Zahlen

Prof. Dr. H.-D. Ebbinghaus ist Leiter des Instituts für Mathematische Logik an der Universität Freiburg. Durch Veröffentlichungen hat der Autor einen hohen Bekanntheitsgrad in der Hochschulmathematik.

A. Von den natürlichen zu den komplexen und p-adischen Zahlen.- 1. Natürliche, ganze und rationale Zahlen.-
1. Historisches.- 1. Ägypten und Babylonien.- 2. Griechenland.- 3. Indisch-arabische Rechenpraxis.- 4. Neuzeit.-
2. Natürliche Zahlen.- 1. Definition der natürlichen Zahlen.- 2. Rekursionssatz und Einzigkeit von ?.- 3. Addition, Multiplikation und Anordnung der natürlichen Zahlen.- 4. PEANOS Axiome.-
3. Ganze Zahlen.- 1. Die additive Gruppe ?.- 2. Der Integritätsring ?.- 3. Die Anordnung in ?.-
4. Rationale Zahlen.- 1. Historisches.- 2. Der Körper ?.- 3. Die Anordnung in ?.- Literatur.- 2. Reelle Zahlen.-
1. Historisches.- 1. HIPPASUS und das Pentagon.- 2. EUDOXOS und die Proportionenlehre.- 3. Irrationalzahlen in der neuzeitlichen Mathematik.- 4. Präzisierungen des 19. Jahrhunderts.-
2. DEDEKINDsche Schnitte.- 1. Die Menge ? der Schnitte.- 2. Die Anordnung in ?.- 3. Die Addition in ?.- 4. Die Multiplikation in ?.-
3. Fundamentalfolgen.- 1. Historisches.- 2. Das CAUCHYsche Konvergenzkriterium.- 3. Der Ring der Fundamentalfolgen.- 4. Der Restklassenkörper F/N der Fundamentalfolgen modulo den Nullfolgen.- 5. Der vollständig geordnete Restklassenkörper F/N.-
4. Intervallschachtelungen.- 1. Historisches.- 2. Intervallschachtelungen und Vollständigkeit.-
5. Axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen.- 1. Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen im reellen Zahlkörper.- 2. Vollständigkeitssätze, 3. Einzigkeit und Existenz der reellen Zahlen.- Literatur.- 3. Komplexe Zahlen.-
1. Genesis der komplexen Zahlen.- 1. CARDANO (1501-1576).- 2. BOMBELLI (1526-1572).- 3. DESCARTES (1596-1650), NEWTON (1643-1727) und LEIBNIZ (1646-1716).- 4. EULER (1707-1783).- 5. WALLIS (1616-1703), WESSEL (1745-1818) und ARGAND (1768-1822).- 6. GAUSS (1777-1855).- 7. CAUCHY (1789-1857).- 8. HAMILTON (1805-1865).- 9. Ausblick.-
2. Der Körper ?.- 1. Definition durch reelle Zahlenpaare.- 2. Die imaginäre Einheit i.- 3. Geometrische Darstellung.- 4. Nichtanordbarkeit des Körpers ?.- 5. Darstellung durch reelle 2 × 2 Matrizen.-
3. Algebraische Eigenschaften des Körpers ?.- 1. Die Konjugierung ? ??, z?z?.- 2. Körperautomorphismen von ?.- 3. Das natürliche Skalarprodukt Re(wz?) und die euklidische Länge ?z?.- 4. Produktregel und "Zwei-Quadrate-Satz".- 5. Quadratwurzeln und quadratische Gleichungen.- 6. Quadratwurzeln und n-te Wurzeln.-
4. Geometrische Eigenschaften des Körpers ?.- 1. Die Identität ?w, z?2 + ?iw, z?2 = ?w?2 ?z?2.- 2. Cosinussatz und Dreiecksungleichung.- 3. Zahlen auf Geraden und Kreisen. Doppelverhältnis.- 4. Sehnenvierecke und Doppelverhältnis.- 5. Satz von PTOLEMÄUS.- 6. WALLACEsche Gerade.-
