Philosophie der Mathematik (eBook)

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Th. Bedürftig, Universität Hannover, Germany; R. Murawski, AMU, Poznań, Poland.

Th. Bedürftig, Universität Hannover, Deutschland; R. Murawski, AMU, Posen, Polen.

Vorwort zur 2. Auflage?????????????????????????????????????????????????????????? 7
Vorwort zur 1. Auflage?????????????????????????????????????????????????????????? 9
Einleitung?????????????????????????????????? 15
1 Auf dem Weg zu den reellen Zahlen???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 21
1.1 Irrationalität?????????????????????????????????????????????????? 21
1.2 Inkommensurabilität???????????????????????????????????????????????????????????? 24
1.3 Rechnen mit ?2? 28
1.4 Näherungsverfahren, Intervallschachtelungen und Vollständigkeit???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 29
1.5 Zur Konstruktion der reellen Zahlen???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 35
1.6 Über den Umgang mit dem Unendlichen???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 37
1.7 Unendliche nicht periodische Dezimalbrüche?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 39
2 Aus der Geschichte der Philosophie und Mathematik???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 42
2.1 Pythagoras und die Pythagoreer?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 44
2.2 Platon?????????????????????????????????? 47
2.3 Aristoteles???????????????????????????????????????????? 50
2.4 Euklid?????????????????????????????????? 54
2.5 Proklos???????????????????????????????????? 56
2.6 Nikolaus von Kues???????????????????????????????????????????????????????? 58
2.7 Descartes???????????????????????????????????????? 61
2.8 Pascal?????????????????????????????????? 65
2.9 Leibniz???????????????????????????????????? 67
2.10 Kant???????????????????????????????? 70
2.11 Mill und empiristische Konzeptionen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 75
2.12 Bolzano?????????????????????????????????????? 79
2.13 Gauß???????????????????????????????? 82
2.14 Cantor???????????????????????????????????? 83
2.15 Dedekind???????????????????????????????????????? 88
2.16 Poincaré???????????????????????????????????????? 92
2.17 Logizismus???????????????????????????????????????????? 97
2.18 Intuitionismus???????????????????????????????????????????????????? 106
2.19 Konstruktivismus???????????????????????????????????????????????????????? 117
2.20 Formalismus?????????????????????????????????????????????? 119
2.21 Philosophie der Mathematik von 1931 bis in die 1950er Jahre?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 127
2.22 Der evolutionäre Standpunkt - eine neue philosophische Grundposition???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 133
2.23 Philosophie der Mathematik nach 1960???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 140
2.23.1 Quasi-empirische Konzeptionen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 142
2.23.2 Realismus und Antirealismus?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 150
3 Über Grundfragen der Philosophie der Mathematik???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 153
3.1 Zum Zahlbegriff???????????????????????????????????????????????????? 153
3.1.1 Überblick über einige Ansichten???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 154
3.1.2 Resümee???????????????????????????????????????? 155
3.2 Unendlichkeiten???????????????????????????????????????????????????? 160
3.2.1 Über die Problematik des Unendlichen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 160
3.2.2 Die Auffassung des Aristoteles?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 163
3.2.3 Die idealistische Auffassung?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 164
3.2.4 Der empiristische Standpunkt?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 165
3.2.5 Unendlichkeit bei Kant?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 166
3.2.6 Die intuitionistische Unendlichkeit???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 168
3.2.7 Die logizistische Hypothese des Unendlichen???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 168
3.2.8 Unendlichkeit und die neuere Philosophie der Mathematik .. .?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 169
3.2.9 Formalistische Haltung und heutige Tendenzen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 170
3.3 Das Kontinuum und das unendlich Kleine?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 171
3.3.1 Das allgemeine Problem?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 172
3.3.2 Aus der Geschichte des Kontinuums???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 174
3.3.3 Was ist ein Punkt??????????????????????????????????????????????????????????????? 186
3.3.4 Aus der Geschichte des Kontinuums – Fortsetzung???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 191
3.3.5 Eine Übersicht über Auffassungen des Kontinuums???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 195
3.3.6 Notizen zur Arithmetisierung des Kontinuums???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 198
3.3.7 Das Ende der Infinitesimalien und ihre Wiederentdeckung???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 200
3.3.8 Nichtstandardzahlen und das Kontinuum???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 206
3.3.9 Folgen für die Auffassung des Kontinuums?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 210
3.3.10 Das Verschwinden der Größen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 216
3.3.11 Abschließende Bemerkungen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 223
3.4 Zum Problem der Anwendbarkeit der Mathematik?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 227
