Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker

IV Eigenwertaufgaben bei Matrizen.- 9. Grundlagen, Abschätzungen, Vektoriteration.- 9.1 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 9.1.1 Das charakteristische Polynom.- 9.1.2 Eigenwerte spezieller Matrizenklassen.- 9.1.3 Eigenwerte komplexer Matrizen.- 9.2 Beispiele für das Auftreten von Eigenwertproblemen.- 9.2.1 Ein Schwingungsproblem.- 9.2.2 Ein Sturm-Liouville-Eigenwertproblem und das Differenzenverfahren.- 9.3 Abschätzungen von Eigenwerten.- 9.3.1 Die Lage der Eigenwerte.- 9.3.2 Eine Fehlerabschätzung bei hermiteschen Matrizen.- 9.4 Vektoriteration und inverse Iteration.- 9.4.1 Vektoriteration nach v. Mises.- 9.4.2 Inverse Iteration.- Aufgaben.- 10. Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten.- 10.1 Das Jacobi-Verfahren.- 10.1.1 Der Algorithmus.- 10.1.2 Konvergenz des Verfahrens.- 10.2 Das Verfahren von Givens.- 10.2.1 Die Verfahrensvorschrift.- 10.2.2 Eigenschaften des Verfahrens.- 10.3 Berechnung der Eigenwerte einer Hessenberg-Matrix.- 10.3.1 Berechnung des charakteristischen Polynoms.- 10.3.2 Berechnung der ersten Ableitung des charakteristischen Polynoms.- 10.3.3 Der Fall einer symmetrischen Matrix.- 10.4 Das LR-Verfahren.- 10.4.1 Der Algorithmus.- 10.4.2 Eigenschaften des Algorithmus.- 10.5 FORTRAN-Unterprogramme.- 10.5.1 Das Jacobi-Verfahren.- 10.5.2 Das Verfahren von Givens.- Aufgaben.- V Interpolation, Approximation und numerische Integration.- 11. Interpolation und Approximation.- 11.1 Interpolation durch Polynome.- 11.1.1 Das Lagrangesche Interpolationspolynom.- 11.1.2 Das Restglied bei der Lagrange-Interpolation.- 11.1.3 Das Newtonsche Interpolationspolynom.- 11.2 Gleichabständige Stützwerte. Interpolation in zwei Variablen.- 11.2.1 Das Newtonsche Interpolationspolynom.- 11.2.2 Darstellung des Fehlers.- 11.2.3 Interpolation bei Funktionen von zwei unabhängigen Veränderlichen.- 11.3 Hermite-Interpolation.- 11.3.1 Eine spezielle Interpolationsaufgabe.- 11.3.2 Das allgemeine Hermitesche Interpolationspolynom.- 11.4 Approximation durch Polynome.- 11.4.1 Das allgemeine Approximationsproblem.- 11.4.2 Die Polynomapproximation.- 11.5 Approximation durch allgemeinere Funktionen.- 11.5.1 Approximation durch eine Linearkombination von Funktionen.- 11.5.2 Approximation durch eine Linearkombination von Orthogonalfunktionen.- 11.6 Approximation mit Orthogonalpolynomen.- 11.6.1 Approximationsgenauigkeit.- 11.6.2 Das E. Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren.- 11.6.3 Legendresche Polynome.- 11.6.4 Orthogonalpolynome bezüglich einer Gewichtsfunktion.- 11.7 Trigonometrische Approximation.- 11.8 Approximation empirischer Funktionen.- 11.8.1 Die Methode der kleinsten Fehlerquadratsumme.- 11.8.2 Approximation durch Polynome.- 11.8.3 Approximation periodischer Funktionen.- Aufgaben.- 12. Spline-Interpolation.- 12.1 Interpolation durch stückweise lineare Funktionen.- 12.1.1 Die Konstruktion des Polygonzuges.- 12.1.2 Darstellung mit Hilfe von Basisfunktionen.- 12.2 Definition der kubischen Splines.- 12.2.1 Eigenschaften der Spline-Funktion.- 12.2.2 Die mathematische Definition des Splines.- 12.3 Der kubische Interpolationsspline.- 12.3.1 Berechnung des Splines.- 12.3.2 Der Algorithmus.- 12.4 Fehlerbetrachtungen.- 12.5 FORTRAN-Programm.- 12.6 Beispiel.- Aufgaben.- 13. Numerische Integration.- 13.1 Quadraturformeln vom Newton-Cotes-Typ.- 13.1.1 Interpolations-Quadraturformeln.- 13.1.2 Die Newton-Cotes-Formeln.- 13.2 Summierte Quadraturformeln.- 13.2.1 Das Verfahren.- 13.2.2 Das Restglied summierter Quadraturformeln.- 13.3 Romberg-Integration.- 13.3.1 Das Prinzip.- 13.3.2 Der Algorithmus.- 13.3.3 Der Fehler bei der Romberg-Integration.- 13.4 Das Gaußsche Quadraturverfahren.- 13.4.1 Eine Optimalitätsforderung.- 13.4.2 Berechnung der Stützstellen und Gewichte.- 13.4.3 Ergänzungen.- 13.5 Numerische Kubatur.- 13.5.1 Interpolations-Kubaturformeln.- 13.5.2 Ein einfaches summiertes Kubaturverfahren.- 13.6 Ergänzungen.- 13.6.1 Numerische Berechnung uneigentlicher Integrale.- 13.6.2 Numerische Berechnung von Integralen mit Singularitäten.- 13.7 FORTRAN-Unterprogramm.- Aufgaben.- VI Numerische Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen.