Damage in multi-phasic materials computed with the extended finite-element method

Mit Fokus auf gewachsenes, biologisches Gewebe ist es das Ziel der vorliegenden Arbeit, eine numerische Methodologie für die Simulation von Schädigungen in Mehrphasenmaterialien zu entwickeln. Dabei wird ein konsistentes numerisches Verfahren vorgestellt, welches diskontinuierliche Randwertprobleme (RWP) in einer nicht-linearen dreidimensionalen Umgebung simulieren kann. Repräsentative Beispiele aus dem Bereich biomechanischer Problemstellungen belegen die numerischen Möglichkeiten des vorgestellten Verfahrens. Aufgrund der Allgemeingültigkeit der in dieser Arbeit verwendeten Methoden kann die daraus entwickelte Methodologie auch in völlig anderen Anwendungsbereichen angewandt werden, z.B. im Bereich der CO2-Sequestrierung. Die vorliegende Arbeit ist in vier Hauptkapitel untergliedert. Die Grundlagen der Kontinuumsmechanik werden kurz in Kapitel 2 diskutiert. Darin werden im Rahmen der Theorie Poröser Medien (TPM) grundlegende kontinuumsmechanische Prinzipe vorgestellt und ein thermodynamisch konsistentes Zweiphasen-Materialmodell entwickelt. Die hier zugrunde gelegten kontinuumsmechanischen Prinzipe haben ihren Ursprung in den klassischen Feldtheorien deformierbarer Körper. Im Allgemeinen wird jedoch davon ausgegangen, daß ein solcher Körper lediglich aus einem einzelnen, homogen verteilten Material bzw. einer Phase besteht. Die Annahme eines einphasigen Materials ist jedoch für viele Anwendungen nicht ausreichend. Nahezu alle Materialien sind - mehr oder minder - porös. Vor allem gewachsenes, biologisches Gewebe, dessen Beschreibung mit ein Schwerpunkt dieser Arbeit ist, muß als Mehrphasen-Material beschrieben werden. Eine kurze Einführung in die theoretischen Grundlagen der Bruchmechanik erfolgt im ersten Teil von Kapitel 3. Der zweite Teil des Kapitels befaßt sich mit der Eingliederung der Bruchmechanik-Grundlagen in einen kontinuumsbruchmechanischen Kontext. Eine detaillierte Betrachtung der kinematischen Zusammenhänge motiviert die Einführung einer kohäsiven, gemittelten Bruchfläche. Die eineindeutige geometrische Beschreibung der Bruchfläche ermöglicht in Konsequenz die Definition von modifizierten Bilanzgleichungen. Diese modifizierten Bilanzgleichungen beinhalten auch jeweils einen diskontinuierlichen Anteil; sie werden schwach, im Sinne eines RWP, für die im nächsten Kapitel beschriebene Diskretisierung umformuliert. Als Abschluß des dritten Kapitels ergibt die Untersuchung der Lokalisierung von Diskontinuitäten ein geeignetes Rißausbreitungskriterium für das Festkörperskelett. Kapitel 4 stellt die numerische Umsetzung von Schädigungsprozessen für das vorherig entwickelte Zweiphasen-Materialmodell vor. Die numerische Umsetzung erfolgt auf Basis der Finite-Elemente-Methode (FEM). Die zeitliche Diskretisierung erfolgt dabei über einen impliziten Lösungsansatz. Der diskontinuierliche Anteil der modifizierten Bilanzgleichungen aus Kapitel 3 wird durch eine Erweiterung der FEM betrachtet. Das Grundprinzip dieser Erweiterung - auch bekannt als "extended Finite-Element Method" (XFEM) - wird zunächst anhand eines Beispiels aus dem Bereich von elastisch-inelastischem Materialverhalten eingeführt. Jenes Beispiel führt vorab zu der Entwicklung einer weiteren numerischen Methode, der sogenannten "augmented Finite-Element Method" (AugFEM). Als Konsequenz der diskontinuierlichen Diskretisierung des RWP ist ein besonderes Augenmerk auf die numerische Integration zu richten. Die lokalen Informationen über den elementweisen Durchgang der Bruchfläche, sprich, die Diskontinuität, wird mittels des aus der dreidimensionalen Computervisualisierung bekannten "Marching Cubes Algorithm" (MCA) berechnet. Diese lokale Berechnung erfordert leistungsfähige Techniken für die globale numerische Nachverfolgung der Diskontinuitäten. Im Rahmen dieser Arbeit wird der "Global Tracking Algorithm" (GTA) verwendet. Dadurch wird das Gleichungsystem um eine dritte Bilanzgleichung erweitert. Das letzte Hauptkapitel, Kapitel 5, präsentiert numerische Beispiele, die auf Basis der theoretischen Aspekte aus den vorangegangenen Kapiteln berechnet sind. Im ersten, zweidimensionalen numerischen Beispiel wird der Flüssigkeitsaustausch innerhalb einer Rißöffnung eines hydrierten Gewebequerschnitts simuliert. Final befassen sich dreidimensionale Beispiele mit der Problemstellung einer Fraktur eines menschlichen Oberschenkelhalsknochens.