Quantenmechanik 2 (eBook)

Vorwort 5
24 Zeitentwicklung in der Quantenmechanik 17
24.1 Der Zeitentwicklungsoperator 17
24.2 Explizite Darstellung des Zeitentwicklungsoperators 20
24.3 Das Heisenberg-Bild 25
24.3.1 Erhaltungsgroßen 28
24.3.2 Bewegungsgleichungen im Heisenberg-Bild 29
24.4 Das Wechselwirkungsbild 30
24.5 Zeitabhängige Störungstheorie 34
24.6 Formale Aufsummation der Storreihe 37
24.7 Zeitabh. Storungstheorie im Pfadintegralzugang: Feynman-Diagramme* 39
24.8 Die Green’sche Funktion der Schrodinger-Gleichung 46
24.8.1 Die volle Green’sche Funktion 47
24.8.2 Die Green’sche Funktion des freien Teilchens 50
25 Zeitabhängige Prozesse 55
25.1 Übergange infolge einer äußeren Storung 55
25.2 Storreihe fur die Übergangsamplitude 56
25.3 Fermis Goldene Regel 58
25.3.1 Zeitlich begrenzte Storung 58
25.3.2 Instantanes Ein- bzw. Ausschalten der Storung 60
25.3.3 Periodische Storung 69
26 Streutheorie 73
26.1 Der Streuprozess 74
26.2 Streuung eines Wellenpaketes am Potential 76
26.3 Stationäare Streutheorie: Die Lippmann-Schwinger-Gleichung 81
26.4 Die Streuamplitude 84
26.5 Der Wirkungsquerschnitt 86
26.6 Die Born'sche Näherung 89
26.6.1 Streuung am Yukawa-Potential 92
26.6.2 Streuung am Coulomb-Potential 94
26.7 Die Streumatrix* 96
26.8 Das optische Theorem* 101
26.9 Streuung am Zentralpotential: Partialwellenzerlegung 102
26.9.1 Partialwellenzerlegung der Streufunktion 102
26.9.2 Die Streuphase 104
26.9.3 Partialwellenzerlegung des Streuquerschnitts 108
26.9.4 Konvergenz der Partialwellenzerlegung 110
26.10 Hartkugelstreuung 112
26.11 Erklarung der Schattenstreuung* 120
26.12 Streuung am Potentialtopf 124
26.12.1 Die Streuphasen 125
26.12.2 Resonanzstreuung 129
26.12.3 s-Streuung am Potentialtopf 135
26.12.4 Levinson-Theorem 137
26.12.5 Die Streulange 140
26.12.6 Streuung am kugelsymmetrischen Potentialberg 143
27 Adiabatische Beschreibung: Die Berry-Phase 147
27.1 Adiabatische Prozesse 147
27.2 Die adiabatische Naherung 149
27.3 Die Berry-Phase 152
27.4 Das Berry-Potential 154
27.5 Pfadintegralableitung der Berry-Phase* 157
27.6 Das induzierte Magnetfeld 162
27.7 Spin im homogenen Magnetfeld 163
27.7.1 Das Berry-Potential 164
27.7.2 Das induzierte Magnetfeld 165
27.7.3 Zum Raumwinkel* 167
27.7.4 Mechanische Interpretation der Berry-Phase 170
27.8 Der Bohm-Aharonov-Effekt 172
27.8.1 Interpretation als Berry-Phase 175
27.8.2 Pfadintegralberechnung der Berry-Phase* 177
28 Symmetrien 181
28.1 Verhalten der Wellenfunktion unter Koordinatentransformationen 181
28.2 Koordinatentransformationen im Hilbert-Raum 185
28.3 Symmetrietransformationen 187
28.4 Kontinuierliche Symmetrietransformationen 189
28.5 Translation des Raumes 190
28.6 Drehungen 192
28.6.1 Drehung des Koordinatensystems 192
28.6.2 Der Drehoperator 193
28.6.3 Matrixdarstellung des Drehoperators 195
