Funktionentheorie erkunden mit Maple

Prof. Dr. Wilhelm Forst, Universität Ulm, Institut für Numerische Mathematik

Prof. Dr. Dieter Hoffmann, Universität Konstanz, Fachbereich Mathematik und Statistik

Aus dem Inhalt:

• Die komplexen Zahlen
• Topologische Grundlagen
• Komplexe Differenzierbarkeit
• Kurven, Integralformel und Folgerungen
• Der globale Hauptsatz
• Laurent-Reihen, isolierte Singularitäten, Residuensatz
• Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen
• Die Gamma-Funktion
• Anhang zu Maple

"Die Kopplung mit Maple ist als gelungen anzusehen. Hiermit bekommt auch der Mathe-Interessent eine Erkenntnis von der Wichtigkeit bestimmter Funktionen in Bezug auf angewandte Mathematik, die z.B. für Ingenieure die Grundlage vieler Berechnungen darstellt. Sehr hilfreich sind auch die vielen grafischen Darstellungen, die sich teilweise sehr einfach mit CAS-Programmen, wie Maple oder Mathematica, erzeugen lassen." (La, in: Amazon.de, 22. August 2015)

"Das vorliegende Buch schließt eine Lücke im Lehrbuchangebot. Während es bereits einige Bücher gibt, die die Anfängervorlesungen unter Zuhilfenahme von Computeralgebrasystemen ... vermitteln, ist das Buch von Forst und Hoffmann meines Wissens das erste, bei welchem ein Computeralgebrasystem zur Darstellung der Funktionentheorie benutzt wird. ... Es lässt sich vorneweg sagen, dass die Einbindung von Maple im vorliegenden Text ausgezeichnet gelungen ist: Die Autoren benutzen Maple in eleganter Weise zur grafischen Darstellung komplexer Zahlen und Funktionen und zu vielem mehr. Dabei leidet keineswegs das übliche Curriculum. Die Autoren setzen nämlich ein zweigeteiltes Konzept um: Jedes Kapitel besteht aus einem konventionellen Teil, in welchem die funktionentheoretischen Sachverhalte mit ausführlichen Beweisen eingeführt werden, und einem zweiten Teil, in welchem Maple benutzt wird, um die besprochenen Themen zu erläutern und zu vertiefen. Auch wenn mir diese Trennung etwas zu starr erscheint, so ist doch das Gesamtergebni

. . . Die beiden Mathematiker Wilhelm FORST von der Universität Ulm und Dieter HOFFMANN von der Universität Konstanz betreten mit ihrem Lehrbuch didaktisches Neuland. Sie verknüpfen ihre Einführung in die Grundlagen der klassischen Funktionentheorie mit den Visualisierungs- und Berechnungsmöglichkeiten eines  modernen Computer-Algebrasystems. Der behandelte mathematische Stoff reicht von der Einführung komplexer Zahlen und komplexer Differenzierbarkeit über die Cauchysche Integralformel und Reihenentwicklungen bis zum Residuensatz. Anwendungen auf konforme Abbildungen und das Dirichletproblem sowie eine Diskussion der Gammafunktion runden das Stoffangebot ab. Die mathematische Theorie wird dabei in knapper und sehr übersichtlicher Form präsentiert. Jedem Kapitel folgt ein Abschnitt mit illustrativen Maple -Sessions, in welchem der Leser den vorangehenden Stoff vertiefen und mit Leben füllen kann. Der Einsatz mathematischer Software ermöglicht es dem Leser, sich einen üppigen Beispielvorrat zuzulegen. Dies dient nicht nur dem besseren Verständnis, es gestattet auch einen tieferen Einblick in die wirkliche Tragweite der behandelten mathematischen Sätze und Methoden, als dies die üblicherweise verwendeten von Hand zu bewältigenden Beispiele tun. Des weiteren schult die intensive Auseinandersetzung mit aufwendigen Beispielen den Blick für die Anwendbarkeit der vorgestellten mathematischen Theorie. Die Autoren besitzen den Mut, sich nicht hinter einer erdrückenden Fülle mathematischen Stoffes zu verschanzen. Vielmehr bietet die absichtlich überschaubar gehaltene Auswahl dem Einsteiger die erfreuliche Perspektive einer annehmbaren Herausforderung.Weiter besticht die mathematische Darstellung durch ihre Präzision. Die Maple-Sessions sind ein Genuß für jedermann; auch der erfahrene Anwender wird sich über den einen oder anderen programmiertechnischen Leckerbissen freuen. Fazit: Ein rundum gelungenes Lehrbuch, dessen Lektüre wärmstens empfohlen werden kann, insbesondere auch Studierenden der Physik und der Ingenieurwissenschaften.

