Springer-Handbuch der Mathematik I (eBook)

Prof. Eberhard Zeidler, MPI für Mathematik in den Naturwissenschaften, Leipzig

Vorwort 6
Inhaltsverzeichnis 10
Einleitung 14
KAPITEL 0 WICHTIGE FORMELN, GRAPHISCHE DARSTELLUNGEN UND TABELLEN 16
0.1 Grundformeln der Elementarmathematik 16
0.1.1 Mathematische Konstanten 16
0.1.2 Winkelmessung 18
0.1.3 Flächeninhalt und Umfang ebener Figuren 20
0.1.4 Volumen und Oberflächen von Körpern 24
0.1.5 Volumen und Oberfläche der regulären Polyeder 27
0.1.6 Volumen und Oberfläche der dimensionalen Kugel 28
0.1.7 Grundformeln der analytischen Geometrie in der Ebene 29
0.1.8 Grundformeln der analytischen Geometrie des Raumes 39
0.1.9 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen 40
0.1.10 Elementare algebraische Formeln 43
0.1.11 Wichtige Ungleichungen 51
0.1.12 Anwendung auf die Planetenbewegung – der Triumph der Mathematik im Weltall 56
0.2 Elementare Funktionen und ihre graphische Darstellung 60
0.2.1 Transformation von Funktionen 62
0.2.2 Die lineare Funktion 64
0.2.3 Die quadratische Funktion 64
0.2.4 Die Potenzfunktion 65
0.2.5 Die Eulersche 66
0.2.6 Die Logarithmusfunktion 68
0.2.7 Die allgemeine Exponentialfunktion 69
0.2.8 Die Sinusund Kosinusfunktion 70
0.2.9 Die Tangensund Kotangensfunktion 76
0.2.10 Die Hyperbelfunktionen sinh x und cosh x 79
0.2.11 Die Hyperbelfunktionen tanh x und coth x 81
0.2.12 Die inversen trigonometrischen Funktionen (zyklometrische Funktionen) 83
0.2.13 Die inversen Hyperbelfunktionen 85
0.2.14 Ganze rationale Funktionen 87
0.2.15 Gebrochen rationale Funktionen 88
0.3 Standardverfahren der mathematischen Statistik für Praktiker 92
0.3.1 Die wichtigsten empirischen Daten für eine Messreihe 92
0.3.2 Die theoretische Verteilungsfunktion 94
0.3.3 Das Testen einer Normalverteilung 96
0.3.4 Die statistische Auswertung einer Messreihe 96
0.3.5 Der statistische Vergleich zweier Messreihen 97
0.3.6 Tabellen der mathematischen Statistik 101
0.4 Primzahltabelle 115
0.5 Reihen- und Produktformeln 116
0.5.1 Spezielle Reihen 116
0.5.2 Potenzreihen 119
0.5.3 Asymptotische Reihen 130
0.5.4 Fourierreihen 133
0.5.5 Unendliche Produkte 138
0.6 Tabellen zur Differentiation von Funktionen 139
0.6.1 Differentiation der elementaren Funktionen 139
0.6.2 Differentiationsregeln für Funktionen einer Variablen 141
0.6.3 Differentiationsregeln für Funktionen mehrerer Variabler 143
0.7 Tabellen zur Integration von Funktionen 145
0.7.1 Integration der elementaren Funktionen 145
0.7.2 Integrationsregeln 147
0.7.3 Die Integration rationaler Funktionen 150
0.7.4 Wichtige Substitutionen 151
0.7.5 Tabelle unbestimmter Integrale 155
0.7.6 Tabelle bestimmter Integrale 192
0.8 Tabellen zu den Integraltransformationen 198
0.8.1 Fouriertransformation 198
0.8.2 Laplacetransformation 211
0.8.3 Z-Transformation 222
Literatur zu Kapitel 0 226
KAPITEL 1 ANALYSIS 227
1.1 Elementare Analysis 228
1.1.1 Reelle Zahlen 228
1.1.2 Komplexe Zahlen 234
1.1.3 Anwendungen auf Schwingungen 240
1.1.4 Das Rechnen mit Gleichungen 241
1.1.5 Das Rechnen mit Ungleichungen 243
1.2 Grenzwerte von Zahlenfolgen 245
1.2.1 Grundideen 245
1.2.2 Die Hilbertsche Axiomatik der reellen Zahlen 246
1.2.3 Reelle Zahlenfolgen 250
1.2.4 Konvergenzkriterien für Zahlenfolgen 253
1.3 Grenzwerte von Funktionen 257
1.3.1 Funktionen einer reellen Variablen 257
1.3.2 Metrische Räume und Punktmengen 262
1.3.3 Funktionen mehrerer reeller Variabler 268
1.4 Differentiation von Funktionen einer reellen Variablen 271
1.4.1 Die Ableitung 271
1.4.2 Die Kettenregel 274
1.4.3 Monotone Funktionen 275
1.4.4 Inverse Funktionen 276
1.4.5 Der Taylorsche Satz und das lokale Verhalten von Funktionen 278
1.4.6 Komplexwertige Funktionen 289
1.5 Differentiation von Funktionen mehrerer reeller Variabler 289
1.5.1 Partielle Ableitungen 289
1.5.2 Die Fréchet-Ableitung 291
1.5.3 Die Kettenregel 294
1.5.4 Anwendung auf die Transformation von Differentialoperatoren 297
1.5.5 Anwendung auf die Abhängigkeit von Funktionen 300
1.5.6 Der Satz über implizite Funktionen 300
1.5.7 Inverse Abbildungen 303
1.5.8 Die n-te Variation und der Taylorsche Satz 305
1.5.9 Anwendungen auf die Fehlerrechnung 306
