Asymptotisches Verhalten invarianter Faserbündel bei Diskretisierung und Mittelwertbildung im Rahmen der Analysis auf Zeitskalen

Der im Jahre 1988 von Stefan Hilger ins Leben gerufene "Maßkettenkalkül” – heute auch "Analysis auf Zeitskalen” genannt – beginnt sich in der internationalen Forschungslandschaft zu etablieren. Nachdem im Jahre 1996 eine erste Monographie zu diesem Kalkül erschienen ist (siehe Referenz [44]), sind derzeit weitere Bücher und erste Symposien zu diesem Thema geplant. Während sich die bisherige Forschung zur "Analysis auf Zeitskalen” in erster Linie auf die einheitliche Beschreibung kontinuierlicher und diskreter Dynamik – den eigentlichen Kern dieser Theorie – konzentriert hat, wurde eine weitere diesem Kalkül innewohnende Perspektive bislang noch nicht in Erkenntnisse umgesetzt, nämlich die Behandlung von Diskretisierungsfragen.
In der vorliegenden Arbeit wird diese Problematik erstmals aufgegriffen, und zwar im Zusammenhang mit der Diskretisierung von invarianten Mannigfaltigkeiten gewöhnlicher Differentialgleichungen. Es zeigt sich dabei, dass die einschlägigen, auf klassischem Wege erzielten Ergebnisse im Rahmen der "Analysis auf Zeitskalen” nicht nur reproduziert und der allgemeinen Betrachtungsweise einer "Dynamik auf Zeitskalen” untergeordnet werden können, sondern dass sie sich auf diesem Wege in essentieller Weise verallgemeinern lassen. Diese Verallgemeinerungen betreffen auf der einen Seite den Übergang von autonomen zu nichtautonomen Systemen, auf der anderen Seite die Zulässigkeit variabler anstelle konstanter Schrittweiten.
Neben der Diskretisierungsfrage wird in der vorliegenden Arbeit ein weiteres Approximationsproblem im Zusammenhang mit invarianten Mannigfaltigkeiten behandelt, nämlich die sogenannte Mittelwertmethode. Durch die Erweiterung dieser ursprünglich für Differentialgleichungen entwickelten Methode auf allgemeine Zeitskalen ergeben sich Verallgemeinerungen und Vereinheitlichungen bekannter Ergebnisse, was erneut die im Maßkettenkalkül enthaltenen Möglichkeiten zur Behandlung von Diskretisierungs- und Approximationsfragen demonstriert.
Prof. Dr. Bernd Aulbach, Universität Augsburg