Einführung in die mathematische Behandlung naturwissenschaftlicher Fragen

Vorbemerkungen.- I. Funktion und graphische Darstellung.- A. Was ist eine Funktion?.- Zuordnungen.- Definition der Funktion.- Beispiele.- Warnungstafeln.- Bezeichnungen.- Nähere Kennzeichnung einer Funktion.- B. Funktionstafel und graphische Darstellung.- Funktionstafel.- Beispiel.- Schaubild.- Das rechtwinklige Koordinaten-system.- Darstellung einer Funktion durch eine Kurve im rechtwinkligen Koordinatensystem 6..- Entspricht jeder gezeichneten Kurve eine Funktion ?.- Koordinatograph.- Millimeterpapier.- Praxis der graphischen Darstellung.- Beispiele für graphische Darstellung.- Weiteres Beispiel: Barometerstand. Pathologische Kurven und Funktionen.- Stetigkeit.- Beispiel für XJnstetigkeit durch Sprung: Zugversuch.- Wie stellt sich der Naturwissenschaftler zur Stetigkeit ?.- Funktion gegeben durch Zeichnung.- C. Formeln und ähnliches für Funktionen.- Festlegung einer Funktion durch eine Formel, Definition o. dgl..- Beispiele.- Mathematisch definierte Funktionen. Absoluter Betrag.- Prinzipielles über Formeln. Stellung des Naturwissenschaftlers zu ihnen.- D. Implizite Funktion, Umkehrfunktion, zusammengesetzte Funktion.- Implizit gegebene Funktionen.- Wie verhält sich der Naturwissenschaftler bei impliziter Definition einer Funktion ?.- Umkehrfunktion. Monotonie.- Beispiel: Quadrat und Quadratwurzel.- Anschluß an die implizite Definition einer Funktion.- Zusammengesetzte Funktion.- Warum sind Umkehrung und Zusammensetzung von Funktionen für den Naturwissenschaftler wichtig ?.- E. Polarkoordinaten und Winkelmessung.- Was sind Polarkoordinaten ?.- Wann gebraucht man Polarkoordinaten ?.- Umrechnung von Polarkoordinaten in rechtwinklige Koordinaten 19..- Winkel-messung. Bogenmaß.- F. Funktionsleitern.- Die Funktionsleiter.- Logarithmische Leiter.- Zwei gleichsinnige Leitern mit zusammenfallenden Anfangspunkten.- Zwei gleichsinnige Leitern mit verschiedenen Anfangspunkten.- Gegensinnige Leitern.- G. Rechenschieber und Rechenmaschinen.- Die vier Hauptleitern des Instruments.- Läufer. Quadrieren und Quadrat-wurzelziehen.- Gleichmäßige Leiter und trigonometrische Leitern.- Drei Läuferstriche.- Multiplikation und Division durch festen Divisor.- Gegenläufige Zunge. Festes Produkt und Division bei festem Dividenden.- Kubikwurzeln.- Allgemeine Ratschläge 26..- Rechenmaschinen.- H. Proportionalität, lineare Funktion und Potenz.- Konstante.- Proportionalität.- Lineare Funktion. Darstellung durch eine gerade Linie.- Gleichförmige Vorgänge.- Bedeutung der Konstanten a und b.- Gleichförmige Bewegung.- Abgeleitete Kurve.- Allgemeine lineare Gleichung.- Zwei gerade Linien. Graphische Lösung eines Gleichungssystems.- Abschnittsform.- Bedeutung der Proportionalität und linearen Funktion für den Naturwissenschaftler.- Lineare Interpolation.- Ausgleichungsgerade.- Potenz y = xu, x positiv.- Gleichseitige Hyperbel y = x.- Das Zeichen ?. Unstetigkeit durch Unendlichwerden. Asymptoten.- Umgekehrte Proportionalität.- Die Funktion y = x2.- Rechenregeln für Potenzen.- Auftreten der Potenz in den Naturwissenschaften.- J. Logarithmenpapier Beschreibung eines funktionalen Zusammenhangs mit Hilfe der Potenz.- Zwei Sorten Logarithmenpapier.- Gerade auf Logarithmenpapier. Exponentialfunktion.- Wie gebraucht der Naturwissenschaftler Logarithmenpapier ?.- Beispiel.- Wachstums- und Ertragsgesetze.- Beispiel.- K. Polynome. Interpolation.- Polynome. Allgemeine Parabeln.- Anwendung zur graphischen Auflösung von Gleichungen.- Allgemeines über Interpolation.- Newtonsches Inter-polationspolynom. Differenzenquotienten.- Differenzenquotientenschema.- Sonderfall der linearen Interpolation.- Äquidistante Argumente. Differenzen und Differenzenschema 46. - Beispiel: Ausdehnung des Wassers.- Inter-polationsformel von Stirling.- L. Trigonometrische und zyklometrische Funktionen.