Tensoranalysis (eBook)

Vorwort 5
Vorwort der ersten Auflage 6
Inhalt 9
Kapitel 1: Algebraische Hilfsmittel 17
1.1 Die Summationskonvention 17
1.2 N-tupel 21
1.2.1 Definitionen 21
1.2.2 Rechenoperationen 22
1.2.3 Lineare Unabhängigkeit 22
1.3 Determinanten 23
1.3.1 Definitionen 24
1.3.2 Berechnung von Determinanten 25
1.3.3 Rechnen mit Determinanten 27
1.4 Kronecker-Symbole 28
1.4.1 dij 28
1.4.2 d 30
1.4.3 ei... 31
1.4.4 Darstellung einer Determinante mit ei... 34
1.4.5 ei 39
1.5 Matrizen 40
1.5.1 Definitionen 40
1.5.2 Rechenoperationen und einfache Folgerungen 42
1.5.3 Gleichungen zwischen Matrizen und Gleichungen zwischen Matrixelementen 47
1.5.4 Elementare Umformungen, Normalform, äquivalente Matrizen, ähnliche Matrizen 47
1.5.5 Orthogonale Matrizen 49
1.6 Algorithmen 50
1.6.1 Berechnung einer Determinante 50
1.6.2 Lösung eindeutiger linearer Gleichungssysteme mit der gleichen Koeffizientenmatrix („Division durch eine reguläre Matrix“, gaußscher Algorithmus) 51
1.6.3 Bestimmung des Ranges einer Matrix oder Determinante 52
Kapitel 2: Tensoranalysis in symbolischer Schreibweise und in kartesischen Koordinaten 53
2.1 Kartesische Koordinaten, Punkte, Ortsvektoren 53
2.1.1 Ortsvektoren und Punktkoordinaten 53
2.1.2 Die Transformation kartesischer Koordinatensysteme 54
2.1.3 Eigenschaften der Transformationskoeffizienten 55
2.1.4 Das Transformationsgesetz für Basisvektoren 57
2.1.5 Das Transformationsgesetz für Punktkoordinaten 57
2.2 Vektoren 58
2.2.1 Vektoren, Vektorkomponenten und Vektorkoordinaten 58
2.2.2 Das Transformationsgesetz für Vektorkoordinaten 59
2.3 Tensoren 63
2.3.1 Tensoren zweiter Stufe 63
2.3.2 Tensoren beliebiger Stufe 67
2.3.3 Symmetrien in der Physik 69
2.4 Symbolische Schreibweise, Koordinaten- und Matrizenschreibweise 70
2.5 Gleichheit, Addition und Subtraktion von Tensoren. Multiplikation von Tensoren mit einem Skalar. Lineare Unabhängigkeit 71
2.6 Transponierte, isomere, symmetrische und antimetrische Tensoren 73
2.7 Die tensorielle Multiplikation von Tensoren 75
2.7.1 Definition 75
2.7.2 Eigenschaften 76
2.7.3 Tensoren, Tensorkomponenten und Tensorkoordinaten 80
2.7.4 Tensorgleichungen, Transformationsgleichungen und Darstellungsgleichungen 81
2.8 d-Tensor, e-Tensor, isotrope Tensoren 82
2.8.1 Der d-Tensor 82
2.8.2 Der e-Tensor 82
2.8.3 Isotrope Tensoren 84
2.9 Die skalare Multiplikation von Tensoren 84
2.9.1 Definition 84
2.9.2 Eigenschaften 85
2.9.3 Überschiebung, Verjüngung, Spur 91
2.9.4 Mehrfache skalare Produkte 92
2.10 Die vektorielle Multiplikation von Tensoren 94
2.10.1 Definition 94
2.10.2 Eigenschaften 98
2.10.3 Das Spatprodukt 99
2.11 Übersicht über die tensoralgebraischen Operationen 100
2.12 Differentialoperationen 101
2.12.1 Der Fundamentalsatz der Tensoranalysis 102
2.12.2 Der Gradient 102
