Mathematik in den Life Sciences

Prof. Dr. Gerhard Keller lehrt Mathematik an der Universität Erlangen-Nürnberg.

1 Einführung 11
1.1 Warum Mathematik? 11
1.2 Vorbereitende und ergänzende Literatur 13
2 Mathematische Grundbegriffe 15
2.1 Zahlen 15
2.2 Rechenregeln 16
2.3 Zahlen als Messergebnisse 17
2.3.1 Messgenauigkeit, Runden 17
2.3.2 Maßeinheiten 18
2.3.3 Mol und Molekulargewicht 18
2.4 Vektoren, Matrizen 19
2.5 Matrizenmultiplikation 21
2.6 Zahlenfolgen 22
2.7 Funktionen 23
2.8 Bemerkungen zum Rechnen mit Logarithmen 25
2.9 Fragen und Aufgaben 25
3 Differenzieren, Ableitung 27
3.1 Ableitung von Funktionen einer Variablen 27
3.2 Ableitungsregeln 29
3.3 Integral und Stammfunktion 32
3.4 Partielle Ableitungen 33
3.5 Fragen und Aufgaben 34
4 Grafische Darstellung von Daten und beschreibende Statistik 35
4.1 Datenvektoren und Datenmatrizen 35
4.2 Beschreibende Statistik – Grundbegriffe 37
4.3 Eindimensionale Stichproben 38
4.3.1 Nominale Merkmale 38
4.3.2 Metrische Merkmale 39
4.3.3 Statistische Kennzahlen 41
4.4 Zweidimensionale Stichproben 43
4.5 Lineare Regression 45
4.6 Allometrie 48
4.7 Fragen und Aufgaben 51
5 Wachstumsmodelle: unbeschränktes Wachstum 53
5.1 Lineares Wachstum 53
5.2 Exponentielles Wachstum – diskrete Zeit 54
5.2.1 Modellwahl 58
5.2.2 Quadratische Abweichung 59
5.3 Exponentielles Wachstum – stetige Zeit 60
5.3.1 Von diskreter zu stetiger Zeit 60
5.3.2 Die Differenzialgleichung für exponentielles Wachstum in stetiger Zeit 61
5.3.3 Kommentar aus der Sicht der Mathematik 62
5.3.4 Lineare Regression bei exponentiellem Wachstum 63
5.3.5 Zusammenfassung zum exponentiellen Wachstum: 64
5.3.6 Exponentielles Aussterben 64
5.3.7 Verdopplungszeit, Halbwertzeit 65
5.4 Fragen und Aufgaben 66
6 Wachstumsmodelle: beschränktes Wachstum 67
6.1 Logistisches Wachstum 67
6.1.1 Ein paar grundsätzliche Bemerkungen zum Begriff
der Differenzialgleichung 71
6.1.2 Bemerkungen zum numerischen Lösen einer Differenzialgleichung 72
6.1.3 Anpassung des logistischen Modells an Daten 73
6.1.4 Ein Residuenplot 74
6.2 Stabilisierung bei konstantem Zu?uss und exponentiellem Abbau 75
6.3 Variationen zum logistischen Wachstum 76
6.3.1 Ein logistisches Modell mit „Bejagung“ 76
6.3.2 Ein Modell mit zwei stabilen Gleichgewichten 79
6.4 Zeitverzögerungen 80
6.5 Zwei Modelle der chemischen Reaktionskinetik 81
6.6 Fragen und Aufgaben 85
7 Modelle der Populationsgenetik 87
7.1 Das Hardy-Weinberg-Modell 87
7.2 Inzucht 91
7.3 Selektion 92
7.4 Fragen und Aufgaben 97
8 Wachstumsmodelle: zwei Populationen 98
8.1 Das Räuber-Beute-Modell von Lotka und Volterra 98
8.2 Ein einfaches Epidemiemodell 103
8.3 Fragen und Aufgaben 105
9 Wahrscheinlichkeitsrechnung 106
9.1 Zufallsvariablen 106
9.1.1 Diskrete Zufallsvariablen 107
9.1.2 Kontinuierliche Zufallsvariablen 108
9.2 Unabhängigkeit diskreter Zufallsvariablen 109
9.2.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit 110
9.2.2 Die Binomialverteilung 110
9.3 Unabhängigkeit kontinuierlicher Zufallsvariablen 112
9.4 Histogramm unabhängiger Beobachtungen 112
9.5 Erwartungswert und Varianz 113
9.5.1 Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsvariablen 113
9.5.2 Erwartungswert und Varianz kontinuierlicher Zufallsvariablen 115
9.6 Normal-und Poisson-Approximation der Binomialverteilung 116
9.6.1 Verteilungsfunktionen binomialverteilter Zufallsvariablen 116
9.6.2 Normalapproximation der Binomialverteilung 117
9.6.3 Poisson-Approximation der Binomialverteilung 118
9.7 Fragen und Aufgaben 119
10 Beurteilende Statistik: Testen 120
10.1 Der Binomialtest 120
10.1.1 Formulierung des Testproblems 120
10.1.2 Durchführung des Tests 121
10.1.3 Unabhängigkeit der Beobachtungen 122
10.2 Chi-Quadrat-Tests 123
10.3 Fragen und Aufgaben 129
11 Beurteilende Statistik: Schätzen 131
11.1 Schätzen von Erfolgswahrscheinlichkeiten 131
11.2 Kon?denzintervall für den Erwartungswert 134
11.2.1 Kon?denzintervall bei normalverteilten Beobachtungen 135
11.2.2 Der Ein-Stichproben-t-Test 136
11.3 Fragen und Aufgaben 137
12 Beurteilende Statistik: Korrelation und Regression 138
12.1 Ist der Korrelationskoef?zient signi?kant von Null verschieden? 138
