Mathematik ist schön (eBook)

Heinz Klaus Strick studierte die Fächer Mathematik und Physik an der Universität zu Köln. 37 Jahre lang war er Lehrer an einem Gymnasium in Leverkusen, zuletzt 21 Jahre auch Schulleiter der Schule. Durch seine fachdidaktischen Aufsätze, Schulbücher, Vorträge und Lehraufträge an verschiedenen Universitäten und nicht zuletzt durch seine Mathematik-Kalender (Mathematik-ist-schön-Website) erklärt er, warum Mathematik schön ist. Für seine Aktivitäten wurde ihm 2002 der Archimedes-Preis der MNU verliehen.

Vorwort 5
Inhaltsverzeichnis 9
1 Regelmäßige Vielecke und Sterne 14
1.1Eigenschaften regelmäßiger Sterne 14
1.2Sterne zeichnen 20
1.3Diagonalen in einem regelmäßigen n-Eck 22
1.4Zackenwinkel im regelmäßigen n-zackigen Stern 24
1.5Aufgesetzte n-zackige Sterne 28
1.6Regelmäßige n-Ecke in der Gauß’schen Zahlenebene 29
1.7Spielpläne mithilfe von regelmäßigen n-Ecken aufstellen 34
1.8Hinweise auf weiterführende Literatur 36
2 Muster aus bunten Steinen 37
2.1Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen 37
2.2Die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen 42
2.3Quotienten von Summen ungerader natürlicher Zahlen 45
2.4Darstellung einer natürlichen Zahl als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen 47
2.5Summe der ersten n Quadratzahlen von natürlichen Zahlen 53
2.6Summe der ersten n Kubikzahlen von natürlichen Zahlen 56
2.6.1Beweis der Formel für die Summe der ersten n Kubikzahlen durch Al-Karaji 57
2.6.2Beweis der Summenformel für Kubikzahlen durch Wheatstone 59
2.7Pythagoreische Zahlentripel 62
2.7.1Einfache Typen pythagoreischer Zahlentripel 63
2.7.2Weitere pythagoreische Zahlentripel 65
2.7.3Allgemeine Methode zur Bestimmung aller pythagoreischen Zahlentripel 67
2.7.4Herleitung der Formel zur Erzeugung aller pythagoreischen Zahlentripel 69
2.8Hinweise auf weiterführende Literatur 70
3 Zerlegung von Rechtecken in möglichst große Quadrate 71
3.1Ein Spiel mit einem Rechteck 71
3.2Rechnerische Untersuchung des Spiels – Beschreibung mithilfe von Kettenbrüchen 74
3.3Zusammenhang zwischen der Kettenbruchentwicklung und den Rechteckseiten 76
3.4Die Zerlegung besonderer Rechtecke – Fibonacci-Rechtecke 77
3.5Die Folge der Fibonacci-Zahlen 79
3.6Zusammenhang mit dem Euklidischen Algorithmus 82
3.7Beispiele unendlicher Folgen von Rechteckzerlegungen 85
3.8Bestimmung der Kettenbrüche von Quadratwurzeln 89
3.9Hinweise auf weiterführende Literatur 90
4 Kreise und Kreisringe 92
4.1Die Kreiszahl ? – Umfang und Flächeninhalt eines Kreises 92
4.2Kreisringe 94
4.3Verschobene Halbkreise 98
4.4Flechtbänder 101
4.5Laufbahnen 101
4.6Hinweise auf weiterführende Literatur 103
5 Pentominos und ähnliche Puzzles 105
5.1Einfache Polyominos 105
5.2Pentominos 108
5.2.1Parkettierung von Rechtecken durch Pentominos 108
5.2.2Parkettierung von vergrößerten Pentomino-Figuren durch Pentominos 112
5.2.3Parkettierung von Dreiecksfiguren mithilfe von Pentominos 114
5.3Hexominos 116
5.4Hinweise auf weiterführende Literatur 117
6 Fadenbilder 118
6.1Grundfigur Kreis – Seiten und Diagonalen in regelmäßigen Vielecken 118
6.2Grundfigur Quadrat 120
6.2.1Besondere Sternfiguren in einem Quadrat 120
6.2.2Parabeln in einem Quadrat 121
6.3Exkurs: Einhüllende einer Funktionenschar 124
6.3.1Beispiele von Geradenscharen, die im Rahmen des Schulunterrichts behandelt werden 124
