Die Erforschung des Chaos (eBook)

Prof. Dr. John Argyris, † 2004, Leiter des Instituts für Statik und Dynamik   der Luft- und Raumfahrtkonstruktionen (ISD) an der Universität Stuttgart Dipl.-Ing. Gunter Faust, früher ISD, Universität StuttgartDr. Maria Haase, früher Institut für Höchstleistungsrechnen, Universität StuttgartProf. Dr. Rudolf Friedrich, † 2012, Leiter des Instituts für Theoretische Physik, Westfälische Wilhelms-Universität Münster

Vorwort zur dritten Auflage 7
Vorwort zur zweiten Auflage 8
Vorwort zur ersten Auflage 10
Inhaltsverzeichnis 18
1 Einführung 24
2 Hintergrund und Motivation 37
2.1 Kausalität– Determinismus 38
2.2 Dynamische Systeme – Beispiele 46
2.3 Phasenraum 53
2.4 Erste Integrale und Mannigfaltigkeiten 55
2.5 Qualitative und quantitative Betrachtungsweise 60
3 Mathematische Einführung in dynamische Systeme 61
3.1 Lineare autonome Systeme 61
3.2 Nichtlineare Systeme und Stabilität 73
3.3 Invariante Mannigfaltigkeiten 80
3.4 Diskretisierung in der Zeit 82
3.5 Poincaré-Abbildung 84
3.6 Fixpunkte und Zyklen diskreter Systeme 86
3.7 Ein Beispiel diskreter Dynamik – die logistische Abbildung 90
3.8 Fourier-Reihe und Fourier-Integral 97
3.8.1 Fourier-Reihe 97
3.8.2 Fourier-Integral und Fourier-Transformation 101
3.8.3 Eigenschaften der Fourier-Transformation 103
3.8.4 Einfache Fourier-Transformationen, Linienspektren, Diracsche ?-Funktion 107
3.8.5 Wavelet-Transformation 111
3.9 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie 114
3.9.1 Zufallsexperiment 116
3.9.2 Zufallsvariable 118
3.9.3 Wahrscheinlichkeit 119
3.9.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Verbundwahrscheinlichkeit 124
3.9.5 Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte 126
3.9.6 Maßzahlen einer Verteilung 130
3.9.7 Unabhängige und abh¨angige Ereignisse 133
3.9.8 Momenterzeugende und charakteristische Funktion 135
3.9.9 Spezielle Verteilungen 138
3.9.10 Zentraler Grenzwertsatz 146
3.9.11 Cauchy-Verteilung und 150
3.9.12 Analyse stochastischer Prozesse 155
3.10 Invariantes Maß und ergodische Bahnen 161
3.10.1 Natürliche invariante Dichte der logistischen Abbildung 161
3.10.2 Frobenius-Perron-Gleichung und ergodisches Maß 166
4 Dynamische Systeme ohne Dissipation 171
4.1 Hamiltonsche Gleichungen 171
4.2 Kanonische Transformationen, Integrierbarkeit 178
4.3 f-dimensionale Ringe (Tori) und Trajektorien 188
4.4 Die Grundzüge der KAM-Theorie 191
4.5 Instabile Tori, chaotische Bereiche 196
4.6 Ein numerisches Beispiel: die Hé non-Abbildung 206
5 Dynamische Systeme mit Dissipation 223
5.1 Volumenkontraktion – eine wesentliche Eigenschaft dissipativer Systeme 224
5.2 Seltsamer Attraktor: Lorenz-Attraktor 226
5.3 Leistungsspektrum und Autokorrelation 232
5.4 Lyapunov-Exponenten 236
5.4.1 Lineare Stabilitätsanalyse nichtlinearer Systeme: Gleichgewicht 237
5.4.2 Stabilität periodischer Lösungen: Floquet-Theorie 243
5.4.3 Lyapunov-Exponent eindimensionaler Abbildungen 253
5.4.4 Lyapunov-Exponenten n-dimensionaler kontinuierlicher Systeme 256
5.4.5 Lyapunov-Exponenten n-dimensionaler diskreter Systeme 263
5.4.6 Numerische Berechnung der Lyapunov-Exponenten 265
5.4.7 Lyapunov-Vektoren 271
5.5 Dimensionen 276
5.5.1 Cantor-Menge 278
