Lösungen zum Eingangstest

Lösung zur Aufgabe Kapitel 1

1. Für das ideale Gas gilt . Bei »langsamem« Zusammenschieben bleibt die Temperatur näherungsweise konstant (quasistatisch). Für Anfangs- (1) und Endzustand (2) gilt folglich und somit . Bei Halbierung des Volumens wird sich der Innendruck demnach verdoppeln (siehe Abschnitt »Thermische Zustandsgleichung und ideales Gas«).
2. Mit geltender Haftbedingung und angenommener dünner Scherschicht kann im Honig ein lineares Geschwindigkeitsprofil senkrecht zur Tischplatte angenommen werden. Für die übertragene Schubspannung gilt das Newtonsche Reibungsgesetz (siehe Abschnitt »Viskosität und Haftbedingung«):
3. Das Phänomen, bei dem eine Flüssigkeit wie Wasser in einer eingetauchten, dünnen Glaskapillare nach oben steigt, wird als Kapillarwirkung bezeichnet. Es tritt im Zusammenwirken von Adhäsions- und Kohäsionskräften auf. Dominieren die Adhäsionskräfte (Anziehungskräfte zwischen den Flüssigkeitsmolekülen und den Teilchen der Kapillarwand), wird das Fluid ein Stück weit nach oben gezogen (wie im Fall von Wasser). Dominieren die Kohäsionskräfte (Anziehungskräfte zwischen den Flüssigkeitsmolekülen selbst), wird das Fluid nach unten gedrückt, der Kontakt zwischen Wand und Fluid wird damit verringert. Über den sich jeweils einstellenden Kontaktwinkel zwischen Flüssigkeit und Kapillarwand kann mit Hilfe eines Kräftegleichgewichtes an der Fluidsäule die Steig- bzw. Senktiefe bestimmt werden. Mehr dazu finden Sie im Abschnitt »Teilchenkräfte und Oberflächenspannung«.

Lösung zur Aufgabe Kapitel 2

1. Der maximal auftretende Überdruck beträgt:

   Der dazugehörige Absolutdruck ist:

   Die maximalen Drücke treten am tiefsten Punkt der Schalung auf. Mehr dazu finden Sie im Abschnitt »Hydrostatischer Druck«.

2. Die resultierende Kraft auf Fläche 1 ist:

   Der Umgebungsdruck fällt heraus, da er von oben und unten gleichermaßen wirkt. Die resultierende Kraft steht senkrecht auf der gedrückten Fläche und wirkt nach unten (siehe Abschnitt »Bodenkraft und hydrostatisches Paradoxon«).

3. Die Vertikalkomponente der Wandkraft entspricht der Gewichtskraft des auf der gedrückten Fläche ruhenden Projektionsvolumens (= »Rechteck + Viertelkreis«):

   Die Horizontalkomponente der Schalungskraft entspricht der Druckkraft auf die in horizontaler Richtung (= -Richtung) projizierten Fläche. Die Tiefenlage des Schwerpunkts der Projektionsfläche ist:

   Die Horizontalkraft folgt aus Druck im Flächenschwerpunkt und Größe der Projektionsfläche:

   Der Angriffspunkt der Horizontalkomponente ergibt sich aus:

   Der Druckpunkt liegt somit unter dem Betonspiegel. Eine detaillierte Darstellung der Vorgehensweise finden Sie im Abschnitt »Kräfte auf gekrümmte Wände«.

4. Schwimmen = Kräftegleichgewicht aus Gewichtskraft und Auftrieb:

   mit der Grundfläche des Steins und der Eintauchtiefe :

   bzw.:

   Das Thema wird im Abschnitt »Auftrieb und Schwimmen« behandelt.

Lösung zur Aufgabe Kapitel 3

1. Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit ist:

   (Siehe Abschnitt »Durchfluss und Kontinuitätsgleichung«.) Die Reynolds-Zahl im Rohr beträgt:

   Da (für das durchströmte Rohr), liegt eine turbulente Strömung vor (siehe Abschnitt »Laminare und turbulente Strömungen«). Die Strömung kann näherungsweise als inkompressibel angesehen werden, da die Mach-Zahl im vorliegenden Fall deutlich kleiner als ist (behandelt in Abschnitt »Inkompressible und kompressible Strömung«).

2. Stromlinien sind gedachte Linien, die entlang der Geschwindigkeitsvektoren eines bewegten Fluids verlaufen und auf diese Weise Weg und Richtung der Strömung visualisieren. Bei einer Verminderung des Durchströmungsquerschnitts erfolgt eine Verdichtung der Stromlinien. Über die Kontinuitätsgleichung führt eine Querschnittsverengung bei konstanter Dichte andererseits auch zu einer Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit und damit zu einer (konvektiven) Beschleunigung der Strömung. Zum Nachlesen siehe Abschnitt »Darstellung und Visualisierung von Strömungen« und »Durchfluss und Kontinuitätsgleichung«.
3. Physikalische Ähnlichkeit der Strömung liegt vor, wenn bestimmte dimensionslose Kennzahlen der Strömung, im vorliegenden Fall die Reynolds-Zahlen, übereinstimmen:

   und somit:

   Hinweis: Das Endergebnis ist unabhängig von der Länge der Forelle!

