge 292
4.11 Modellbildung von Bauteilen 293
4.11.1 Tragwerksmodelle 293
4.11.2 Singularitäten von Zustandsgrößen 294
4.11.3 Elementwahl und Netzbildung 297
4.11.4 Modellbildung bei Scheiben 307
4.11.5 Modellbildung bei Platten 327
4.11.6 Modellbildung bei Faltwerken, Schalen und allgemeinen 3D-Systemen 359
4.11.7 Ergebnisinterpretation 364
4.12 Qualitätssicherung und Dokumentation von Finite-Element 368
Berechnungen 368
4.12.1 Fehlerabschätzung und adaptive Netzverdichtung 368
4.12.2 Kontrollen bei Flächentragwerken 371
4.12.3 Dokumentation der Finite-Element-Berechnung 373
5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke 375
5.1 Einleitung 375
5.2 Grundbegriffe der Dynamik 375
5.2.1 Kinematik 375
5.2.2 Massenkräfte 376
5.2.3 Dämpfungskräfte 383
5.3 Bewegungsgleichungen 385
5.4 Freie Schwingungen 389
5.4.1 Ungedämpfte Schwingungen 389
5.4.2 Gedämpfte Schwingungen 396
5.5 Schwingungen infolge harmonischer Erregung 399
5.6 Schwingungen infolge beliebiger Erregung 405
5.6.1 Direkte numerische Integration 405
5.6.2 Modalanalyse 411
5.6.3 Fourier-Transformation 420
5.7 Erdbebenberechnung 429
5.7.1 Allgemeines 429
5.7.2 Zeitverlaufsberechnungen 430
5.7.3 Antwortspektrenverfahren 436
5.8 Modellbildung 451
5.8.1 Tragwerks- und Finite-Element-Modell 451
5.8.2 Modellbildung von Gebäuden und Boden-Bauwerk-Wechselwirkung 456
5.8.3 Modellierung der Dämpfung 464
5.8.4 Modellierung der Massen 468
5.8.5 Diskretisierung im Zeit- und Frequenzbereich 470
5.8.6 Dynamisches Modell und physikalische Wirklichkeit 475
6 Nichtlineare Finite-Element-Methode 481
6.1 Einleitung 481
6.2 Lösungsverfahren nichtlinearer Probleme 484
6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente 491
6.3.1 Einleitung 491
6.3.2 Fachwerkstab nach Theorie III. Ordnung 491
6.3.3 Fachwerkstab nach Theorie II. Ordnung 497
6.3.4 Biegebalken nach Theorie II. Ordnung 503
6.3.5 Plattenelement nach Theorie II. Ordnung 517
6.3.6 Finite Elemente mit großen Verschiebungen 522
6.4 Nichtlineare Materialgesetze 531
6.4.1 Allgemeines 531
6.4.2 Eindimensionale Materialgesetze für Stahl, Beton und Stahlbeton 533
6.4.3 Mehrdimensionale Materialgesetze nach der Plastizitätstheorie 537
6.4.4 Zweidimensionale Materialgesetze für Stahl, Beton und Stahlbeton 541
6.4.5 Elemente mit materieller Nichtlinearität 549
6.5 Modellbildung 554
6.5.1 Stabtragwerke 554
6.5.2 Flächentragwerke 554
6.6 Nichtlineare Berechnungen in der Baustatik 562
7 Softwaretechnische Aspekte von Finite- Element- Programmen 565
7.1 Programmaufbau und Benutzeroberflächen 565
7.2 Netzgenerierung 570
7.3 Rechnerinterne Behandlung von Gleichungssystemen 574
7.4 Integration in die computerunterstützte Tragwerksplanung 581
Literatur 583
Internet-Adressen 603
Die Homepage zum Buch 604
Finite-Element-Software 604
Warenzeichen 604
Sachwortverzeichnis 605

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke (S. 87-88)