5.5.2 Fraktaldimensionen: 282
Kapazitä tsdimension und Hausdorff-Besicovitch-Dimension 282
5.5.3 Informationsdimension 284
5.5.4 Korrelationsdimension, punktweise Dimension und 297
5.5.5 Verallgemeinerte Dimension 313
5.5.6 Lyapunov-Dimension und Kaplan-Yorke-Vermutung 315
5.6 Kolmogorov-Sinai-Entropie 321
5.6.1 Der Bernoulli-Shift 322
5.6.2 Definition der KS-Entropie 326
5.6.3 Zusammenhang zwischen KS-Entropie und Lyapunov-Exponenten 333
5.6.4 Zeitspanne für verläßliche Prognosen 335
6 Lokale Bifurkationstheorie 339
6.1 Motivation 341
6.2 Zentrumsmannigfaltigkeit 349
6.3 Normalformen 368
6.4 Normalformen von Verzweigungen einparametriger Flüsse 382
6.5 Stabilität von Verzweigungen infolge Störungen 402
6.6 Verzweigungen von Fixpunkten einparametriger Abbildungen 405
6.7 Renormierung und Selbstähnlichkeit am Beispiel der logistischen Abbildung 429
6.7.1 Der Mechanismus der Periodenverdopplung ad infinitum 429
6.7.2 Superstabile Zyklen 437
6.7.3 Selbst¨ahnlichkeit im 442
6.7.4 Selbstähnlichkeit im Parameterraum 452
6.7.5 Zusammenhang mit Phasenübergängen 2. Ordnung und Renormierungsmethoden 465
6.8 Ein beschreibender Exkurs in die Synergetik 470
7 Konvektionsströmungen: Bénard-Problem 479
7.1 Hydrodynamische Grundgleichungen 486
7.2 Boussinesq-Oberbeck-Approximation 496
7.3 Lorenz-Modell 498
7.4 Entwicklung des Lorenz-Systems 503
8 WegezumChaos 515
8.1 Landau-Szenario 515
8.2 Ruelle-Takens-Szenario 520
8.2.1 Instabilität quasiperiodischer Bewegungen auf dem 3D-Torus 521
8.2.2 Experimente von Swinney und Gollub 525
8.3 Universelle Eigenschaften des übergangs von Quasiperiodizit¨at zu Chaos 529
8.3.1 Der impulsartig erregte gedämpfte Oszillator 530
8.3.2 Die eindimensionale Kreisabbildung 533
8.3.3 Skalierungseigenschaften der Kreisabbildung 545
8.3.3.1 Lokale Skalierungsgesetze 545
8.3.3.2 Globale Skalierungsgesetze 556
8.4 Feigenbaum-Route über Periodenverdopplungen ins Chaos 562
8.4.1 Weitere Skalierungsgesetze der Periodenverdopplungskaskade 566
8.4.2 Experimenteller Nachweis der Feigenbaum-Route 577
8.5 Quasiperiodischer Übergang bei fester Windungszahl 581
8.5.1 Skalierungseigenschaften des quasiperiodischen Übergangs 582
8.5.2 Multifraktale Strukturen 589
8.5.3 Experimenteller Nachweis des quasiperiodischen Übergangs 598
8.6 Der Weg über Intermittenz ins Chaos 604
8.6.1 Intermittenz bei der logistischen Abbildung 605
8.6.2 Klassifikation der Intermittenz 610
8.6.3 Typ I-Intermittenz 612
8.6.4 Typ III-Intermittenz 621
8.6.5 Typ II-Intermittenz 627
8.7 Wege aus dem Chaos, Steuerung des Chaos 630
8.7.1 Chaos-Kontrolle ohne Rückkopplung 633
8.7.2 Chaos-Kontrolle mit Rückkopplung 634
9 Turbulenz 639
9.1 Dynamik inkompressibler Flüssigkeiten 644
9.1.1 Die hydrodynamischen Grundgleichungen 644
9.1.2 Die lokale Energiedissipationsrate 647
9.1.3 Die Wirbeltransportgleichung 649
9.1.4 Die Lagrangesche Behandlung von Flüssigkeitsströmungen 653
9.1.5 Lagrangesche kohärente Strukturen 656
9.1.6 Hydrodynamische Wirbel 661
9.1.6.1 Lamb-Oseen-Wirbel 661
9.1.6.2 Gestreckte Wirbel 663
9.1.6.3 Lundgren-Wirbel 666
9.2 Vom Chaos zur Turbulenz 666
9.2.1 Chaos in Flüssigkeitströmungen 666
9.2.2 Dynamik von Punktwirbeln in zweidimensionalen idealen 666
