Zum Einfluss digitaler Werkzeuge auf die Konstruktion mathematischen Wissens (eBook)

Michael Rieß promovierte als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Didaktik der Mathematik und der Informatik der Universität Münster. 

Geleitwort 6
Danksagungen 8
Inhaltsverzeichnis 11
Abbildungsverzeichnis 15
Tabellenverzeichnis 20
Einleitung 22
Gliederung der Arbeit 25
Teil I. Theoretische Grundlagen & empirische Erkenntnisse
1. Instrumentelle Genese, Zeichen und der didaktische Ditetraeder 32
1.1. Der didaktische Tetraeder und die verwandten Theorien 33
1.1.1. Das Didaktische Dreieck 34
1.1.2. Artefakte und Instrumente 37
1.1.2.1. Wygotskis instrumentelle Methode 38
1.1.2.2. Artefakte 42
1.1.2.3. Vom Artefakt zum Instrument 46
1.1.3. Der didaktische Tetraeder 56
1.2. Zeichen, Konzepte und das epistemologische Dreieck 61
1.2.1. Zeichen im Mathematikunterricht 62
1.2.1.1. Das semiotische Dreieck 65
1.2.1.2. Bedeutung von Zeichen fur den Mathematikunterricht 70
1.2.1.3. Diagramme im Mathematikunterricht 73
1.2.2. Theorien über individuelle mathematische Konzepte und Begriffe 81
1.2.2.1. Individuelle mathematische Konzepte und Begriffe 82
1.2.2.2. ,,Concept Image'' und ,,Concept Defnition " 88
1.2.2.3. Ansätze zur Erfassung des individuellen mathematischen Konzepts 93
1.2.2.4. Konzeptuelles und prozedurales Wissen 98
1.2.3. Das epistemologische Dreieck 107
1.2.3.1. Die Struktur des epistemologischen Dreiecks 109
1.2.3.2. Das epistemologische Dreieck im Kontext von Zeichen und Konzepten 113
1.3. Der didaktische Ditetraeder der Innen- und Außenwelt des Lernens 117
1.3.1. Das interne Spiegeldreieck der instrumentellen Genese 118
1.3.2. Der Tetraeder der Innenwelt des Lernens 125
1.3.2.1. Das Dreieck der Legizeichengenese 125
1.3.2.2. Das Dreieck der mathematischen Wahrnehmung 128
1.3.3. Der Ditetraeder im Kontext 131
2. Einsatz digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht 135
2.1. Werkzeuge, Medien & Technologie im Mathematikunterricht
2.1.1. Verwendung technischer Hilfsmittel im Mathematikunterricht 137
2.1.2. Werkzeuge im Mathematikunterricht 139
2.2. Digitale Werkzeuge für den Mathematikunterricht 143
2.2.1. Tabellenkalkulation 144
2.2.2. Funktionenplotter / grafikfähiger Taschenrechner 146
2.2.3. Computeralgebrasystem 148
2.2.4. Dynamische Geometriesoftware 153
2.2.5. Multirepräsentationssysteme und Handhelds 156
2.3. Ausgewählte didaktische Überlegungen zum Einsatz digitaler Werkzeuge 160
2.3.1. Black Box - White Box 161
2.3.2. Kognitive (digitale) Werkzeuge und diagrammatisches Denken 164
2.3.3. Instrumentelle Genese & instrumentelle Orchestrierung
3. Theorie des funktionalen Denkens 173
3.1. Der Begriff des funktionalen Denkens 174
3.1.1. Perspektiven funktionalen Denkens 175
3.1.1.1. Die Aspekte des funktionalen Denkens nach Vollrath (1989) und Malle (2000) 175
3.1.1.2. Das Function Concept " 177
3.1.1.3. Vergleich der Ansätze 183
3.1.1.4. Manipulativer oder reektierter Umgang mit Daten 184
3.2. Darstellungen und Übersetzungen zwischen Darstellungen 187
3.2.1. Darstellungen 189
3.2.1.1. Defnition des Darstellungsbegris 191
3.2.1.2. Arten von Darstellungen 195
