Grundkurs Funktionalanalysis

Winfried Kaballo lehrt als Professor an der Fakultät für Mathematik der TU Dortmund mit Schwerpunkt Analysis, insbesondere Funktionalanalysis.

Einleitung
Teil I: Banachräume und lineare Operatoren
1 Banachräume
1.1 Normen und Metriken
1.2 Supremums-Normen
1.3 Lp -Normen und Quotientenräume
1.4 Aufgaben
2 Kompakte Mengen
2.1 Der Satz von Arzelà-Ascoli
2.2 Separable Räume und ein Approximationssatz
2.3 Hölder- und Sobolev-Normen
2.4 Aufgaben
3 Lineare Operatoren
3.1 Operatornormen
3.2 Isomorphien und Fortsetzungen
3.3 Lineare Operatoren auf endlichdimensionalen Räumen
3.4 Lineare Integral- und Differentialoperatoren
3.5 Aufgaben
4 Kleine Störungen
4.1 Banachalgebren und Neumannsche Reihe
4.2 Lineare Integralgleichungen
4.3 Grundlagen der Spektraltheorie
4.4 Der Banachsche Fixpunktsatz
4.5 Nichtlineare Integralgleichungen
4.6 Der Satz von Picard-Lindelöf
4.7 Aufgaben
Teil II: Fourier-Reihen und Hilberträume
5 Fourier-Reihen und Approximationssätze
5.1 Der Satz von Fejér
5.2 Faltung und Dirac-Folgen
5.3 Der Weierstraßsche Approximationssatz
5.4 Schwache Ableitungen und Sobolev-Räume
5.5 Punktweise Konvergenz von Fourier-Reihen
5.6 Aufgaben
6 Hilberträume
6.1 Die Parsevalsche Gleichung
6.2 Sobolev-Hilberträume und Fourier-Koeffizienten
6.3 Aufgaben
7 Lineare Operatoren auf Hilberträumen
7.1 Lineare Operatoren und Matrizen
7.2 Orthogonale Projektionen
7.3 Adjungierte Operatoren
7.4 Selbstadjungierte und unitäre Operatoren
7.5 Aufgaben
Teil III: Prinzipien der Funktionalanalysis
8 Konsequenzen der Vollständigkeit
8.1 Der Satz von Baire
8.2 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit
8.3 Der Satz von der offenen Abbildung
8.4 Anwendungen auf Fourier-Reihen
8.5 Aufgaben
9 Stetige lineare Funktionale
9.1 Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach
9.2 Duale Operatoren und Annihilatoren
9.3 Kanonische Einbettung und reflexive Räume
9.4 Beispiele von Dualräumen
9.5 Stetige Projektionen
9.6 Aufgaben
10 Schwache Konvergenz
10.1 Variationsprobleme
10.2 Trennung konvexer Mengen
10.3 Uniform konvexe Räume
10.4 Schwach konvergente Folgen
10.5 Schwach konvergente Teilfolgen
10.6 Aufgaben
Teil IV: Spektraltheorie kompakter und selbstadjungierter Operatoren
11 Fredholmoperatoren und kompakte Störungen
11.1 Kompakte lineare Operatoren
11.2 Fredholmoperatoren
11.3 Stabilität des Index
11.4 Spektren kompakter Operatoren
11.5 Aufgaben
12 Spektralzerlegungen
12.1 Modelle kompakter Operatoren
12.2 Der Spektralsatz für kompakte normale Operatoren
12.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren
12.4 Singuläre Zahlen und Schmidt-Darstellungen
12.5 Schatten-Klassen und Integraloperatoren
12.6 Aufgaben
13 Unbeschränkte Operatoren
13.1 Abgeschlossene Operatoren
13.2 Adjungierte Operatoren
13.3 Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren
13.4 Reguläre Sturm-Liouville-Probleme
13.5 Evolutionsgleichungen
13.6 Selbstadjungierte Operatoren und Quantenmechanik
13.7 Aufgaben
A Anhang
A.1 Lineare Algebra
A.2 Metrische Räume und Kompaktheit
A.3 Maße und Integrale
A.3.1 Fortsetzung elementarer Integrale
A.3.2 Konvergenzsätze
A.3.3 Messbare Mengen und Funktionen
A.3.4 Die Sätze von Fubini und Tonelli
A.3.5 Der Rieszsche Darstellungssatz
Literaturverzeichnis Index
1 Banachräume
1.1 Normen und Metriken
1.2 Supremums-Normen
1.3 Lp -Normen und Quotientenräume
1.4 Aufgaben
2 Kompakte Mengen
2.1 Der Satz von Arzelà-Ascoli
2.2 Separable Räume und ein Approximationssatz
2.3 Hölder- und Sobolev-Normen
2.4 Aufgaben
3 Lineare Operatoren
3.1 Operatornormen
3.2 Isomorphien und Fortsetzungen
3.3 Lineare Operatoren auf endlichdimensionalen Räumen
3.4 Lineare Integral- und Differentialoperatoren
3.5 Aufgaben
4 Kleine Störungen
4.1 Banachalgebren und Neumannsche Reihe
4.2 Lineare Integralgleichungen
4.3 Grundlagen der Spektraltheorie
4.4 Der Banachsche Fixpunktsatz
4.5 Nichtlineare Integralgleichungen
4.6 Der Satz von Picard-Lindelöf
4.7 Aufgaben
Teil II: Fourie