2.12.3 Das (vollständige) Differential 105
2.12.4 Die Divergenz 107
2.12.5 Die Rotation 109
2.12.6 Der Laplace-Operator 111
2.13 Indexbilanz und Strichbilanz 112
2.14 Integrale von Tensorfeldern 112
2.14.1 Kurvenintegrale von Tensorkoordinaten 113
2.14.2 Normalenvektor und Flächenvektor eines Flächenelements 115
2.14.3 Flächenintegrale von Tensorkoordinaten 118
2.14.4 Volumenintegrale von Tensorkoordinaten 122
2.14.5 Integrale von Tensorfeldern höherer Stufe 123
2.15 Gaußscher und stokesscher Satz 125
2.15.1 Der gaußsche Satz 125
2.15.2 Der stokessche Satz 129
Kapitel 3: Algebra von Tensoren zweiter Stufe 135
3.1 Die additive Zerlegung eines Tensors 135
3.2 Die Determinante eines Tensors 137
3.3 Der Vektor eines antimetrischen Tensors 138
3.4 Der Kotensor eines Tensors 139
3.5 Der Rang eines Tensors 140
3.6 Der inverse Tensor 140
3.7 Orthogonale Tensoren 142
3.8 Der Tensor als lineare Vektorfunktion 143
3.8.1 Rang 3 144
3.8.2 Rang 2 145
3.8.3 Rang 1 147
3.8.4 Rang 0 148
3.9 Reziproke Basen 148
3.9.1 Definition 148
3.9.2 Orthogonalitätsrelationen 149
3.9.3 Orthogonale und orthonormierte Basen 150
3.9.4 Reziproke Basen in der Ebene 151
3.10 Darstellung eines Tensors durch Vektoren 152
3.10.1 Rang 3 152
3.10.2 Rang 2 155
3.10.3 Rang 1 156
3.11 Eigenwerte und Eigenrichtungen. Die charakteristische Gleichung 158
3.11.1 Eigenwerte und Eigenrichtungen 158
3.11.2 Charakteristische Gleichung und Hauptinvarianten 159
3.11.3 Klassifikation von Tensoren nach der Art ihrer Eigenwerte, Sätze über Eigenwerte 161
3.11.4 Sätze über Eigenvektoren 164
3.11.5 Eigenwerte und Eigenvektoren quadratischer Matrizen 170
3.12 Symmetrische Tensoren 174
3.12.1 Die Hauptachsentransformation 174
3.12.2 Eigenwerte und Rang des Tensors 178
3.12.3 Eigenwerte und Definitheit des Tensors 179
3.12.4 Symmetrische quadratische Matrizen 180
3.13 Orthogonale polare Tensoren 184
3.13.1 Die Drehung in der Ebene 184
3.13.2 Transformation auf eine Eigenrichtung 184
3.13.3 Der orthogonale Tensor als Funktion von Drehachse bzw. Spiegelungsachse und Drehwinkel 188
3.13.4 Drehung und Koordinatentransformation 193
3.14 Potenzen von Tensoren. Die Cayley-Hamilton-Gleichung 194
3.14.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 194
3.14.2 Potenzen mit reellen Exponenten 196
3.14.3 Die Cayley-Hamilton-Gleichung 198
3.15 Grundinvarianten 199
3.16 Die polare Zerlegung eines Tensors 201
Kapitel 4: Tensoranalysis in krummlinigen Koordinaten 207
4.1 Krummlinige Koordinaten 207
4.1.1 Krummlinige Koordinatensysteme 207
4.1.2 Koordinatenflächen und Koordinatenlinien 209
4.1.3 Holonome Basen 210
4.1.4 Geradlinige und kartesische Koordinatensysteme 213
4.1.5 Orthogonale Koordinatensysteme 215
4.2 Holonome Tensorkoordinaten 215
4.2.1 Allgemeines 215
4.2.2 Transformationen zwischen zwei krummlinigen Koordinatensystemen 218