28.6.4 Das Drehverhalten von Observablen: Skalare, Vektoren und Tensoren 199
28.6.5 Teilchen im rotierenden Bezugssystem: Die Coriolis-Wechselwirkung 202
28.7 Diskrete Symmetrien 205
28.7.1 Raumspiegelung 205
28.7.2 Zeitumkehr 206
28.8 Innere Symmetrien 207
28.9 Eichsymmetrien* 210
29 Rotationen* 215
29.1 Darstellung der Drehung durch Euler-Winkel 215
29.2 Die Wigner’schen D-Funktionen 220
29.3 Die Drehimpulseigenfunktionen des starren Korpers 224
29.4 Rotation eines starren Korpers 233
30 Relativistische Quantenmechanik 237
30.1 Relativistische Kinematik 237
30.2 Lagrange- und Hamilton-Formulierung* 240
30.3 Elektromagnetische Felder 244
30.4 Die Klein-Gordon-Gleichung 248
30.5 Die Dirac-Gleichung 253
30.6 Die Losungen der freien Dirac-Gleichung 257
30.7 Der Drehimpuls des Dirac-Teilchens 262
30.8 Elektron im Magnetfeld 265
30.9 Der nichtrelativistische Limes der Dirac-Gleichung 273
30.10 Elektron im Coulomb-Potential 276
30.10.1 Punktmasse im Zentralpotential 277
30.10.2 Läsung der Dirac-Gleichung fur das Coulomb-Potential 281
31 Vielteilchensysteme 291
31.1 Unterscheidbare Teilchen 291
31.2 Identische Teilchen 293
31.3 Permutationen 295
31.4 Systeme aus zwei identischen Teilchen 297
31.5 Systeme aus N identischen Teilchen 299
31.6 Spin-Statistik-Theorem 303
31.6.1 Statistik von zusammengesetzten Teilchen 304
31.7 Observablen von Systemen identischer Teilchen 305
31.8 Fermi-Systeme 308
31.8.1 Slater-Determinanten 308
31.8.2 System aus zwei identischen Fermionen mit Spin 1/2 309
31.9 Das Helium-Atom 314
31.9.1 Das ungestörte Helium-Spektrum 316
31.9.2 Helium-Spektrum mit Coulomb-Wechselwirkung 318
31.10 Die Hartree-Fock-Methode 320
31.10.1 Hartree-Naherung 321
31.10.2 Hartree-Fock-Naherung 325
31.11 Das ideale Fermi-Gas 328
31.12 Die Thomas-Fermi-Naherung 336
32 Die Zweite Quantisierung 343
32.1 Identische Teilchen 343
32.2 Besetzungszahldarstellung 347
32.3 Der harmonische Oszillator als ein Ensemble von Phononen 349
32.4 Der Fock-Raum 350
32.5 Bosonen 352
32.6 Fermionen 355
32.7 Operatoren 360
32.7.1 Einteilchenoperatoren 360
32.7.2 Zweiteilchenoperatoren 364
32.7.3 Nützliche Operatorbeziehungen 366
32.7.4 Das Wick'sche Theorem 368
32.8 Die Ortsdarstellung 370
32.8.1 Feldoperatoren 370
32.8.2 Die Dichtematrix 374
32.9 Fermi-Systeme 376
32.9.1 Slater-Determinanten 377
32.9.2 Das Quasiteilchen-Bild 379
32.9.3 Das Thouless-Theorem* 382
33 Die Theorie der Supraleitung* 387
33.1 Paarkorrelationen 388
33.2 Variation der Energie 392
33.3 Quasiteilchen 397
33.4 Die Bogoljubov-Transformation 399
33.5 Die Energielucke 406
34 Quantenstatistik 411
34.1 Gemischte Zustande 411
34.1.1 Der statistische Operator 413
34.1.2 Der statistische Operator fur ein Spin-1/2-Teilchen 416
34.1.3 Zusammenhang mit reinen Zustäanden 418