6.3.2Ermittlung der Gleichung der einhüllenden Parabel 125
6.4Verfolgungskurven 129
6.5Grundfigur Kreis: Epizykloide 131
6.6Grundfigur zueinander senkrechte Achsen: Astroide 133
6.7Hinweise auf weiterführende Literatur 135
7 Rechnen mit Quadratzahlen – Zahlenzyklen 136
7.1Rechnen mit Quadratzahlen 137
7.1.1Rechnen mit Quadratzahlen: Von einer Quadratzahl zur nächsten 137
7.1.2Rechnen mit Quadratzahlen: Besondere Regel für Quadratzahlen mit Endziffer 5 138
7.1.3Rechnen mit Quadratzahlen: Produkte aus symmetrisch liegenden benachbarten Zahlen 139
7.1.4Rechnen mit Quadratzahlen: Kontrolle der Endziffern 141
7.1.5Rechnen mit Quadratzahlen: Vergleich der Methoden 142
7.2Zahlenzyklen 144
7.2.1Zahlenzyklen, die nach einem oder zwei Schritten enden 145
7.2.2Periodische Zyklen 146
7.3Zahlenzyklen modulo n 147
7.4Zahlenzyklen bei höheren Potenzen 149
7.4.1Untersuchungen der letzten beiden Endziffern von Kubikzahlen 149
7.4.2Untersuchung der letzten drei Endziffern einer Kubikzahl 151
7.5Hinweise auf weiterführende Literatur 153
8 Flächenaufteilungen 154
8.1Fortgesetzte Halbierungen 154
8.2Fortgesetzte Dreiteilungen 156
8.3Fortgesetzte Vierteilungen 158
8.4Fortgesetzte Fünfteilungen 160
8.5Fortgesetzte Teilungen in n gleich große Teilflächen 162
8.6Geometrische Folgen und Reihen 163
8.7Zerlegung von regelmäßigen n-Ecken in gleich große Teilflächen 165
8.8Hinweise auf weiterführende Literatur 168
9 Wiegen im 3er-System 169
9.1Lösung der einfachen Fälle des Wägeproblems 170
9.2Lösung der übrigen Fälle des Wägeproblems 171
9.3Darstellung natürlicher Zahlen im 3er-System 173
9.4Zusammenhang zwischen den beiden Darstellungen 174
9.5Hinweise auf weiterführende Literatur 177
10 Parkettieren von regelmäßigen 2n-Ecken mithilfe von Rauten 178
10.1Parkettierung eines regelmäßigen 10-Ecks 179
10.2Anwenden der Parkettierungsmethode auf andere regelmäßige 2n-Ecke 180
10.3Verallgemeinerungen der beobachteten Gesetzmäßigkeiten 182
10.4Anleitung zum Basteln der Rauten-Puzzles 184
10.5Alternative Auslegungen des regelmäßigen 10-Ecks mit Rauten 185
10.6Zentralsymmetrische Parkettierung der regelmäßigen 2n-Ecke von innen nach außen 187
10.7Zentralsymmetrische Parkettierung der regelmäßigen 2n-Ecke von außen nach innen 189
10.8Rauten-Parkettierungen für regelmäßige 5-Ecke, 7-Ecke, 9-Ecke usw 192
10.9Hinweise auf weiterführende Literatur 194
11 Untersuchungen zum Satz von Pick 195
11.1Eine Regel für Rechtecke 196
11.2Eine Regel für rechtwinklige Vielecke 198
11.3Überprüfung der Regel für schräg abgeschnittene Dreiecke 200
11.4Überlegungen zu einem allgemeinen Beweis des Satzes von Pick 201
11.5Hinweise auf weiterführende Literatur 204
12 Augensummen 206
12.1Augensummen beim Werfen von zwei regelmäßigen Hexaedern 207
12.2Augensummen beim Werfen von mehreren regelmäßigen Hexaedern 209
12.3Eine fehlerhafte Vorstellung über Augensummen 211
12.4Ein faires Würfelspiel mit Augensummen 214
12.5Die Sicherman-Würfel 215
12.6Weitere Ersatz-Zufallsgeräte für den Doppelwurf 216
12.7Algebraischer Hintergrund für die verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten 219
12.8Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensummen beim n-fachen Würfeln 223
12.9Wahrscheinlichkeitsverteilungen der platonischen Körper 225
12.10Vergleich von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit gleichen Augensummen 227
12.11Ein Beispiel zum Zentralen Grenzwertsatz 229