5. Die Gruppen O(?) und SO(2).- 1. Abstandstreue Abbildungen von ?.- 2. Die Gruppe O (?).- 3. Die Gruppe SO (2) und der Isomorphismus S1 ? SO(2).- 4. Rationale Parametrisierung eigentlich orthogonaler 2 × 2 Matrizen.-
6. Polarkoordinaten und n-te Wurzeln.- 1. Polarkoordinaten.- 2. Multiplikation komplexer Zahlen in Polarkoordinaten.- 3. MOIVREsche Formel.- 4. Einheitswurzeln.- 4. Fundamentalsatz der Algebra.-
1. Zur Geschichte des Fundamentalsatzes.- 1. GIRARD (1595-1632) und DESCARTES (1596-1650).- 2. LEIBNIZ (1646-1716).- 3. EULER (1707-1783).- 4. D'ALEMBERT (1717-1783).- 5. LAGRANGE (1736-1813) und Laplace (1749-1827).- 6. Die Kritik durch GAUSS.- 7. Die vier Beweise von GAUSS.- 8. ARGAND (1768-1822) und CAUCHY (1789-1857).- 9. Fundamentalsatz der Algebra: 0 für 0 < y < ? und die Gleichung $$e^{ifrac{pi} {2}}=i$$.- 6. Der Polarkoordinatenepimorphismus p: ? ? S1, 7. Die Zahl ? und Umfang und Inhalt eines Kreises.-
4. Klassische Formeln für ?.- 1. Die LEIBNIZsche Reihe für ?.- 2. Das VIETAsche Produkt für ?.- 3. Das EULERsche Sinusprodukt und das WALLIssche Produkt für ?.- 4. Die EULERschen Reihen für ?2,?4,....- 5. Die WEIERSTRASSsche Definition von ?.- 6. Irrationalität von ? und Kettenbruchentwicklung.- 7. Transzendenz von ?.- 6. Die p-adischen Zahlen.-
1. Zahlen als Funktionen.-
2. Die arithmetische Bedeutung der p-adischen Zahlen.-
3. Die analytische Natur der p-adischen Zahlen.-
4. Die p-adischen Zahlen.- Literatur.- B. Reelle Divisionsalgebren.- Repertorium. Grundbegriffe aus der Theorie der Algebren.- 1. Reelle Algebren.- 2. Beispiele reeller Algebren.- 3. Unteralgebren und Algebra-Homomorphismen.- 4. Bestimmung aller eindimensionalen Algebren.- 5. Divisionsalgebren.- 6. Konstruktion von Algebren mittels Basen.- 7. HAMILTOMsche Quaternionen.-
1. Die Quaternionenalgebra ?.- 1. Die Algebra ? der Quaternionen.- 2. Die Matrixalgebra ? und der Isomorphismus F: ? ? ?.- 3. Der Imaginärraum von ?.- 4. Quaternionenprodukt, Vektorprodukt und Skalarprodukt.- 5. Zur Nichtkommutativität von ?. Zentrum.- 6. Die Endomorphismen des ?-Vektorraumes ?.- 7. Quaternionenmultiplikation und Vektoranalysis.- 8. Fundamentalsatz der Algebra für Quaternionen.-
2. Die Algebra ? als euklidischer Vektorraum.- 1. Konjugierung und. Linearform Re.- 2. Eigenschaften des Skalarproduktes.- 3. Der "Vier-Quadrate-Satz".- 4. Konjugierungs- und Längentreue von Automorphismen.- 5. Die Gruppe S3 der Quaternionen der Länge 1.- 6. Die spezielle unitäre Gruppe SU(2) und der Isomorphismus S3 ? SU(2).-
3. Die orthogonalen Gruppen O(3), O(4) und die Quaternionen.- 1. Orthogonale Gruppen.- 2. Die Gruppe O(?). Satz von CAYLEY.- 3. Die Gruppe O(Im ?). Satz von HAMILTON.- 4. Die Epimorphismen S3?SO(3) und S3 × S3 ? SO(4).- 5. Drehachse und Drehwinkel.- 6. EULERsche Parameterdarstellung der SO(3).- 8. Isomorphiesätze von FROBENIUS, HOPF und GELFAND-MAZUR.-