3.1 Überblick

3.1.1 Die Finite-Element-Methode als statisches Berechnungsverfahren

Die Berechnung statisch unbestimmter Systeme in der Baustatik führt im Allgemeinen auf ein lineares algebraisches Gleichungssystem. Ausnahmen bilden Untersuchungen, bei denen geometrische oder materialbedingte Nichtlinearitäten von Bedeutung sind. Sind die Unbekannten dieses Gleichungssystems Kräfte und Momente, so spricht man vom Kraftgrößenverfahren, sind es Verschiebungen und Verdrehungen, vom Verschiebungsgrößenverfahren. Sowohl das Kraftgrößenverfahren als auch das Verschiebungsgrößenverfahren können in Matrizenschreibweise formuliert und somit in einer für die Computerberechnung geeigneten Form angeschrieben werden [3.1]-[3.6].

Jedoch ist das Verschiebungsgrößenverfahren übersichtlicher und leichter schematisierbar als das Kraftgrößenverfahren und damit besser zur Programmierung geeignet. Daher beruhen fast alle in der Praxis angewandten Programmsysteme für baustatische Berechnungen auf dem Verschiebungsgrößenverfahren. Dieses wird im Folgenden ausschließlich behandelt. In der Literatur wird das Verschiebungsgrößenverfahren auch als Weggrößenverfahren, Formänderungsgrößenverfahren oder Deformationsverfahren bezeichnet. Die Formulierung des Verschiebungsgrößenverfahrens in Matrizenschreibweise wird auch bei Stabwerken meist als „Finite-Element-Methode" bezeichnet.

Diese Bezeichnung wird im Folgenden übernommen, da Stabwerke lediglich einen Spezialfall der allgemeineren Anwendung auf Flächentragwerke und dreidimensionale Kontinua darstellen. Der Grundgedanke der Methode der Finiten Elemente besteht darin, das zu berechnende Tragwerk in eine größere Anzahl von Elementen mit leicht überschaubaren statischen Eigenschaften zu zerlegen und diese dann unter Wahrung der kinematischen Verträglichkeitsbedingungen und der statischen Gleichgewichtsbedingungen zu einem komplexen Gesamtsystem zusammenzufügen. Da hierbei auch unterschiedliche Tragwerkselemente, wie z. B. Elemente zur Abbildung von Stäben, Scheiben, Platten sowie dreidimensionalen Kontinuen, in demselben Berechnungsmodell verwendet werden können, ist die Methode äußerst vielseitig und leistungsfähig.

3.1.2 Knotenpunkte, Freiheitsgrade und Finite

Elemente Zur Berechnung nach der Methode der Finiten Elemente diskretisiert man das Tragwerk in einzelne sogenannte Finite Elemente. Diese sind an Knotenpunkten miteinander verbunden. An den Knotenpunkten werden Verschiebungsgrößen (Verschiebungen und Verdrehungen) sowie - als äußere Belastung des Systems - Kraftgrößen (Kräfte und Momente) definiert. Diese sind auf das globale Koordinatensystem bezogen, für das in der Regel kartesische Koordinaten verwendet werden. Verschiebungen oder Verdrehungen eines Knotenpunkts in globalen Koordinaten werden ganz allgemein auch als globale Freiheitsgrade bezeichnet.

Welche Freiheitsgrade einem Knotenpunkt zugeordnet werden, hängt von der Art des Tragwerks ab. Im allgemeinen räumlichen Fall sind sechs Freiheitsgrade, nämlich die Verschiebungen in x-, y- und z-Richtung sowie die Verdrehungen um die x-, y- und z-Achse möglich. Bei ebenen Systemen und speziellen Tragwerksformen verringert sich die Anzahl der zu berücksichtigenden Freiheitsgrade, beispielsweise bei einer Platte in der x-y-Ebene auf drei Freiheitsgrade je Knotenpunkt, nämlich die Verschiebung in z-Richtung sowie die Verdrehungen um die x- und y-Achse (Bild 3-3). Die Definition von auf den Knotenpunkt bezogenen Kräften und Momenten, z. B. für Einzellasten, entspricht der Vorzeichendefinition der zugehörigen Verschiebungsfreiheitsgrade.