Histoire de l'analyse diophantienne classique (eBook)

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R. Rashed, CNRS, Paris.

PRÉFACE 5
CHAPITRE I : L’ALGÈBRE ET LE COMMENCEMENT DE L’ANALYSE DIOPHANTIENNE RATIONNELLE 11
1. Analyse de Diophante et analyse diophantienne 11
2. Abü Kamil : l’analyse diophantienne comme chapitre de l’algèbre 12
2.2. Analyse diophantienne rationnelle du premier degré 39
2.3. Analyse diophantienne entière du premier degré 43
2.4. Conclusion 45
3. Al-Karaji : une nouvelle organisation de l’analyse diophantienne rationnelle 46
3.1. Équations indéterminées du second degré 50
3.2. Systèmes d’équations indéterminées du second degré 68
4. L’analyse diophantienne rationnelle après al-Karaji : al-Samaw’al 85
CHAPITRE II : L’ANALYSE DIOPHANTIENNE ENTIÈRE DU SECOND DEGRÉ 89
Introduction 89
1. Al-Khazin : Les triangles rectangles numériques et les nombres congruents 95
2. Al-Sijzi et Abu al-Jud (Xe siècle) 107
2.1. Al-Sijzi : géométrie des entiers et induction complète finie 108
2.2. Abu al-Jud ibn al-Layth 112
3. Fibonacci : Le Liber Quadratorum 120
4. Les congruences : Ibn al-Khilati , al-Khilati et al-Yazdi 129
4.1. Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson 129
4.2. Al-Yazdi et la solution de l’équation x2 + x2 + ° + xl = x2 135
CHAPITRE III : LES PROBLÈMES IMPOSSIBLES EN NOMBRES RATIONNELS ET LES PROBLÈMES INACCESSIBLES 141
1. La découverte des problèmes impossibles 141
2. Problèmes impossibles et problèmes inaccessibles : la collection d’Ibn al-Khawwam 147
3. Analyse diophantienne et analyse logico-philosophique 167
CHAPITRE IV: L’ANALYSE DIOPHANTIENNE, DE BOMBELLI À FERMAT 173
I. L’ANALYSE DE DIOPHANTE : DE BOMBELLI À BACHET 173
1.1. Diophante retrouvé : Bombelli, Gosselin, Stevin 175
1.1.1. Rafael Bombelli 175
1.1.2. Guillaume Gosselin de Caen 177
1.1.3. Simon Stevin 181
1.2. François Viète : une nouvelle orientation de l’analyse de Diophante 184
1.3. Bachet de Méziriac : réactivation de l’analyse indéterminée 215
II. FERMAT 228
2.1. La formation d’un projet : les traditions croisées 228
2.1.1. L’année 1636 231
2.1.2. Les recherches en théorie des nombres à partir des années 1636-1640 235
2.2. L’analyse diophantienne rationnelle 250
2.2.1. Les doubles équations 251
2.2.2. La triple équation 260
2.2.3. Équations indéterminées du troisième et quatrième degré 263
2.3. Les recherches en analyse diophantienne entière et en théorie des nombres : 1640-1659 271
2.3.1. La descente infinie 273
2.3.2. Les extensions de la méthode de la descente 283
2.3.3. Le théorème de [Pell]-Fermat 300
2.3.4. Le projet achevé 313
NOTES COMPLÉMENTAIRES 321
1. Deux problèmes inaccessibles 321
I. Équation x4 + a = y2, a entier, d’al-Karaji 321
II. Équation y3 = ax2 + bx d’al-Samaw’al 327
2. Frenicle : méthode de la descente infinie 331
APPENDICE: Ibn al-Khawwam, Fa.l fi dhikr al-masa'il allati là yumkin an yu'ta bi-jawab wahida minha 333
INDEX DES NOMS PROPRES 337
INDEX DES CONCEPTS 340
INDEX DES TRAITÉS 345
INDEX DES MANUSCRITS 348
OUVRAGES CITÉS 349