1.5.10 Das Fréchet-Differential 308
1.6 Integration von Funktionen einer reellen Variablen 320
1.6.1 Grundideen 320
1.6.2 Existenz des Integrals 325
1.6.3 Der Fundamentalsatz der Differentialund Integralrechnung 327
1.6.4 Partielle Integration 328
1.6.5 Die Substitutionsregel 329
1.6.6 Integration über unbeschränkte Intervalle 332
1.6.7 Integration unbeschränkter Funktionen 333
1.6.8 Der Cauchysche Hauptwert 334
1.6.9 Anwendung auf die Bogenlänge 334
1.6.10 Eine Standardargumentation in der Physik 335
1.7 Integration von Funktionen mehrerer reeller Variabler 336
1.7.1 Grundideen 337
1.7.2 Existenz des Integrals 345
1.7.3 Rechenregeln 348
1.7.4 Das Prinzip des Cavalieri (iterierte Integration) 350
1.7.5 Die Substitutionsregel 351
1.7.6 Der Fundamentalsatz der Differentialund Integralrechnung (Satz von Gauß-Stokes) 352
1.7.7 Das Riemannsche Flächenmaß 359
1.7.8 Partielle Integration 361
1.7.9 Krummlinige Koordinaten 362
1.7.10 Anwendungen auf den Schwerpunkt und das Trägheitsmoment 365
1.7.11 Parameterintegrale 367
1.8 Vektoralgebra 368
1.8.1 Linearkombinationen von Vektoren 369
1.8.2 Koordinatensysteme 370
1.8.3 Multiplikation von Vektoren 373
1.9 Vektoranalysis und physikalische Felder 376
1.9.1 Geschwindigkeit und Beschleunigung 376
1.9.2 Gradient, Divergenz und Rotation 379
1.9.3 Anwendungen auf Deformationen 381
1.9.4 Der Nablakalkül 383
1.9.5 Arbeit, Potential und Kurvenintegrale 386
1.9.6 Anwendungen auf die Erhaltungsgesetze der Mechanik 388
1.9.7 Masseströmungen, Erhaltungsgesetze und der Integralsatz von Gauß 390
1.9.8 Zirkulation, geschlossene Feldlinien und der Integralsatz von Stokes 392
1.9.9 Bestimmung eines Vektorfeldes aus seinen Quellen und Wirbeln (Hauptsatz der Vektoranalysis) 394
1.9.10 Anwendungen auf die Maxwellschen Gleichungen des Elektromagnetismus 395
1.9.11 Der Zusammenhang der klassischen Vektoranalysis mit dem Cartanschen Differentialkalkül 397
1.10 Unendliche Reihen 398
1.10.1 Konvergenzkriterien 399
1.10.2 Das Rechnen mit unendlichen Reihen 401
1.10.3 Potenzreihen 404
1.10.4 Fourierreihen 407
1.10.5 Summation divergenter Reihen 410
1.10.6 Unendliche Produkte 411
1.11 Integraltransformationen 413
1.11.1 Die Laplacetransformation 415
1.11.2 Die Fouriertransformation 420
1.11.3 Die z-Transformation 426
1.12 Gewöhnliche Differentialgleichungen 430
1.12.1 Einführende Beispiele 430
1.12.2 Grundideen 439
1.12.3 Die Klassifikation von Differentialgleichungen 449
1.12.4 Elementare Lösungsmethoden 459
1.12.5 Anwendungen 475
1.12.6 Lineare Differentialgleichungssysteme und der Propagator 480
1.12.7 Stabilität 483
1.12.8 Randwertaufgaben und die Greensche Funktion 486
1.12.9 Allgemeine Theorie 491
1.13 Partielle Differentialgleichungen 494
1.13.1 Gleichungen erster Ordnung der mathematischen Physik 495
1.13.2 Gleichungen zweiter Ordnung der mathematischen Physik 523
1.13.3 Die Rolle der Charakteristiken 539
1.13.4 Allgemeine Eindeutigkeitsprinzipien 549
1.13.5 Allgemeine Existenzsätze 551
1.14 Komplexe Funktionentheorie 561
1.14.1 Grundideen 562
1.14.2 Komplexe Zahlenfolgen 563
1.14.3 Differentiation 564
1.14.4 Integration 566
1.14.5 Die Sprache der Differentialformen 570
1.14.6 Darstellung von Funktionen 573
1.14.7 Der Residuenkalkül zur Berechnung von Integralen 579
1.14.8 Der Abbildungsgrad 581
1.14.9 Anwendungen auf den Fundamentalsatz der Algebra 582
1.14.10 Biholomorphe Abbildungen und der Riemannsche Abbildungssatz 584
1.14.11 Beispiele für konforme Abbildungen 585
1.14.12 Anwendungen auf harmonische Funktionen 594
1.14.13 Anwendungen in der Hydrodynamik 597
1.14.14 Anwendungen in der Elektrostatik und Magnetostatik 600
1.14.15 Analytische Fortsetzung und das Permanenzprinzip 600
1.14.16 Anwendungen auf die Eulersche Gammafunktion 604
1.14.17 Elliptische Funktionen und elliptische Integrale 606
1.14.18 Modulformen und das Umkehrproblem für die Funktion 614
1.14.19 Elliptische Integrale 616
1.14.20 Singuläre Differentialgleichungen 625
1.14.21 Anwendungen auf die Gaußsche hypergeometrische Differentialgleichung 626
1.14.22 Anwendungen auf die Besselsche Differentialgleichung 626
1.14.23 Funktionen mehrerer komplexer Variabler 628
Literatur zu Kapitel 1 630
Index 633