Mathematische Methoden der Elektrotechnik (eBook)

1 Erforderliche mathematische Grundlagen 1
1.1 Matrizen1
1.1.1 Rechenoperationen mit Matrizen2
1.1.2 Addition und Subtraktion zweier Matrizen2
1.1.3 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar2
1.1.4 Quadratische Matrix3
1.1.5 Einheitsmatrix3
1.1.6 Determinante3
1.1.7 Unterdeterminante oder Minor5
1.1.8 Adjunkte oder algebraisches Komplement5
1.1.9 Inverse Matrix6
1.1.10 Transponierte einer Matrix7
1.1.11 Komplex konjugierte Matrix7
1.1.12 Hermitesche konjugierte Matrix8
1.1.13 Hermitesche Matrix – selbstadjungierte Matrix9
1.1.14 Orthogonalmatrix9
1.1.15 Unit¨ are Matrix10
1.1.16 Normalmatrix – Normale Matrix11
1.1.17 Norm einer Matrix11
1.1.18 Konditionierte Matrizengleichung und Konditionszahl12
1.1.19 Eigenwert, Eigenvektor13
1.1.20 Quadratische Matrizen – eine Zusammenfassung15
1.2 Integral-, Di erenzialgleichungen17
1.2.1 Definitionen17
1.2.2 Di erenzierung skalarer Funktionen18
1.2.3 Gewöhnliche Di erenzialgleichungen höherer Ordnung18
1.2.4 Partielle Di erenzialgleichungen20
1.2.5 Partielle Integration22
1.2.6 Klassifikation von Di erenzialgleichungen22
1.2.7 Anfangswertaufgabe23
1.2.8 Randwertaufgabe24
1.2.9 Lineare Operatoren25
1.2.10 Inneres Produkt27
1.2.11 Starke Form/Formulierung einer Di erenzialgleichung30
1.2.12 Schwache Form/Formulierung einer Di erenzialgleichung30
1.3 Vektor-Klassifikation31
1.4 Di erenziationsregeln für Vektoren31
1.5 Vektoroperatoren32
1.5.1 Nabla-und Laplace-Operator32
1.5.2 Vektoroperator Gradient33
1.5.3 Vektoroperator Divergenz34
1.5.4 Vektoroperator Rotation35
1.5.5 Gegenüberstellung der Vektoroperatoren35
1.5.6 Rechenregeln f¨ ur den Nabla-Operator36
1.5.7 Gegenüberstellung Skalar- und Vektorprodukt37
1.6 Maxwell’sche Gleichungen38
1.6.1 Beziehung zwischen Kreis- und Flächenintegral38
1.6.2 Beziehung zwischen Flächen- und Volumenintegral39
1.6.3 Maxwell’sche Gleichungen – Di erenzialform40
1.6.4 Maxwell’sche Gleichungen – Integralform40
1.6.5 Richtungszuordnung beteiligter Vektorfelder40
1.7 Dirac’sche Deltafunktion41
2 Koordinatensysteme 43
2.1 Kartesisches Koordinatensystem43
2.2 Zylinderkoordinatensystem45
2.3 Kugelkoordinatensystem47
3 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis 51
3.1 Schwingkreise, Impedanzen und Resonanzen51
3.2 Eigenfrequenz – Fehlerrechnung55
3.3 Spannungsverläufe LCR-Reihenschwingkreis bei Frequenzvariation56
3.3.1 Spannungsverlauf über der Induktivität57
3.3.2 Spannungsverlauf über Induktivität und Widerstand59
3.3.3 Spannungsverlauf über dem Widerstand61
3.3.4 Spannungsverlauf +ber der Kapazität62
3.4 Gedämpfter, erzwungener LCR-Reihenschwingkreis64
3.5 Gedämpfter, freier LCR-Reihenschwingkreis 67
3.6 Ungedämpfter, freier LC-Schwingkreis69
3.7 Gedämpfter, erzwungener LCR-Parallelschwingkreis70
3.8 Gedämpfter, freier LCR-Parallelschwingkreis76
3.9 Ungedämpfter, freier LC-Schwingkreis79
4 Stromverdrängung im Leiter 81
4.1 Stromverdrängung im Leiter – Modellbildung82
4.2 Stromverdrängung im Leiter – Berechnungsergebnis86
4.3 Stromverdrängung im Leiter – Simulationsergebnis87
4.4 Stromverdrängung im Leiter – Zusammenfassung89
5 Besselgleichung und Besselfunktion 91
5.1 Zur Person Wilhelm Friedrich Bessel92
5.2 Besselgleichung des LCR-Parallelschwingkreises93
5.3 Besselgleichung der Felddi usionsgleichung94
5.4 Besselfunktion zur Berechnung der Feldverteilung in einem Kondensator 97
5.4.1 Modellanordnung97
5.4.2 Herleitung der Besselfunktion98
5.5 Besselfunktion zur Berechnung der Flussdichteverteilung in einer Spule 101
5.5.1 Modellanordnung101
5.5.2 Herleitung der Besselfunktion101
5.6 Besselfunktion aus allgemeiner Form der Besselgleichung104
6 Lösung von Di erenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen 109
6.1 Zur Person George Green109
6.2 Green’sche Integralsätze112
6.3 PDE – Auf-, Integrationspunktanordnungen114