1. HAMILTONsche Tripel in alternativen Algebren.- 1. Die rein-imaginären Elemente einer Algebra.- 2. HAMILTONsche Tripel.- 3. Existenz HAMILTONscher Tripel in alternativen Algebren.- 4. Alternative Algebren.-
2. Satz von FROBENIUS.- 1. Lemma von FROBENIUS.- 2. Beispiele quadratischer Algebren.- 3. Quaternionen-Lemma.- 4. Satz von FROBENIUS (1877).-
3. Satz von HOPF.- 1. Topologisierung reeller Algebren.- 2. Die Quadratabbildung A ? A, x?x2. HOPFsches Lemma.- 3. Satz von HOPF.- 4. Der ursprüngliche HOPFsche Beweis.- 5. Beschreibung aller 2-dimensionalen Algebren mit Einselement.-
4. Satz von GELFAND-MAZUR.- 1. BANACH-Algebren.- 2. Die binomische Reihe.- 3. Lokaler Umkehrsatz.- 4. Die multiplikative Gruppe A×.- 5. Satz von GELFAND-MAZUR.- 6. Struktur normierter assoziativer Divisionsalgebren.- 7. Das Spektrum.- 8. Historisches zum Satz von GELFAND-MAZUR.- 9. Ausblick.- 9: CAYLEY-Zahlen oder alternative Divisionsalgebren.-
1. Alternative quadratische Algebren.- 1. Quadratische Algebren.- 2. Satz über die Bilinearform.- 3. Satz über die Kon-jugierungsabbildung.- 4. Die Dreier-Identität.- 5. Der euklidische Vektorraum A und die orthogonale Gruppe O(A).-
2. Existenz und Eigenschaften der CAYLEY-Algebra O.- 1. Konstruktion der quadratischen Algebra O der Oktaven.- 2. Imaginärraum, Linearform, Bilinearform und Konjugierung von O.- 3. O als alternative Divisionsalgebra.- 4. "Acht-Quadrate-Satz".- 5. Die Gleichung O = ???p.- 6. Multiplikationstafel für O.-
3. Einzigkeit der CAYLEY-Algebra.- 1. Verdopplungssatz.- 2. Einzigkeit der CAYLEY-Algebra (ZORN 1933).- 3. Beschreibung von O durch ZoRNsche Vektormatrizen.- 10. Kompositionsalgebren. Satz von HURWITZ. Vektorprodukt-Algebren.-
1. Kompositionsalgebren.- 1. Historisches zur Kompositionstheorie.- 2. Beispiele.- 3. Kompositionsalgebren mit Einselement.- 4. Struktursatz für Kompositionsalgebren mit Einselement.-
2. Mutation von Kompositionsalgebren.- 1. Mutationen von Algebren.- 2. Mutationssatz für endlich-dimensionale Kompositionsalgebren.- 3. Satz von HURWITZ (1898).-
3. Vektorprodukt-Algebren.- 1. Der Begriff der Vektorprodukt-Algebra.- 2. Konstruktion von Vektorprodukt-Algebren.- 3. Beschreibung aller Vektorprodukt-Algebren.- 4*. MALCEV-Algebren.- 5. Historische Bemerkung.- 11. Divisionsalgebren und Topologie.-
1. Die Dimension einer Divisionsalgebra ist eine Potenz von 2.- 1. Ungerade Abbildungen und der Satz von HOPF.- 2. Homologie und Kohomo-logie mit Koeffizienten in F2.- 3. Beweis des Satzes von HOPF.- 4. Historische Bemerkungen zur Homologie- und Kohomologietheorie.- 5. Charakteristische Homologieklassen nach STIEFEL.-
2. Die Dimension einer Divisionsalgebra ist gleich 1, 2, 4 oder 8.- 1. Die mod 2-Invariante ?(f).- 2. Parallelisierbarkeit der Sphären und Divisionsalgebren.- 3. Vektorraumbündel.- 4. Charakteristische Kohomologieklassen nach WHITNEY.- 5. Der Ring der Vektorraumbündel.- 6. Die BoTTsche Periodizität.- 7. Charakteristische Klassen von direkten Summen und Tensorprodukten.- 8. Schluß des Beweises.- 9. Historische Anmerkungen.-