3.2.2. Darstellungsformen von Funktionen 203
3.2.3. Darstellungsvielfalt und Darstellungswechsel 207
3.2.3.1. Darstellungsvielfalt und Darstellungsflexibilität 208
3.2.3.2. Darstellungswechsel 214
3.2.4. Darstellungswechsel und Übersetzungstätigkeiten im Umgang mit Funktionen 218
3.2.4.1. Der Graph-als-Bild Fehler 221
3.3. Integrierte Sichtweisen auf Darstellungsformen und funktionales Denken 223
3.3.1. Der ,,Function Block " 223
3.3.2. Facetten und Ebenen des Funktionskonzeptes 225
3.3.3. Das Haus des funktionalen Denkens 227
4. Problemlösen und Realitätsbezüge im Mathematikunterricht 229
4.1. Problemlösen im Mathematikunterricht 230
4.1.1. Begriffe der Problemlöseforschung 231
4.1.1.1. Probleme und Problemlösen 231
4.1.1.2. Themengebiete im Rahmen der Problemlöseforschung 234
4.1.2. Klassifikation von Problemlöseprozessen 244
4.1.2.1. Vergleich unterschiedlicher Modelle von Problemlöseprozessen 244
4.1.2.2. Das empirische Problemlösemodell von Rott 252
4.2. Realitätsbezüge im Mathematikunterricht 257
4.2.1. Anwendungen von Mathematik in der Schule 258
4.2.2. Realitätsbezüge, Modelle und Modellierung 261
4.2.2.1. Der Modellbegri 262
4.2.2.2. Modellieren 267
4.2.3. Arten und Eigenschaften von Aufgaben mit Realitätsbezug 268
4.2.3.1. Klassische Einteilungen von Sachaufgaben 268
4.2.3.2. Authentizität 271
4.2.3.3. Offenheit von Aufgaben 275
4.3. Die Beziehung von Modellieren, Problemlösen und digitalen Werkzeugen 278
4.3.1. Die Abgrenzung und Integration von Modellieren und Problemlösen 279
4.3.2. Theorien zum Einsatz digitaler Werkzeuge beim Modellieren und Problemlösen 282
5. Ausgewählte empirische Ergebnisse im Rahmen der vorgestellten Theorie und verbindende Studien 289
5.1. Einsatz digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht 290
5.1.1. Ergebnisse von Metastudien zum Einsatz digitaler Werkzeuge 290
5.1.2. Studien zum langfristigen Werkzeugeinsatz 296
5.1.3. Ergänzende Ergebnisse zum Einsatz digitaler Werkzeuge 302
5.2. Anbindung der Forschung zu digitalen Werkzeugen an die inhaltlichen und prozessbezogenen Aspekte mathematischen Wissens 309
5.2.1. Funktionales Denken 310
5.2.2. Realitätsbezüge, Modellieren und Problemlösen 316
Teil II. Forschungsdesign 322
6. Forschungsfragen und Ziele 323
6.1. Forschungsinteresse 324
6.1.1. Theoretische Verankerung des Forschungsinteresses 325
6.1.2. Empirische Verankerung des Forschungsinteresses 327
6.2. Ausdierenzierung der Forschungsfrage 329
6.2.1. Konkretisierung bezüglich des mathematischen Wissens 329
6.2.2. Konkretisierung bezüglich des digitalen Werkzeugs 333
6.2.3. Konkretisierung bezüglich der Rahmenbedingungen des Lernens 335
6.3. Endgültige Forschungsfrage 337
7. Forschungsmethodik 339
7.1. Allgemeine methodische Verortung 340
7.1.1. Verortung in der qualitativen Forschung 340
7.1.2. Das qualitative Experiment 342
7.2. Datenerhebung 345
7.2.1. Videographierung von Aufgabenbearbeitung 346
7.2.1.1. Die Aufgaben 349
7.2.1.2. Die Eingaben 349
7.2.1.3. Die Pilotierung 350
7.2.2. Interview 351
7.2.2.1. Verortung des durchgeführten Interviews 352
7.2.2.2. EXKURS: Kognitiver Konfikt und Conceptual Change 357