- 14. Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 14.1 Einfache Einschritt-Verfahren.- 14.1.1 Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 14.1.2 Explizite Einschritt-Verfahren.- 14.1.3 Das Polygonzugverfahren.- 14.1.4 Verbesserte Polygonzugverfahren.- 14.2 Runge-Kutta-Verfahren.- 14.2.1 Verfahren von Heun.- 14.2.2 Das klassische Runge-Kutta-Verfahren.- 14.2.3 Runge-Kutta-Verfahren für Systeme von Differentialgleichungen.- 14.3 Konsistenz und Konvergenz.- 14.3.1 Konsistente Verfahren.- 14.3.2 Die Konsistenzordnung einiger Einschritt-Verfahren.- 14.3.3 Ein Satz über die Konvergenzordnung.- 14.3.4 Systeme von Differentialgleichungen.- 14.4 Fehlerbetrachtungen. Ergänzungen.- 14.4.1 Rundungsfehler.- 14.4.2 Fehlerabschätzungen.- 14.5 FORTRAN-Unterprogramm.- 14.6 Beispiel.- Aufgaben.- 15. Rand- und Eigenwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 15.1 Problemstellung. Einige Ergebnisse der Theorie.- 15.1.1 Definition des allgemeinen Randwertproblems.- 15.1.2 Selbstadjungierte Differentialgleichungen.- 15.1.3 Randwertprobleme bei Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 15.1.4 Randbedingungen beim Problem der Balkenbiegung.- 15.2 Differenzenverfahren.- 15.2.1 Lineare Randwertprobleme 2. Ordnung.- 15.2.2 Nichtlineare Randwertprobleme 2. Ordnung.- 15.2.3 Konvergenz des Differenzenverfahrens.- 15.3 Variationsmethoden und Ritzsches Verfahren.- 15.3.1 Randwertproblem und Variationsproblem.- 15.3.2 Das Ritzsche Verfahren.- 15.3.3 Zur praktischen Durchführung des Ritzschen Verfahrens.- 15.4 Die Methode der finiten Elemente.- 15.4.1 Stückweise lineare Ansatzfunktionen.- 15.4.2 Kubische Splines als Ansatzfunktionen.- 15.4.3 Fehlerordnung. Ergänzungen.- 15.5 Differenzenverfahren zur Lösung einfacher Eigenwertprobleme.- 15.5.1 Das Eigenwertproblem.- 15.5.2 Das Differenzenverfahren.- Aufgaben.- VII Numerische Lösung von partiellen Differentialgleichungen.- 16. Differenzenverfahren zur numerischen Lösung von Anfangs- und Anfangs-Randwertproblemen bei hyperbolischen und parabolischen Differentialgleichungen.- 16.1 Klassifizierung. Charakteristiken.- 16.1.1 Lineare, halblineare und quasilineare Gleichungen zweiter Ordnung.- 16.1.2 Typeneinteilung.- 16.1.3 Charakteristiken.- 16.2 Lineare und halblineare hyperbolische Anfangs wertprobleme zweiter Ordnung.- 16.2.1 Normalform und Anfangs wertproblem.- 16.2.2 Das Differenzenverfahren.- 16.3 Explizite Differenzenverfahren für lineare parabolische Anfangs-Randwertprobleme zweiter Ordnung.- 16.3.1 Problemstellung.- 16.3.2 Ein explizites Einschritt-Differenzenverfahren.- 16.3.3 Konvergenz des Verfahrens.- 16.4 Implizite Differenzenverfahren für lineare parabolische Anfangs-Randwertprobleme zweiter Ordnung.- 16.4.1 Konstruktion der Verfahren.- 16.4.2 Konvergenz der Verfahren.- 16.4.3 Nichtlineare Probleme.- Aufgaben.- 17. Hyperbolische Systeme 1. Ordnung.- 17.1 Einige Grundlagen der Theorie.- 17.1.1 Klassifizierung.- 17.1.2 Normalform.- 17.1.3 Charakteristiken.- 17.1.4 Das Anfangs wertproblem.- 17.1.5 Beispiele hyperbolischer Systeme 1. Ordnung in der Strömungsmechanik.- 17.2 Charakteristikenverfahren.- 17.2.1 Das Prinzip.- 17.2.2 Der lineare Fall.- 17.2.3 Der allgemeine quasilineare Fall.- 17.3 Differenzenverfahren in Rechteckgittern.- 17.3.1 Das Anfangswertproblem.- 17.3.2 Das Differenzenverfahren.- 17.3.3 Zwei spezielle Verfahren.- 17.3.4 Konvergenz der Differenzenverfahren.- Aufgaben.- 18. Randwertprobleme elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 18.1 Elliptische Randwertprobleme.- 18.1.1 Formulierung der Randwertprobleme.- 18.1.2 Randwertprobleme und Variationsprobleme.- 18.1.3 Allgemeinere Variationsprobleme und Randwertprobleme.- 18.2 Differenzenverfahren.- 18.2.1 Das Modellproblem.- 18.2.2 Konvergenz des Differenzenverfahrens.- 18.2.3 Krummlinig berandete Gebiete.- 18.2.4 Variationsprobleme und nichtlineare Randwertaufgaben.- 18.3 Das Ritzsche Verfahren und die Methode der finiten Elemente.- 18.3.1 Das Ritzsche Verfahren.- 18.3.2 Die einfachste Methode der finiten Elemente.- 18.3.3 Die Methode der finiten Elemente bei nichtlinearen Problemen.- 18.3.4 Ergänzungen.- Aufgaben.- Literatur.