34.2 Statistische Ensembles 419
34.2.1 Das Prinzip der Maximalen Entropie 420
34.2.2 Das kanonische Ensemble 423
34.2.3 Das großkanonische Ensemble 426
34.3 Das großkanonische Ensemble identischer Teilchen 428
34.3.1 Fermi-Statistik 432
34.3.2 Bose-Statistik 433
34.3.3 Gibbs-Statistik 434
34.3.4 Der harmonische Oszillator bei endlichen Temperaturen 435
34.3.5 Die Entropie identischer Teilchen 437
34.4 Mean-Field-Approximation bei endlichen Temperaturen 438
35 Kohärente Zustände 445
35.1 Koharente Bose-Zustande 445
35.2 Koharente Fermi-Zustande 452
35.2.1 Der fermionische Oszillator 452
35.2.2 Koharente Fermi-Zustande und Graßmann-Variablen 453
35.2.3 Differentiation und Integration fur Graßmann-Variablen 455
35.2.4 Darstellung des Fock-Raumes durch Graßmann-Variablen 459
35.2.5 Verallgem. auf Fermi-Systeme mit mehreren Freiheitsgraden 461
35.2.6 Beschreibung von Fermi-Systemen mit Hilfe von Graßmann-Variablen 464
35.3 Komplexe Gauß-Integrale 466
35.4 Anwendungen 470
35.4.1 Das erzeugende Funktional 471
35.4.2 Die Spur im Fock-Raum 473
35.4.3 Ensemble-Mittel 475
36 Pfadintegralbeschreibung von Vielteilchensystemen 479
36.1 Pfadintegraldarstellung der Übergangsamplitude 480
36.2 Pfadintegraldarstellung der großkanonischen Zustandssumme 485
36.3 Pfadintegraldarstellung des erzeugenden Funktionals 487
36.4 Nichtdifferenzierbare Pfade 489
36.5 Bosonisierung: BCS-Theorie bei endlichen Temperaturen* 494
36.6 Funktionalintegraldarstellung der Eichtheorien 501
E Grundzäge der Gruppentheorie 509
E.1 Grundlagen 509
E.2 Kontinuierliche Gruppen 512
E.3 Die Drehgruppe in N = 2 Dimensionen: SO(2) 514
E.4 Die Gruppen O(N) und SO(N) 515
E.5 Die Drehgruppe SO(3) 519
E.6 Die Gruppe der unitäaren Matrizen U(N) 521
E.7 Homomorphismus und Isomorphismus 522
E.7.1 Der Isomorphismus U(1) . SO(2) 522
E.7.2 Der Homomorphismus SU(2) ~ SO(3) 523
E.8 Nicht-kompakte Gruppen: Die Lorentz-Gruppe 526
E.9 Minimale Darstellung d. Lorentz-Transform. durch die Gruppe SL(2, C) 531
E.10 Die Poincare-Gruppe 534
E.10.1 Definition und Casimir-Operatoren 534
E.10.2 Physikalische Bedeutung der Casimir-Operatoren 535
E.11 Spinoren 538
E.11.1 Spinor-Darstellung der O(N) 538
E.11.2 Spinor-Darstellung der Lorentz-Gruppe 541
E.12 Die Algebra einfacher und halbeinfacher Lie-Gruppen 542
E.12.1 Gewichte und Wurzeln 543
E.12.2 Beispiele: Die Gruppen SU(2) und SU(3) 546
F Eigenschaften der Wigner’schen D-Funktionen 553
G Spuridentitaten im Fock-Raum 559
H Das Wick’sche Theorem 563
H.1 Basisdefinitionen und Operatorbeziehungen 563
H.2 Zeitabhangige Feldoperatoren 568
H.3 Normal- und zeitgeordnetes Produkt sowie Kontraktion von Feldoperatoren 570
H.4 Allgemeine Form des Wick'schen Theorems 573
H.5 Das Wick’sche Theorem fur Ensemble-Mittel 576
I (Anti-)Periodische Funktionen und Matsubara-Summen 581
Index 587