7.3. Datenanalyse 360
7.3.1. Qualitative Inhaltsanalyse 361
7.3.2. Konkretes Analysedesign 365
7.3.2.1. Die Produktdaten 367
7.3.2.2. Die Prozessdaten 369
7.3.3. Darstellung konkreter Analyseentscheidungen am Beispiel 373
7.3.3.1. Die Produktdaten 373
7.3.3.2. Die Prozessdaten 376
7.3.4. Interraterreliabilität 382
8. Das Projekt CASI und Einbettung des Forschungsvorhabens 388
8.1. Konzeption des Projekts CASI 389
8.2. Publizierte Ergebnisse 392
8.3. Einbettung des Forschungsvorhabens 396
8.3.1. Die organisatorische Einbindung des Forschungsvorhabens in das Projekt CASI 396
8.3.2. Die Daten der untersuchten Schülerinnen und Schüler im Kontext des Projekts CASI 397
9. Diskussion der Testaufgaben 404
9.1. Rationale Aufgabenanalyse 405
9.2. Kriterien für Aufgabenschwierigkeit 408
9.2.1. Vergleich verschiedener Theorien zu Aufgabenschwierigkeit 409
9.2.2. Schwierigkeitsgenerierende Merkmale 414
9.3. Analyseschema für Aufgaben mit Realit?atsbezug 417
9.3.1. Modellierungsaktivitäten 418
9.3.2. Datenlage 420
9.3.3. Art des Realitätsbezuges 421
9.3.4. Situation oder Kontext 422
9.3.5. Art des Modells 423
9.3.6. Art der Repräsentation 424
9.3.7. Offenheit der Aufgabe 425
9.3.8. Kognitive Anforderungen und mathematischer Inhalt 425
9.4. Analyse der Aufgaben 426
9.4.1. Aufgabe 1 426
9.4.2. Aufgabe 2 428
9.4.3. Aufgabe 3 431
9.4.4. Aufgabe 4 435
Teil III. Ergebnisse 440
10. Fallbeschreibungen 441
10.1. Lösungen der Aufgaben 1 und 3 441
10.1.1. Lösungen von Aufgabe 1 441
10.1.1.1. Projektgruppe 1 442
10.1.1.2. Projektgruppe 2 442
10.1.1.3. Projektgruppe 3 443
10.1.1.4. Projektgruppe 4 443
10.1.1.5. Projektgruppe 5 445
10.1.1.6. Projektgruppe 6 445
10.1.1.7. Kontrollgruppe 1 446
10.1.1.8. Kontrollgruppe 2 446
10.1.1.9. Kontrollgruppe 3 446
10.1.1.10. Kontrollgruppe 4 447
10.1.1.11. Kontrollgruppe 5 447
10.1.1.12. Kontrollgruppe 6 447
10.1.2. Lösungen von Aufgabe 3 447
10.1.2.1. Projektgruppe 1 448
10.1.2.2. Projektgruppe 2 448
10.1.2.3. Projektgruppe 3 448
10.1.2.4. Projektgruppe 4 449
10.1.2.5. Projektgruppe 5 449
10.1.2.6. Projektgruppe 6 450
10.1.2.7. Kontrollgruppe 1 450
10.1.2.8. Kontrollgruppe 2 450
10.1.2.9. Kontrollgruppe 3 450
10.1.2.10. Kontrollgruppe 4 451
10.1.2.11. Kontrollgruppe 5 451
10.1.2.12. Kontrollgruppe 6 451
10.2. Lösungsprozesse von Aufgabe 2 452
10.2.1. Die Projektgruppen 452
10.2.1.1. Projektgruppe 1 452
10.2.1.2. Projektgruppe 2 453
10.2.1.3. Projektgruppe 3 454
10.2.1.4. Projektgruppe 4 454
10.2.1.5. Projektgruppe 5 456
10.2.1.6. Projektgruppe 6 457
10.2.2. Die Kontrollgruppen 457
10.2.2.1. Kontrollgruppe 1 457
10.2.2.2. Kontrollgruppe 2 458
10.2.2.3. Kontrollgruppe 3 458
10.2.2.4. Kontrollgruppe 4 459
10.2.2.5. Kontrollgruppe 5 460
10.2.2.6. Kontrollgruppe 6 461
10.3. Lösungsprozesse von Aufgabe 4 461
10.3.1. Die Projektgruppen 462
10.3.1.1. Projektgruppe 1 462
10.3.1.2. Projektgruppe 2 463
10.3.1.3. Projektgruppe 3 464
10.3.1.4. Projektgruppe 4 465
10.3.1.5. Projektgruppe 5 466
10.3.1.6. Projektgruppe 6 467
10.3.2. Die Kontrollgruppen 468
10.3.2.1. Kontrollgruppe 1 468
10.3.2.2. Kontrollgruppe 2 469
10.3.2.3. Kontrollgruppe 3 470