6.4 PDE – Vorbereitung zur Lösung nach Green – Di erenzialform116
6.5 PDE – Vorbereitung zur Lösung nach Green – Integralform118
6.5.1 Umstellen der PDE nach der zu lösenden Variable118
6.5.2 Homogene Randbedingungen120
6.5.3 Inhomogene Randbedingungen121
6.5.4 Dirichlet-Randbedingungen121
6.5.5 Neumann-Randbedingungen121
6.6 PDE – Lösung der Poisson’schen DGL122
6.6.1 Aufgabenbeschreibung122
6.6.2 Lösungsweg123
6.7 PDE – Lösung der Laplace’schen DGL125
6.7.1 Aufgabenbeschreibung125
6.7.2 Lösungsweg126
6.8 ODE – Vorbereitung zur Lösung mit der Green’schen Funktion128
6.8.1 Homogene Randbedingungen130
6.8.2 Inhomogene Randbedingungen130
6.8.3 Kontinuitäts- und Diskontinuitätsbedingungen131
6.9 ODE – Lösung von d2 u/dx2 = 1 (I) 133
6.9.1 Aufgabenbeschreibung133
6.9.2 Lösungsweg I134
6.9.3 Lösungsweg II137
6.10 ODE – Lösung von d2 y/dx2 + y = cosec x140
6.10.1 Aufgabenbeschreibung140
6.10.2 Lösungsweg140
6.11 ODE – Lösung von d2 y/dx2 + y = f(x)142
6.11.1 Aufgabenbeschreibung 142
6.11.2 Lösungsweg142
6.12 ODE – Lösung von d2 u/dx2 = 1 (II)144
6.12.1 Aufgabenbeschreibung144
6.12.2 Lösungsweg145
6.13 ODE – Lösung von d2 u/dx2 = x148
6.13.1 Aufgabenbeschreibung 148
6.13.2 Lösungsweg148
7 Di erenzialgleichungen und Finite Elemente 153
7.1 Beispiele aus der Physik für Di erenzialgleichungen 1’ter Ordnung153
7.2 Beispiele aus der Physik für Di erenzialgleichungen 2’ter Ordnung154
7.3 Finite Elemente158
8 Von der Momentenmethode zur Galerkin-Methode 161
8.1 Grundprinzip der Momentenmethode (MOM)161
8.2 Anmerkungen zur Momentenmethode163
8.2.1 Matrix (ljk)163
8.2.2 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktionen n und wk164
8.3 Zur Person Boris Galerkin164
8.4 Galerkins Idee165
9 Traditionelle Galerkin-Methode 167
10 Galerkin-Methode – Lösung von du/dx = u 169
10.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion169
10.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion 170
10.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung171
10.4 Lösung des linearen Gleichungssystems 171
11 Galerkin-Methode – Lösung von d2 u/dx2 = 4x2 + 1 175
11.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion175
11.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion 176
11.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung176
11.4 Lösung des linearen Gleichungssystems178
12 Galerkin-Methode – Lösung von d2 u/dx2 = 1 (I) 181
12.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion182
12.2 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung182
12.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung183
12.4 Lösung des linearen Gleichungssystems183
13 Galerkin-Methode – Lösung von d2 u/dx2 = 1 (II) 185
13.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion185
13.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion 186
13.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung187
13.4 Lösung des linearen Gleichungssystems188
14 Galerkin-Methode – Durchflutungsgesetz 191
14.1 Galerkin-Methode – Durchflutungsgesetz Innenbereich des Leiters193
14.1.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung193
14.1.2 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 194
14.1.3 Lösung des linearen Gleichungssystems195
14.2 Galerkin-Methode – Durchflutungsgesetz Außenbereich des Leiters196
14.2.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung196
14.2.2 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 197
14.2.3 Lösung des linearen Gleichungssystems198
14.3 Gegenüberstellung von FEM- mit Galerkin-Ergebnis199
15 Galerkin-FEM 201
15.1 Galerkin-FEM – Was wird gelöst?201
15.2 Galerkin-FEM – Vorgehen zur Lösung202
16 Galerkin-FEM – Lösung von d2 u/dx2 = 1 (I) 205
16.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung206
16.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 207
16.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion207