12.12Bestimmen von Augensummen mithilfe von Markow-Ketten 232
12.13Hinweise auf weiterführende Literatur 234
13 Das verschwundene Quadrat 236
13.1Scheinbar zueinander kongruente Figuren 237
13.2Das verschwundene Quadrat im Zusammenhang mit dem Höhensatz des Euklid 242
13.3Das verschwundene Quadrat im Zusammenhang mit anderen Methoden Euklids 247
13.3.1Anwendung des Kathetensatzes 247
13.3.2Umwandlung durch Flächenanlegung 248
13.4Weitere Eigenschaften der Folge der Fibonacci-Zahlen 249
13.5Anordnung von Sam Loyd 251
13.6Weitere geeignete Zahlentripel 252
13.7Das verschwundene Quadrat im Zusammenhang mit dem Satz von Pythagoras 253
13.8Hinweise auf weiterführende Literatur 254
14 Zerlegen von Rechtecken in lauter verschiedene Quadrate 256
14.1Rechtecke, die sich in neun bzw. zehn verschieden große Quadrate zerlegen lassen 257
14.2Bestimmen der Seitenlängen zu einer gegebenen Zerlegung 259
14.3Einführung der Bouwkamp-Notation zur Beschreibung einer Zerlegung 263
14.4Quadrate, die man in lauter verschieden große Quadrate zerlegen kann 266
14.5Zusammenhang mit elektrischen Netzwerken 269
14.6Ein Spiel mit Rechteckzerlegungen 270
14.7Hinweise auf weiterführende Literatur 271
15 Kissing Circles 273
15.1Untersuchung sich berührender Kreise mithilfe trigonometrischer Methoden 274
15.2Der Vier-Kreise-Satz von Descartes 276
15.3Bestimmung von Beispielen mit ganzzahligen Radien 280
15.4Pappos-Ketten 284
15.5Berührende Kreise mit Krümmung 0 287
15.6Hinweise auf weiterführende Literatur 289
16 Summen von Potenzen aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen 290
16.1Herleitung von Summenformeln mithilfe arithmetischer Folgen höherer Ordnung 291
16.2Koeffizientenbestimmung durch Vergleich aufeinanderfolgender Glieder der Summenfolge 298
16.3Alhazens Herleitung der Summenformeln für höhere Potenzen 300
16.4Thomas Harriot entdeckt den Zusammenhang zwischen Dreiecks- und Tetraederzahlen 303
16.5Fermats Entdeckung 308
16.6Pascals Methode zur Bestimmung von Formeln für Potenzsummen 310
16.7Darstellung der Potenzsummen-Formeln mithilfe der Bernoulli-Zahlen 312
16.8Bestimmung von Potenzsummen-Formeln mithilfe der Lagrange-Interpolation 313
16.9Hinweise auf weiterführende Literatur 315
17 Der Satz des Pythagoras 316
17.1Der Satz des Pythagoras und die klassischen Beweise von Euklid 316
17.1.1Erster Beweis von Euklid 317
17.1.2Zweiter Beweis von Euklid 319
17.2„Schöne“ Beweise des Satzes von Pythagoras 322
17.3Zerlegungsbeweise des Satzes von Pythagoras 324
17.3.1Ein Zerlegungsbeweis von Perigal 324
17.3.2Ein Zerlegungsbeweis von Göpel 325
17.3.3Ein Zerlegungsbeweis von Gutheil 326
17.3.4Ein Zerlegungsbeweis von Epstein und Nielsen 326
17.3.5Ein Zerlegungsbeweis von Dobriner und Thieme 327
17.4Darstellung der Zerlegungsbeweise mithilfe von Fliesenmustern 328
17.5Einige Beweise von historischer Bedeutung 329
17.6Unendliche Folgen im Zusammenhang mit dem Satz von Pythagoras 333
17.7Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras 335
17.8Die Möndchen des Hippokrates von Chios und andere Kreisfiguren 336
17.9Anwendung des Satzes von Pythagoras bei Vierecken 341
17.10Ganzzahlige Pythagoras-Partner und besondere Pythagoras-Folgen 342
17.11Heron’sche Dreiecke 347
17.12Briefmarken zu Pythagoras 350
17.13Hinweise auf weiterführende Literatur 352
Allgemeine Hinweise auf geeignete Literatur 354
Sachverzeichnis 356