Zur Entwicklung des Mengen- und Zahlbegriffs (eBook)

Simeon Schlicht ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Mathematikdidaktik der Universität zu Köln.

Geleitwort 6
Vorwort 8
Inhaltsverzeichnis 10
Abbildungsverzeichnis 14
Tabellenverzeichnis 16
1 Einleitung 17
2 Einblick in die historische Entwicklung der Auffassungen vonMathematik 21
2.1 Die Elemente Euklids 21
2.2 Projektive Geometrie 26
2.3 Nicht-euklidische Geometrie 29
2.4 Geometrie heute 32
2.5 Zusammenfassung 34
3 Empirische Theorien 36
3.1 Begriffsbestimmung 36
3.2 Carnaps Zwei-Stufen-Konzept 37
3.3 Sneeds Theoretizitätskriterium 39
3.4 Mini-Theorie AS 40
3.4.1 Intendierte Anwendungen 40
3.4.2 Potentielle Modelle 41
3.4.3 Modelle 42
3.4.4 Theoretische Terme 43
3.4.5 Partiell-Potentielle Modelle – Ramsey-Substitution 44
3.4.6 Querverbindungen 45
3.4.7 Beispiel für die Anwendung der Theorie AS 45
3.4.8 Zusammenfassung 47
3.5 Methode zur Beschreibung der Entwicklung der Auffassungenvon Mathematik 47
4 Theory Theory 49
4.1 Das Konzept 49
4.2 Anwendungsbeispiel: Entwicklung der Objekttheorie 51
4.2.1 Erste Objekttheorie 51
4.2.2 Theorie mit ca. 9 Monaten 54
4.2.3 Theorie mit ca. 18 Monaten 56
4.2.4 Erwachsenentheorie 57
4.2.5 Diskussion 58
4.3 Theory Theory und Empirische Theorien 59
5 Vorerfahrungen im Erwerb desMengen- und Zahlbegriffs 62
5.1 Spontane Anzahlerfassung – Subitizing undQuasi-Simultanauffassung 63
5.1.1 Subitizing 63
5.1.2 Quasi-Simultanauffassung 65
5.2 Vergleich der Kardinalität von Kollektionen von Objekten 66
5.3 Zahlwortreihe 66
5.3.1 Zählprinzipien 66
5.3.2 Stufen in der Entwicklung der Zahlwortreihe 67
5.4 Zahlaspekte 68
5.5 Subjektive Erfahrungsbereiche 72
5.5.1 Das Konzept 73
5.5.2 Zahlaspekte und Subjektive Erfahrungsbereiche 76
5.5.3 Empirische Theorie und Subjektive Erfahrungsbereiche 76
5.6 Empirische Theorie über Mengen und Zahlen 77
5.6.1 Intendierte Anwendungen 78
5.6.2 Partiell-Potentielle Modelle 79
5.6.3 Potentielle Modelle 80
5.6.4 Modelle 81
5.6.5 Empirische Menge 81
5.6.6 Querverbindungen 83
6 Methodik der Studie 85
6.1 Treffpunkt ’Mathematisch-informatische Frühförderung’ 85
6.2 Teilnehmende Kinder 85
6.3 Spielsituationen 86
6.3.1 Mit Bauklötzen bauen 87
6.3.2 Kartenmemory 87
6.3.3 Rechenwendeltreppe 88
6.3.4 ZARAO 88
6.3.5 Bausteineweg 90
6.4 Methodologische Überlegungen 90
6.4.1 Szenenauswahl 92
6.4.2 Erstellung von Transkripten 93
6.4.3 Transkriptionsregeln 94
6.4.4 Analyse von Transkripten 94
6.4.5 Rekonstruktion einer Theorie über Mengen und Zahlen 97
7 Ausgewählte Analysebeispiele 98
7.1 Analysebeispiel 1 – Carolin 98
7.1.1 Transkript 98
7.1.2 Kurzüberblick über die Szene 108
7.1.3 Einteilung in Phasen 108
7.1.4 Zusammenfassende Interaktionsanalyse 109
7.1.5 Beobachtbare mathematische Fähigkeiten 111
7.1.6 Rekonstruktion einer Theorie über Mengen und Zahlen 112
7.2 Analysebeispiel 2 – Laura 114
7.2.1 Transkript 114
7.2.2 Kurzüberblick über die Szene 118
7.2.3 Einteilung in Phasen 119
7.2.4 Zusammenfassende Interaktionsanalyse 119
7.2.5 Beobachtbare mathematische Fähigkeiten 121
7.2.6 Rekonstruktion einer Theorie über Mengen und Zahlen 122
7.3 Analysebeispiel 3 – Marc 123
7.3.1 Transkript 1 123
7.3.2 Kurzüberblick über die Szene 131
7.3.3 Einteilung in Phasen 132
7.3.4 Zusammenfassende Interaktionsanalyse 132
7.3.5 Beobachtbare mathematische Fähigkeiten 134
7.3.6 Rekonstruktion einer Theorie über Mengen und Zahlen 135
7.3.7 Transkript 2 136
7.3.8 Kurzüberblick über die Szene 140
7.3.9 Einteilung in Phasen 140
7.3.10 Zusammenfassende Interaktionsanalyse 141
7.3.11 Beobachtbare mathematische Fähigkeiten 142
7.3.12 Rekonstruktion einer Theorie über Mengen und Zahlen 142
8 Beschreibung der Entwicklung des Mengen- und Zahlbegriffs mittels empirischer Theorien über Mengen und Zahlen 144
8.1 Zusammenfassung der Ergebnisse der Szenenanalysen 144
8.2 Formulierung von TMZ 147
8.2.1 Intendierte Anwendungen 148
8.2.2 Partiell-Potentielle Modelle 148
8.2.3 Potentielle Modelle 149
8.2.4 Modelle 151
8.2.5 Empirische Menge 152
8.2.6 Querverbindungen 154
8.2.7 Rückbindung an die Ergebnisse der Szenenanalysen 154
8.3 Formulierung von TZ 154
8.3.1 Intendierte Anwendungen 155
8.3.2 Partiell-Potentielle Modelle 156
8.3.3 Potentielle Modelle 156
8.3.4 Modelle 157
8.3.5 Querverbindungen 158
8.3.6 Rückbindung an die Ergebnisse der Szenenanalysen 159
Literaturverzeichnis 161
Anhang 173