4.2.3 Die Summationskonvention 221
4.2.4 Der d-Tensor 222
4.2.5 Herauf- und Herunterziehen von Indizes 226
4.2.6 Der e-Tensor 227
4.2.7 Isotrope Tensoren 231
4.2.8 Tensoralgebra in holonomen Koordinaten 231
4.3 Physikalische Basen und Tensorkoordinaten 237
4.4 Differentialoperationen 239
4.4.1 Partielle Ableitung und Differential des Ortsvektors 240
4.4.2 Partielle Ableitung und vollständiges Differential der holonomen Basen, Christoffel-Symbole 241
4.4.3 Christoffel-Symbole und Metrikkoeffizienten 242
4.4.4 Die partielle Ableitung von Tensoren. Die partielle und die ko-variante Ableitung von Tensorkoordinaten 243
4.4.5 Das vollständige Differential von Tensoren. Das vollständige und das absolute Differential von Tensorkoordinaten 245
4.4.6 Ableitungen nach einem Parameter 247
4.4.7 Der Gradient 247
4.4.8 Divergenz und Rotation 249
4.4.9 Physikalische Koordinaten von Differentialoperationen 250
4.4.10 Die zweite kovariante Ableitung einer Tensorkoordinate. Der Laplace-Operator 253
4.4.11 Integrale von Tensorfeldern 255
Kapitel 5: Darstellungstheorie 261
5.1 Der Grundgedanke der Darstellungstheorie 261
5.2 Die verallgemeinerte Cayley-Hamilton-Gleichung 263
5.3 Invarianten von Vektoren und Tensoren zweiter Stufe 265
5.3.1 Invarianten von Vektoren 266
5.3.2 Invarianten eines Tensors zweiter Stufe 267
5.3.3 Simultaninvarianten von Tensoren zweiter Stufe und Vektoren 273
5.3.4 Zusammenfassung 277
5.4 Isotrope Tensorfunktionen 278
5.4.1 Invarianzbedingungen 278
5.4.2 Skalarwertige Funktionen 280
5.4.3 Vektorwertige Funktionen 280
5.4.4 Tensorwertige Funktionen 283
5.4.5 Zusammenfassung 286
5.5 Berücksichtigung von Anisotropien 287
Kapitel 6: Der Vektorraum 293
6.1 Einfache algebraische Systeme 293
6.1.1 Die Halbgruppe 293
6.1.2 Die Gruppe 295
6.1.3 Der Ring 298
6.1.4 Der Körper 300
6.2 Der (affine) Vektorraum 302
6.2.1 Vektorraum, Nullvektor, Subtraktion 302
6.2.2 Lineare Operationen, lineare Kombination, lineare Unabhängigkeit 306
6.2.3 Basis und Dimension 306
6.2.4 Koordinaten 310
6.2.5 Transformationsgleichungen 311
6.3 Abbildungen 312
6.3.1 Allgemeine Abbildungen 312
6.3.2 Lineare Abbildungen 313
6.3.3 Tabellarische Zusammenfassung 320
6.4 Dualität 321
6.4.1 Der Dualraum 321
6.4.2 Die natürliche skalare Multiplikation 322
6.4.3 Duale Basen 324
6.4.4 Transformationsgleichungen 325
6.5 Der (affine) Tensorraum 327
6.5.1 Die tensorielle Multiplikation 327
6.5.2 Affine Tensorräume und Tensoren 328
6.5.3 Transformationsgleichungen 329
6.6 Der euklidische Vektorraum 331
6.6.1 Die skalare Multiplikation 331
6.6.2 Die Metrik 333
6.6.3 Dualität 336
6.7 Der Punktraum 339
6.7.1 Der affine (Punkt-)Raum 339
6.7.2 Der euklidische (Punkt-)Raum 341
Literatur 343
Anhang A: Lösungen der Aufgaben 345
Anhang B: Zylinder- und Kugelkoordinaten 407
Sachwortregister 423