REZENSIONEN ZUR 1. AUFLAGE:
"Das vorliegende Buch schließt eine Lücke im Lehrbuchangebot. Während es bereits einige Bücher gibt, die die Anfängervorlesungen unter Zuhilfenahme von Computeralgebrasystemen ... vermitteln, ist das Buch von Forst und Hoffmann meines Wissens das erste, bei welchem ein Computeralgebrasystem zur Darstellung der Funktionentheorie benutzt wird. ... Es lässt sich vorneweg sagen, dass die Einbindung von Maple im vorliegenden Text ausgezeichnet gelungen ist: Die Autoren benutzen Maple in eleganter Weise zur grafischen Darstellung komplexer Zahlen und Funktionen und zu vielem mehr. Dabei leidet keineswegs das übliche Curriculum. Die Autoren setzen nämlich ein zweigeteiltes Konzept um: Jedes Kapitel besteht aus einem konventionellen Teil, in welchem die funktionentheoretischen Sachverhalte mit ausführlichen Beweisen eingeführt werden, und einem zweiten Teil, in welchem Maple benutzt wird, um die besprochenen Themen zu erläutern und zu vertiefen. Auch wenn mir diese Trennung etwas zu starr erscheint, so ist doch das Gesamtergebnis sehr zufriedenstellend. ... Ich werde das Buch bei meiner nächsten Funktionentheorievorlesung einsetzen."
Computeralgebra-Rundbrief Nr. 32

. . . Die beiden Mathematiker Wilhelm FORST von der Universität Ulm und Dieter HOFFMANN von der Universität Konstanz betreten mit ihrem Lehrbuch didaktisches Neuland. Sie verknüpfen ihre Einführung in die Grundlagen der klassischen Funktionentheorie mit den Visualisierungs- und Berechnungsmöglichkeiten eines modernen Computer-Algebrasystems. Der behandelte mathematische Stoff reicht von der Einführung komplexer Zahlen und komplexer Differenzierbarkeit über die Cauchysche Integralformel und Reihenentwicklungen bis zum Residuensatz. Anwendungen auf konforme Abbildungen und das Dirichletproblem sowie eine Diskussion derGammafunktion runden das Stoffangebot ab. Die mathematische Theorie wird dabei in knapper und sehr übersichtlicher Form präsentiert. Jedem Kapitel folgt ein Abschnitt mit illustrativen Maple -Sessions, in welchem der Leser den vorangehenden Stoff vertiefen und mit Leben füllen kann. Der Einsatz mathematischer Software ermöglicht es dem Leser, sich einen üppigen Beispielvorrat zuzulegen. Dies dient nicht nur dem besseren Verständnis, es gestattet auch einen tieferen Einblick in die wirkliche Tragweite der behandelten mathematischen Sätze und Methoden, als dies die üblicherweise verwendeten von Hand zu bewältigenden Beispiele tun. Des weiteren schult die intensive Auseinandersetzung mit aufwendigen Beispielen den Blick für die Anwendbarkeit der vorgestellten mathematischen Theorie. Die Autoren besitzen den Mut, sich nicht hinter einer erdrückenden Fülle mathematischen Stoffes zu verschanzen. Vielmehr bietet die absichtlich überschaubar gehaltene Auswahl dem Einsteiger die erfreuliche Perspektive einer annehmbaren Herausforderung.Weiter besticht die mathematische Darstellung durch ihre Präzision. Die Maple-Sessions sind ein Genuß für jedermann; auch der erfahrene Anwender wird sich über den einen oder anderen programmiertechnischen Leckerbissen freuen. Fazit: Ein rundum gelungenes Lehrbuch, dessen Lektüre wärmstens empfohlen werden kann, insbesondere auch Studierenden der Physik und der Ingenieurwissenschaften.
Jürgen HAUSEN (Oktober 2002)