10.3.2.4. Kontrollgruppe 4 472
10.3.2.5. Kontrollgruppe 5 473
10.3.2.6. Kontrollgruppe 6 474
11. Darstellung der Ergebnisse 475
11.1. Darstellung der Ergebnisse im Bezug auf die Produktdaten 475
11.1.1. Aufgabe 1 476
11.1.2. Aufgabe 2 477
11.1.3. Aufgabe 3 478
11.1.4. Aufgabe 4 479
11.2. Darstellung der Ergebnisse im Bezug auf die Prozessdaten 482
11.2.1. Aufgabe 2 483
11.2.2. Aufgabe 4 489
Teil IV. Diskussion und Ausblick 495
12. Diskussion 496
12.1. Diskussion der Ergebnisse 496
12.1.1. Diskussion des Ein usses auf Darstellungsformen von Funktionen 497
12.1.1.1. Verwenden die Projektschülerinnen und -schüler bevorzugt andere Darstellungen von Funktionen als die Lernenden der Kontrollgruppe? 497
12.1.1.2. Ist ein Unterschied in der Vielfalt der verwendeten Darstellungen erkennbar? 499
12.1.1.3. Zeigt eine der beiden Gruppen von Lernenden häufigeres oder höherfrequentes Wechseln zwischen Darstellungssystemen? 499
12.1.1.4. Sind Unterschiede in konkreten Übersetzungstätigkeiten sichtbar? 500
12.1.1.5. Welche Übersetzungen werden mit dem digitalen Werkzeug durchgeführt? 501
12.1.1.6. Zusammenfassung 501
12.1.2. Diskussion des Ein usses auf Aspekte funktionalen Denkens 502
12.1.2.1. Betonen Schülerinnen und Schüler mit digitalen Werkzeugen besondere Aspekte des funktionalen Denkens nach Vollrath (1989)? 503
12.1.2.2. Ist in diesem Zusammenhang ein Unterschied im Bezug auf die Behandlung von Funktionen als Prozess oder Objekt zwischen den Gruppen von Lernenden feststellbar? 504
12.1.2.3. Können Unterschiede im Bezug auf re ektierten und manipulativen Umgang mit Funktionen beobachtet werden? 505
12.1.2.4. Welchem Aspekt des funktionalen Denkens kann die Nutzung des digitalen Werkzeugs zugeordnet werden? 507
12.1.2.5. Zusammenfassung 507
12.1.3. Diskussion des Ein usses auf das Verhalten beim Lösen mathematischer Aufgaben 509
12.1.3.1. Zeigen die Projektschülerinnen und -schüler andere Problemlöseprozesse als die Lernenden der Kontrollgruppe? 509
12.1.3.2. In welchen Problemlösephasen wird das digitale Werkzeug bevorzugt eingesetzt und werden Funktionen außerhalb des rein mathematischen Arbeitens verwendet? 510
12.1.3.3. Können Unterschiede bezogen auf typische Fehler (Graph-als-Bild, Perseveration, Übergeneralisierung von linearen Zusammenhängen) beobachtet werden? 511
12.1.3.4. Unterscheiden sich die beiden Gruppen von Lernenden in den Verhaltensweisen der unterschiedlichen vorgestellten Typisierungen? 512
12.1.3.5. Verarbeiten die Projektschülerinnen und -schüler Realsituationen anders als die Lernenden der Kontrollgruppe? 516
12.1.3.6. Zusammenfassung 517
12.1.4. Zusammenfassende Bemerkungen 519
12.2. Diskussion der Methode 521
12.2.1. Diskussion der Kernkriterien 522
12.2.2. Diskussion der allgemeinen Gütekriterien qualitativer Forschung 525
12.2.3. Diskussion der Gütekriterien qualitativer Inhaltsanalyse 527
12.2.3.1. Validität im engeren Sinne 527
12.2.3.2. Reliabilität 528
13. Ausblick 530
13.1. Ausblick auf der Basis der theoretischen Grundlagen 530
13.2. Ausblick auf der Basis der empirischen Studie 535
Literaturverzeichnis 538
Inhaltsverzeichnis des Digitalanhangs 573