3.4.1 Aspekte des Problems?????????????????????????????????????????????????????????????????? 227
3.4.2 Das Problem der Anwendung in historischen Auffassungen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 232
3.4.3 Die klassischen Positionen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 238
3.4.4 Neuere Konzeptionen???????????????????????????????????????????????????????????????? 241
3.4.5 Rückblick???????????????????????????????????????????? 242
3.5 Schluss???????????????????????????????????? 246
3.5.1 Von den natürlichen zu den rationalen Zahlen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 248
3.5.2 Inkommensurabilität und Irrationalität?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 249
3.5.3 Adjunktion?????????????????????????????????????????????? 251
3.5.4 Das lineare Kontinuum???????????????????????????????????????????????????????????????????? 251
3.5.5 Das unendlich Kleine?????????????????????????????????????????????????????????????????? 252
3.5.6 Konstruktion, Unendlichkeit, unendliche nicht periodische Dezimalbrüche???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 254
3.5.7 Schlussbemerkung?????????????????????????????????????????????????????????? 255
4 Mengen und Mengenlehren???????????????????????????????????????????????????????????????? 257
4.1 Paradoxien des Unendlichen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 258
4.2 Über den Begriff der Menge?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 260
4.2.1 Mengen und das Universalienproblem?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 261
4.3 Zwei Mengenlehren???????????????????????????????????????????????????????? 264
4.3.1 Die Mengenlehre nach Zermelo und Fraenkel???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 266
4.3.2 Die Mengenlehre nach von Neumann, Bernays und Gödel???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 274
4.3.3 Anmerkungen???????????????????????????????????????????????? 280
4.3.4 Über Modifikationen???????????????????????????????????????????????????????????????? 282
4.4 Auswahlaxiom und Kontinuumshypothese?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 283
4.4.1 Suche nach neuen Axiomen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 289
4.4.2 Weitere Bemerkungen und Fragen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 294
4.5 Schluss???????????????????????????????????? 295
5 Axiomatik und Logik???????????????????????????????????????????????????????? 300
5.1 Einige Elemente der mathematischen Logik?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 301
5.1.1 Syntax?????????????????????????????????????? 301
5.1.2 Semantik?????????????????????????????????????????? 304
5.1.3 Kalkül?????????????????????????????????????? 307
5.2 Bemerkungen zur Geschichte?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 309
5.2.1 Aus der Geschichte der Logik?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 310
5.2.2 Zur Geschichte der Axiomatik?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 318
5.3 Logische Axiomatik und Theorien???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 324
5.3.1 Peano-Arithmetik?????????????????????????????????????????????????????????? 326
5.3.2 Eine Axiomatik für die reellen Zahlen???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 327
5.4 Über die Arithmetik der natürlichen Zahlen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 329
5.4.1 Zum syntaktischen Aspekt?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 330
5.4.2 Zum semantischen Aspekt???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 333
5.5 Wahrheit und Beweisbarkeit?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 337
5.5.1 Formale Wahrheit?????????????????????????????????????????????????????????? 338
5.5.2 Vollständigkeit und Wahrheit?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 339
5.5.3 Syntaktische Reduktion der Wahrheit???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 342
5.5.4 Wahrheit ungleich Beweisbarkeit???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 344
5.5.5 Suche nach Auswegen???????????????????????????????????????????????????????????????? 346
5.5.6 Schlussbemerkung?????????????????????????????????????????????????????????? 348
5.6 Schlussfolgerungen?????????????????????????????????????????????????????????? 349
5.6.1 Schluss???????????????????????????????????????? 350
6 Rückblick???????????????????????????????????? 353
6.1 Setzung der reellen Zahlen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 354
6.2 Axiomatische Methode?????????????????????????????????????????????????????????????? 356
6.3 Zahlbegriff???????????????????????????????????????????? 357
6.4 Unendlichkeit, Auswahlaxiom und Kontinuumshypothese???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 357
6.5 Das unendlich Kleine und das Kontinuum?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 359
6.6 Anwendbarkeit???????????????????????????????????????????????? 360
6.7 Theoretische Grenzen?????????????????????????????????????????????????????????????? 361
6.8 Computereinsatz???????????????????????????????????????????????????? 362
6.9 Was ist Philosophie der Mathematik und wozu dient sie??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 363
6.10 Evidenz und Transzendenz???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 365
Kurzbiographien???????????????????????????????????????????? 368
Literaturverzeichnis?????????????????????????????????????????????????????? 382
Personenverzeichnis???????????????????????????????????????????????????? 396
Symbolverzeichnis???????????????????????????????????????????????? 401
Begriffsverzeichnis???????????????????????????????????????????????????? 403