3. Ergänzungen.- 1. Definition der HOPFschen Invarianten.- 2. Die HoPFsche Konstruktion.- 3. Der Satz von ADAMS über die HoPFsche Invariante.- 4. Zusammenfassung.- 5. Der Satz von ADAMS über Vektorfelder auf Sphären.- Literatur.- C. Ausblicke.- 12. Non-Standard Analysis.-
1. Einführung.-
2. Der Non-Standard Zahlbereich *?.- 1. Konstruktion von *?.- 2. Eigenschaften von *?.-
3. Gemeinsamkeiten von ? und *?.-
4. Differential-und Integralrechnung.- 1. Differentiation.- 2. Integration.- Epilog.- Literatur.- 13. Zahlen und Spiele.-
1. Einleitung.- 1. Der traditionelle Aufbau der reellen Zahlen.- 2. Die CONWAYsche Methode.- 3. Übersicht.-
2. CONWAYspiele.- 1. Diskussion der DEDEKINDschen Postulate.- 2. CONWAYs Modifikation der DEDEKINDschen Postulate.- 3. CONWAYspiele.-
3. Spiele.- 1. Der Spielbegriff.- 2. Beispiele für Spiele.- 3. Ein Induktionsprinzip für Spiele.-
4. Zur Theorie der Spiele.- 1. Gewinnstrategien.- 2. Positive und negative Spiele.- 3. Eine Einteilung der Spiele. Gleichwertigkeit von Spielen.-
5. Eine halbgeordnete Gruppe äquivalenter Spiele.- 1. Das Negative eines Spiels.- 2. Die Summe zweier Spiele.- 3. Isomorphe Spiele.- 4. Eine Halbordnung der Spiele.- 5. Gleichheit von Spielen.-
6. Spiele und CONWAYspiele.- 1. Die grundlegenden Abbildungen.- 2. Übertragung der für Spiele definierten Relationen und Operationen auf CONWAYspiele.- 3. Beispiele.-
7. CONWAYzahlen.- 1. Die CONWAYschen Postulate (C1) und (C2).- 2. Elementare Eigenschaften der Ordnung.- 3. Beispiele.-
8. Der Körper der CONWAYzahlen.- 1. Die Rechenoperationen für Zahlen.- 2. Beispiele.- 3. Eigenschaften des Körpers der Zahlen.- Literatur.- 14. Mengenlehre und Mathematik.-
1. Mengen und die Objekte der Mathematik.- 1. Urelemente und höhere Objekte.- 2. Mengentheoretische Definition höherer Objekte.- 3. Urelemente als Mengen.-
2. Axiomensysteme der Mengenlehre.- 1. Die RUSSELLsche Antinomie.- 2. ZERMELOsche und ZERMELO-FRAENKELsche Mengenlehre.- 3. Einige Folgerungen.- 4. Mengenlehre mit Klassen.-
3. Einige metamathematische Aspekte.- 1. Die VON NEUMANNsche Hierarchie.- 2. Das Auswahlaxiom.- 3. Unabhängigkeitsbeweise.- Epilog.- Literatur.- Namenverzeichnis.- Porträts berühmter Mathematiker.

lt;p>Aus der Rezensionen:

"Das Lesen ist ein Genuß, den man sich nicht entgehen lassen sollte." (Jahresber. d. Deutschen Mathematiker-Vereinigung)

"Ein Mathematikbuch der Superlative, für Mathematiker (jeder Schattierung) und Nichtmathematiker (denen völlig unbekannte Dimensionen der Mathematik eröffnet werden - künstlerische, magische, historische, philosophische, wissenschaftstheoretische, "unlogische", phantasieerfüllte usw.). Der Aufbau ist meisterhaft, die Lektüre höchst anregend und leicht lesbar." (Monatshefte für Mathematik)

"Ein gelungenes Werk, das dem Vorurteil entgegenwirkt, Mathematik bestehe nur aus isolierten Theorien." (Die Neue Hochschule)