- Definition der trigonometrischen Funktionen.- Periodizität und ähnliches. Sonderwerte.- Graphische Darstellung.- Phasenverschiebung.- Bedeutung des Sinus und Kosinus für den Naturwissenschaftler. Formelzu-sammenstellung.- Trigonometrische Funktionen für kleines Argument.- Zyklometrische Funktionen.- M. Funktionen von zwei und mehr Veränderlichen.- Definitionen.- Beispiele mit formelmäßiger Zuordnung.- Andere Beispiele.- Tabellarische Darstellung. System von Tabellen.- Tafel mit doppeltem Eingang.- Räumliches Koordinatensystem.- Geometrische Darstellung einer Funktion von zwei Veränderlichen durch eine Fläche.- Andeutung über den n-dimensionalen Kaum.- Stetigkeit.- Bemerkung über implizit definierte Funktionen einer Veränderlichen.- Implizite Definition einer Funktion zweier Veränderlicher.- Zustandsgieichung und Zustands- fläche.- Räumliche Polarkoordinaten und Kugelkoordinaten.- Funktionen des Ortes.- Netztafeln.- Netztafel als Darstellung einer Fläche in kotierter Projektion durch Schichtlinien.- Netztafeln auf Logarithmen« und Dreieckspapier.- Nachteile der Netztafeln.- Allgemeines über Leitertafeln.- Zwei wichtige Typen von Leitertafeln. Beispiele.- II. Differential- und Integralrechnung.- A. Ableitung und unbestimmtes Integral.- Steigen und Fallen einer Kurve.- Steigungsmaß der überall gleichmäßig ansteigenden geraden Linie.- Gleichförmige Bewegung. Geschwindigkeit.- Ansteigen einer beliebigen Kurve. Ableitung und abgeleitete Kurve.- Ableitung als Geschwindigkeit.- Stammfunktion oder unbestimmtes Integral.- Integrationskonstante. Integration als Umkehroperation zur Differentiation.- Beispiele. Differenzieren des Quadrates, des Sinus und Kosinus.- Etwas über Differenzier- und Integrierregeln. Summe und konstanter Faktor.- Anwendung: Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit.- Nichtdifferenzierbar- keit.- Bemerkungen zur Praxis des Differenzierens.- Differenzieren von Funktionen mehrerer Veränderlicher. Partielle Ableitungen 78..- B. Verschiedene Anwendungen der Ableitung. Höhere Ableitungen.- Positive Ableitung bedeutet Steigen, negative Fallen einer Kurve.- Gipfel- und Talpunkte (Maxima und Minima).- Veranschaulichungen.- Beispiele.- Extrema in Ecken und Spitzen.- Bemerkungen über den Sprachgebrauch.- Größter und kleinster Wert einer Funktion.- Wagerechte Tangente nicht immer gleichbedeutend mit Extremum.- Zweite Ableitung. Beschleunigung.- Steigen und Fallen der ersten abgeleiteten Kurve. Erhabenheit und Hohlheit der Urkurve 83..- Nochmals Maximum und Minimum. Beispiele.- Beispiel: Methode der kleinsten Quadrate, direkte Beobachtungen gleicher Genauigkeit.- Wann hat eine quadratische Gleichung reelle Wurzeln ?.- Wendepunkte.- Punkte, in denen mehrere Ableitungen verschwinden..- Höhere Ableitungen.- Maxima und Minima bei Funktionen mehrerer Ver-änderlicher. Sattelpunkte 86..- Beispiel: Ausgleichungsgerade durch einen Punkthaufen. Korrelationskoeffizient. Vermittelnde Beobachtungen.- Etwas über Variationsrechnung.- Kurvendiskussion.- Näherungs-weise Auflösung von Gleichungen.- Newtonsches Verfahren.- Regula falsi.- Beispiel 91..- C. Differential und Funktionsdifferenz.- Was ist ein Differential?.- Ableitung als Differentialquotient. Differential bei der Stammfunktion.- Differenzierregel für die Umkehrfunktion.- Quadratwurzel und zyklometrische Funktionen.- Subtangente und Subnormale der Parabel.- Anlaufen von Metallen.- Bedeutung des Differentials. Funktionsdifferenz und Differential.- Ersatz der Funktionsdifferenz durch das Differential. Fehlerrechnung.- Rechnen mit kleinen Größen.- Grundformel der Differentialrechnung.- Proportionalität im Kleinen und Linearisierung.- Beispiel: Lichtdurchgang durch eine Platte 104..- Rechnerische Erklärung der Ableitung 104..- Warnungstafeln. Natürlicher Wert unbestimmter Ausdrücke. Unendlich kleine Größen.- Sekante und Tangente.- Mittlere Geschwindigkeit und Momentangeschwindigkeit.