   Das Thema wird im Abschnitt »Ähnlichkeitsgesetze und dimensionslose Kennzahlen« dargestellt.

Lösung zur Aufgabe Kapitel 4

1. Für die reibungsfreie Näherung setzen wir die Bernoulli-Gleichung zwischen der freien Oberfläche im Hydraulikölgefäss (1) und der Auslassöffnung (2) an:

   Der statische Druck ist an beiden Stellen gleich groß (Umgebungsdruck über dem Flüssigkeitsspiegel sowie Freistrahl). Die anfängliche Strömungsgeschwindigkeit auf Spiegelhöhe ist vernachlässigbar (»großer Behälter«, ). Es folgt:

2. Der Strahldurchmesser an einer beliebigen Stelle (3) unterhalb der Öffnung folgt aus der Kontinuitätsbedingung (stationäres Ausfließen):

   Die Strahlgeschwindigkeit erhalten wir wiederum aus der Bernoulli-Gleichung, jetzt aufgestellt zwischen der Auslassöffnung (2) und betrachteter Strahlposition (3) (statische Drücke fallen wiederum heraus, da gleich):

   Einsetzen in das Ergebnis der Kontinuitätsbedingung liefert:

   Die generelle Vorgehensweise zur Anwendung der Bernoulli-Gleichung für reibungsfreie Strömung wird im Abschnitt »Energiegleichung und Bernoulli-Gleichung« dargestellt.

Lösung zur Aufgabe Kapitel 5

1. Zur Berechnung des Druckverlustes für die reibungsbehaftete Strömung benötigen wir zunächst die Reynolds-Zahl, um die jeweils vorliegende Strömungsform zu bestimmen. Für das Kernrohr erhalten wir:

   Die Rohrreibungszahl entnehmen wir dem Moody-Diagramm (Anhang). Für die relative inverse Sandrauheit

   lesen wir im Moody-Diagramm eine Rohrreibungszahl von ab (»hydraulisch glatt«). Für den zu erwartenden Druckverlust im Kernrohr folgt:

   (Nachzulesen in Abschnitt »Turbulente Rohrströmung«.)

   Für das Mantelrohr muss aufgrund des nicht kreisförmigen Strömungsquerschnittes zunächst der hydraulische (gleichwertige) Durchmesser bestimmt werden:

   Die mit dem gleichwertigen Durchmesser gebildete Reynolds-Zahl ist:

   Für laminare Strömung in nicht kreisförmigen Rohrquerschnitten gilt für die Rohreibungszahl:

   wobei der Zahlenwert für den Formkorrektur-Faktor mit Hilfe von Tabelle 5.2 abgeschätzt wird. Für den Druckverlust im Mantelrohr folgt:

   Die Vorgehensweise für das Mantelrohr ist dargestellt in Abschnitt »Strömung durch nicht kreisförmige Rohrquerschnitte«.

2. Zur Bestimmung des gesamten Druckverlustes müssen die Einzelverluste aufaddiert werden (»Serienschaltung von Einzelwiderständen«). Zunächst wird der zusätzliche Druckverlust der Rohrkrümmer bestimmt:

   Der gesamte Druckverlust ist damit:

   Zum Nachlesen siehe Abschnitt »Druckverlust in technischen Rohrleitungssystemen«.

Lösung zur Aufgabe Kapitel 6

Die Lösung erfolgt über den Impulssatz für stationäre Strömungen, . Der Bilanzraum umfasst die Düse inklusive Flansch (siehe Abbildung 4, gestrichelt eingezeichneter Bereich). Der Impulssatz wird hier nur in horizontale Richtung benötigt, weiterhin stehen alle Impulsströme senkrecht auf den entsprechenden Berandungsflächen. Zu berücksichtigen sind der ein- und austretende Impulsstrom bzw. , die Druckkraft am Düseneintritt sowie die (gesuchte) Haltekraft . Die Druckkraft am Austritt fällt weg, da dort nach Voraussetzung Umgebungsdruck herrscht. Für in Strömungsrichtung positiv gezählte Kräfte bzw. Impulsströme folgt aus dem Impulssatz:

Abbildung 4 Lösungsskizze mit Bilanzraum, Impulsströmen, Druck- und Haltekraft.

wobei die Richtung der unbekannten Haltekraft zunächst in positiver Strömungsrichtung angenommen wird. Einsetzen von Impulsströmen und Druckkraft liefern:

Die notwendige Haltekraft am Flansch wirkt damit in negativer -Richtung, also entgegen der...