9.2.2.1 Der Hamiltonsche Charakter der Punktwirbeldynamik 668
9.2.2.2 Zwei Punktwirbel 669
9.2.2.3 Drei Punktwirbel 671
9.2.2.4 Vier Punktwirbel 674
9.2.2.5 Mischung durch Punktwirbel 676
9.2.3 Die Onsagersche Gleichgewichtstheorie 677
9.2.3.1 Viskosität 677
9.3 Turbulenz: Determinismus und Stochastizität 679
9.3.1 Statistische Mittelwertbildung 679
9.3.2 Momentengleichungen: Das Schließungsproblem der Turbulenz 681
9.3.3 Zerfallende Turbulenz 682
9.3.4 Reynoldssche Gleichung und Turbulenz-Modellierung 682
9.4 Charakteristische Skalen der Turbulenz 685
9.4.1 Taylor-Hypothese 685
9.4.2 Phänomenologie des Wirbelzerfalls und Energiekaskade 685
9.4.3 Die integrale Länge 686
9.4.4 Die Kolmogorovschen Skalen 687
9.4.5 Die Taylor-Länge 687
9.4.6 Die Taylor-Reynolds-Zahl 688
9.5 Die turbulente Kaskade 688
9.5.1 Die von Kármán-Howarth-Relation 688
9.5.2 Das Energiespektrum 691
9.5.3 Die Energiekaskade in der dreidimensionalen Turbulenz 692
9.5.4 Heisenbergs Theorie 694
9.6 Die Kolmogorovsche Theorie der lokal isotropen Turbulenz 696
9.6.1 Die Evolutionsgleichung für die Geschwindigkeitsinkremente 696
9.6.2 Die Energiebilanz des Geschwindigkeitsinkrementes 697
9.6.3 Die gemittelte Energiebilanzgleichung 699
9.6.3.1 Homogene Turbulenz 699
9.6.3.2 Homogene, isotrope Turbulenz 700
9.6.3.3 Das Kolmogorovsche -4/5 Gesetz 700
9.6.3.4 Dissipationsbereich 701
9.6.3.5 Inertialbereich 702
9.6.4 Die Kolmogorovsche Theorie K41 702
9.6.4.1 Universalität der Statistik der kleinskaligen Turbulenz 703
9.6.4.2 Ähnlichkeitsverhalten im Inertialbereich 704
9.6.4.3 Selbstähnlichkeit und fraktale Skalengesetze 704
9.6.4.4 Experimentelle Überprüfung der Selbstä hnlichkeitshypothese 706
9.6.5 Das Phänomen der Intermittenz 707
9.6.6 Kolmogorov K62 708
9.6.7 Multifraktales Modell 710
9.6.8 Multiskalen-Statistik 712
9.7 Ausblick 718
9.8 Anhang: Isotrope Tensorfelder 719
9.8.1 Longitudinale und transversale Korrelationsfunktionen 721
9.8.1.1 Die Korrelationsfunktion dritter Ordnung 722
9.8.2 Korrelationsfunktionen für inkompressible, isotrope und homogene Felder 723
9.8.2.1 Die Korrelationsfunktion zweiter Ordnung 723
9.8.2.2 Die Korrelationsfunktion dritter Ordnung 723
9.8.3 Strukturfunktionen inkompressibler Felder 724
9.8.3.1 Strukturfunktion zweiter Ordnung 724
9.8.3.2 Strukturfunktion dritter Ordnung 725
10 Computerexperimente 727
10.1 Einblick in Knochenumbauprozesse 730
10.2 Hénon-Abbildung 746
10.3 Wiederbegegnung mit dem Lorenz-System 753
10.4 Van der Polsche Gleichung 759
10.4.1 Selbsterregte Schwingung 760
10.4.2 Fremderregter Van der Pol Oszillator 766
10.5 Duffing-Gleichung 782
10.6 Shilnikov-Bifurkationen 804
10.7 Julia-Mengen und ihr Ordnungsprinzip 814
10.8 Struktur der Arnold-Zungen 828
10.9 Zur Kinetik chemischer Reaktionen an Einkristall- Oberflächen 838
10.9.1 Oxidation von Wasserstoff an einer Platin-Elektrode 839
10.9.2 Zur Kinetik der katalytischen Oxidation von CO an Pt(110) 842
10.9.2.1 Phänomenologie der katalytischen Oxidation 842
10.9.2.2 Schrittweise Formulierung eines kinetischen Modells 846
10.9.3 Identifikation von Chaos und Hyperchaos bei kinetischen Oberfl¨achenreaktionen 853
10.9.4 Raumzeitliche Musterbildung 856
Farbtafeln 865
Literaturverzeichnis 897
Index 920