- Höhere Differentiale.- Mittelwertsatz.- Taylorsche Entwicklung.- Andeutung über Fouriersche Reihen.- Differential bei Funktionen mehrerer Veränderlicher.- D. Bestimmtes Integral und Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.- Differential als Rechtecksstreifen an der abgeleiteten Kurve.- Differentialsumme als Rechteckssumme und als Erhebungssumme.- Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung, erste Fassung.- Bestimmtes Integral. Fundamentalsatz, zweite Fassung.- Beispiel.- Anwendung: Mechanische Arbeit.- Allgemeines Integrationsprinzip. Beispiele.- Positive und negative Flächen. Ecken und Sprünge.- Beliebige Rechteckstreppen.- Trapezregel.- Simpsonsche Regel.- Beispiel für Trapezregel und Simpsonsche Regel: Berechnung von n.- Rechteckstreppen zu einem Sehnenzuge und zu einer Tangentenkette der Urkurve.- Graphische Integration.- Flächeninhalt als Stammfunktion. Das bestimmte Integral als Funktion der oberen Grenze. Fundamentalsatz, dritte Fassung.- Grundsätzliches zur Differentialmethode.- E. Differenzier- und Integrierregeln.- Allgemeines.- Differenzieren und Integrieren einer Summe.- Differenzieren eines Produkts. Ableitung der Potenz. Binomialformel.- Integration der Potenz. Fläche der Parabel. Inhalte von Kegel und Kugel.- Teilintegration.- Differenzieren eines Quotienten. Fehler bei der Dichtebestimmung nach der Auftriebsmethode.- Ableitung des Kehrwertes. Kompressibilität eines Gases.- Etwas über das Potential.- Ableitung des Tangens. Tangentenbussole.- Differenzieren der Umkehrfunktion.- Differenzieren der zusammengesetzten Funktion. Kettenregel und Invarianz des Differentials.- Beispiele zur Kettenregel.- Spiegelungs- und Brechungsgesetz.- Minimalablenkung beim Prisma.- Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten.- Elastische Schwingungen und ihre Differentialgleichung.- Etwas vom Wechselstrom.- Differenzieren einer Gleichung.- Differenzieren und Integrieren einer Potenz mit gebrochenem Exponenten. Arbeit bei adiabatischer Ausdehnung eines Gases.- Einführung einer neuen Veränderlichen in einem Integral (Substitutionsregel). Trennung der Veränderlichen in einer Differentialgleichung.- Beispiele.- Anwendung: Arbeit eines elektrischen Stromes.- F. Natürlicher Logarithmus und Exponentialfunktion.- Problem der Integration von.- Hyperbeltrapez In x als Stammfunktion zu x1 -.- Zeichnerische und numerische Untersuchung von y = In x.- In x als Logarithmus.- Anwendung: Arbeit bei isothermer Ausdehnung eines Gases. Carnotscher Kreisprozeß.- Logarithmisches Differenzieren.- Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus: natürliche Exponentialfunk-tion.- Natürlicher Logarithmus und Zehnerlogarithmus.- Potenz-reihe für In (1 + x).- Barometrische Höhenformel.- Poissonsches Gesetz für adiabatische Ausdehnung eines Gases.- Ableitung des Zehnerlogarithmus. Genauigkeit des Rechenschiebers.- Beliebige Logarithmen.- Anschauliches zur Exponentialfunktion.- Differenzieren und Integrieren der Exponentialfunktion.- Beispiele: Gedämpfte Schwingungen, Gaußsche Fehlerkurve, Plancksches Strahlungsgesetz.- Hyperbelfunktionen.- Potenzreihe für e. Berechnung von e.- Grenzwertdarstellungen für e und ex.- Anwachsen eines Kapitals. Organisches Wachstum.- Diffe-rentialgleichung der Exponentialfunktion.- Beispiele: Lichtabsorption, Kolorimetrie, Radiumzerfall, langsame Entladung einer Leidener Flasche, barometrische Höhenformel, Seilreibung.- Exponentielle Annäherung an einen Grenzwert. Ertragsgesetz von Mitscherlich.- Beispiele: Einschalten eines elektrischen Stromes. Fall mit Luftwiderstand. Abkühlungsgesetz von Newton. Weber-Fechnersches Gesetz der Psychologie. Noch einmal Mitscherlichs Ertragsgesetz.- Zuckerinversion.- Chemische Reaktionen. Massenwirkungsgesetz.- Zweimolekülreaktion.- Wachstumsgesetz von Robertson.- Schlußbemerkung.- Namen- und Sachverzeichnis.