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"Philosophie der Mathematik beschäftigt sich mit den Grundlagen der Mathematik. Sie hat eine lange Geschichte, die parallel zur Entwicklung der Mathematik verläuft und wie diese heute kaum noch in ihrer Gesamtheit darstellbar ist. Diesem Buch gelingt der Versuch, dies dennoch zu tun. Obwohl sich die meisten Lehrbücher der Mathematik in ihren einleitenden Kapiteln mit den Grundlagen der Mathematik beschäftigen, gehen die Grundfragen heute weit über Analysis, Artihmetik, Mengenlehre und Logik hinaus. Umso wertvoller ist ein Buch wie dieses für den Jung-Mathematiker, der noch nach Orientierung sucht und in Fragen nach den Grundlagen der Mathematik vielleicht einen neuen Blick auf die Mathematik jenseits von Teilgebieten erhält. ... Nach Lektüre dieses Buches steht fest: Philosophie der Mathematik ist die schönste Nebensache der Welt (neben der Beschäftigung mit Mathematik). Das Buch ist der geeignete Begleiter dafür."
Mark Krüger, mathematik.de

"Thomas Bedürftig und Roman Murawski eröffnen dem Leser einen exzellenten Einblick in die Art und Weise, wie sich die Mathematik im Laufe ihrer Geschichte entwickelt hat, und wie diese Wissenschaft heute viele Grundlagenfragen beantwortet, die sich wahrscheinlich jeder Mathematiker in seiner Ausbildung schon einmal gestellt hat. ... Mit diesem Buch haben mir die Autoren die Mathematik aus einer mir bisher unbekannten Perspektive vor Augen geführt, wofür ich mich ausdrücklich bedanke. Für jeden Leser, der sich für die philosophischen Aspekte der Mathematik interessiert, wird dieses Buch eine wertvolle Lektüre sein!"
Dirk Hoffmann, amazon.de

Aus einer Rezension zur 1. Auflage: "Es handelt sich um ein hervorragendes Buch, das auch als Nachschlagewerk sehr gut brauchbar ist. Der Rezensent kann bekennen, dass er viel an Fakten, aber auch an Zusammenhängen gelernt hat. Das Buch sei daher allen Mathematikern, vor allem den Mathematikdidaktikern und Mathematiklehrern zur Lektüre empfohlen. Es gehört unbedingt in die Universitätsbibliothek und in die Bibliothek der fachinhaltlichen bzw. fachdidaktischen Seminare. Hingewiesen sei auch auf das umfangreiche Literaturverzeichnis, das Personen- und das Begriffsverzeichnis sowie auf einen Anhang mit Kurzbiografien von Philosophen und Logikern. Dies unterstreicht die Empfehlung als Nachschlagewerk."
Heinz Griesel, Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik

"Aber Philosophie der Mathematik? Wozu kann das gut sein, wozu kann man das brauchen? Unbekümmert um solche Fragen steigen die beiden Autoren einfach direkt in das Thema ein und zeigen, wie spannend es sein kann, sich über Mathematik Gedanken zu machen, Gewohnheiten und Selbstverständlichkeiten in Frage zu stellen, mit frischem Blick auf längst eingeübte und verinnerlichte Argumentationsprozesse und Einsichten zu schauen. ... Das Buch kann jedermann empfohlen werden, der sich einen lebendigen, flüssig geschriebenen, informativen und gedankenreich konzipierten Text zur Philosophie der Mathematik zu Gemüte führen will."
Renatus Ziegler in: die Drei 5/2013