16.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x)209
16.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung210
16.6 Lösung des linearen Gleichungssystems214
17 Galerkin-FEM – Lösung von d2 u/dx2 = 1 (II) 217
17.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung218
17.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 219
17.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion219
17.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x)219
17.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung219
17.6 Lösung des linearen Gleichungssystems220
18 Galerkin-FEM – Elektrostatische Feldberechnung 223
18.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung223
18.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 224
18.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion224
18.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x)224
18.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung226
18.6 Lösung des linearen Gleichungssystems228
19 Galerkin-FEM – Ortsabhängige Temperaturberechnung 231
19.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung231
19.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 233
19.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion233
19.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x)233
19.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung234
19.6 Lösung des linearen Gleichungssystems235
19.7 Di usionsvorgang vollendet238
20 Galerkin-FEM – Ortsabhängige Magnetfeldberechnung 241
20.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung241
20.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 243
20.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion243
20.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x)243
20.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung244
20.6 Lösung des linearen Gleichungssystems245
21 Einführung in die Finite-Di erenzen-Methode 251
21.1 Numerische Notation der linearen Felddi usionsgleichung251
21.2 Zu den Personen Crank und Nicolson252
21.3 Lösung mit impliziter Methode nach Crank-Nicolson252
21.3.1 Überführung der Di usionsgleichung in eine Matrizengleichung 253
21.3.2 Lösung der Matrizengleichung254
21.3.3 Anwendungsbeispiel257
21.4 Lösung mit expliziter Methode260
21.4.1 Überführung der Di usionsgleichung in eine Matrizengleichung .260
21.4.2 Lösung der Matrizengleichung261
21.4.3 Anwendungsbeispiel262
22 Anwendungen der FEM zur Produktentwicklung 269
22.1 Analyse eines Proportionalmagnets269
22.1.1 Preprocessing270
22.1.2 Processing271
22.1.3 Postprocessing272
22.2 Synthese eines planaren Asynchron-Scheibenläufermotors273
22.2.1 Preprocessing273
22.2.2 Processing273
22.2.3 Postprocessing274
22.2.4 Musterbau des planaren Asynchronmotors274
23 Virtuelle Produktentwicklung 277
23.1 Kopplung zwischen FEM- und Optimierungstool277
23.2 Mehrzieloptimierung – Pareto-Optimierung278
23.3 Optimierungsbeispiel Elektromagnet279
23.3.1 Monte Carlo-Methode280
23.3.2 Partikelschwarm-Methode282
23.3.3 Evolutionäre Methode .282
23.3.4 Diskussion der Ergebnisse 283
24 Eigenwertprobleme 285
24.1 Eigenwertproblem – Einführung285
24.2 Eigenwertproblem – Momentenmethode286
24.3 Eigenwertproblem – kanonische Form287
25 Eigenwertproblem-MOM – Lösung von d2 u/dx2 = u 289
25.1 Aufgabenbeschreibung289
25.2 Lösungsweg und Lösung290
25.3 Lösung für 1’ter Ordnung290
25.4 Lösung für 2’ter Ordnung294
26 Gemeinsamkeiten von Methoden zur Lösung von DGLs 297
26.1 Momentenmethode (MOM)297
26.2 Integraltransformation299
26.3 Green’sche Methode300
27 Wissenswertes zur Modellbildung 303
27.1 Kategorien der Modellbildung303
27.2 Analytik contra Numerik .304
28 Nützliche Normen 307
Literaturverzeichnis 311
A Anhang 317
A.1 MATLAB-Code – Wärmedi usionsskript317
A.2 MATLAB-Code – Magnetfelddi usionsskript321
A.3 Toolvergleich – MATLAB vs. COMSOL327
B Campus Künzelsau – Inside 329
Index 331