12.2 Die statistische Beurteilung der geschätzten Regressionskoef?zienten 140
12.3 Vorsicht bei linearer Regression 142
12.4 Fragen und Aufgaben 142
13 Einführung in das Sequenz-Alignment 143
13.1 Scoring-Modelle zur Bewertung von Alignments 143
13.1.1 Scoring bei DNA-Alignments 143
13.1.2 Scoring bei Proteinsequenz-Alignments 144
13.2 Scores und Wahrscheinlichkeiten 146
13.3 Der Needleman-Wunsch-Algorithmus 148
13.3.1 Die Grundidee des Needleman-Wunsch-Algorithmus 149
13.3.2 Eine Realisierung des Needleman-Wunsch-Algorithmus
für den Vergleich zweier DNA-Sequenzen in R 151
13.3.3 Beispiele zum Needleman-Wunsch-Algorithmus 152
13.3.4 Der Smith-Waterman-Algorithmus 153
13.4 Clustering 154
13.5 Fragen und Aufgaben 156
R Einführung in R 157
R1 Erste Schritte 158
R1.1 R als Taschenrechner 158
R1.2 Eine erste Gra?k 161
R2 Grundlegende Begriffe 162
R2.1 Variablen 162
R2.2 Folgen 163
R2.3 Die erzeugten Objekte 165
R3 Funktionen, Nullstellen, Maxima, Minima, R-Hilfe 166
R3.1 Funktionen 166
R3.2 Funktionsgraphen 167
R3.3 Hilfe in der Dokumentation 168
R3.4 Nullstellen, Maxima und Minima 169
R4 Funktionen mehrerer Variablen, der Workspace von R 171
R4.1 Funktionen mehrerer Variablen 171
R4.2 Wie funktioniert R im Hintergrund? 172
R5 Vektoren, Matrizen, der Dateneditor 174
R5.1 Vektoren 174
R5.2 Matrizen 176
R6 Matrizenmultiplikation, Dotplots 180
R6.1 Matrizenmultiplikation 180
R6.2 Der Befehl outer() 182
R6.3 Eine Vergleichstabelle für Sequenzvergleiche und ein Dotplot 183
R7 Datensätze, R Commander, beschreibende Statistik 185
R7.1 Der R Commander 185
R7.2 Datensätze 186
R7.3 Speichern von Programmen und Objekten 189
R7.4 Lineare Regression und Korrelation 190
R8 Datenim-und -export, Gra?kexport 193
R8.1 Erstellen und Einlesen eigener Datensätze 193
R8.2 Gra?k-Export 195
R9 Exponentielles Wachstum und Abklingen 197
R9.1 Zinseszins mit R als Taschenrechner 197
R9.2 Exponentielles Wachstum – US-Bevölkerungsdaten 197
R9.3 Exponentieller Abbau – Medikamentenabbau im Körper 198
R10 Nichtlineare Regression 200
R10.1 Logistisches Wachstum – US-Bevölkerungsdaten 201
R10.2 Biexponentielles Abklingen 201
R10.3 Michaelis-Menten-Funktion 202
R11 Binomial-, Normal-und Poisson-Verteilung 203
R11.1 Die Binomialverteilung 203
R11.2 Die Normalverteilung 204
R11.3 Die Poisson-Verteilung 205
R11.4 Plotten von Dichten und Verteilungsfunktionen 205
R12 Binomialtest und Chi-Quadrat-Tests 206
R12.1 Die Binomialverteilung und der Binomialtest 206
R12.2 _x²-Tests 208
R13 Schätzen und Testen bei normalverteilten Beobachtungen 209
R13.1 Kon?denzintervalle bei normalverteilten Beobachtungen 209
R13.2 Ein-Stichproben-t-Test 211
R13.3 Zwei-Stichproben-t-Test – verbundene Strichproben 212
R13.4 Statistik zur linearen Regression 213
R14 Sequence Alignment 214
R14.1 Die Datenbank Genbank 214
R14.2 Die Bereitstellung von Sequenzen für R 215
R14.3 Needleman-Wunsch-Algorithmus für Protein-Sequenzen 216
R14.4 Gleichzeitiger Vergleich mehrerer Sequenzen 217
Verzeichnisse 219
R-Codes zu ausgewählten Abbildungen 219
Literatur 225
Sachregister 227
Index der R-Befehle 231

Aus: ekz-Informationsdienst, Kastendieck, 2011/ KW 28
Die Mathematik stellt auch den Lebenswissenschaften zahlreiche nützliche Werkzeuge zur Verfügung. Mithin sind auch in dahingehenden Studiengängen Veranstaltungen zur Mathematik Bestandteil des Curriculums. Das aus Erfahrungen mit einer einführendenMathematik- und Statistikvorlesung für Bachelorstudierende der Biologie und der IntegratedLife Sciences entstandene Werk vermittelt nun anschaulich und problemorientiert einigewichtige Grundlagen vornehmlich der Modellbildung und Statistik und liefert zugleich eineEinführung in die freie Statistiksoftware R. Dabei werden nur Kenntnisse der Schulmathematik der Sekundarstufe II vorausgesetzt. Zahlreiche Beispiele und Abbildungenverdeutlichen Sachverhalte und liefern Anwendungsbezüge, Aufgaben mitsamt Lösungenermöglichen eine aktive Erarbeitung des Stoffes. (Eine mathematisch hinreichend präzise undausreichend umfassende Ausarbeitung der Themen erfolgt allerdings nicht, vieles wird nurabrissartig dargestellt. Als einführendes und einen Überblick bietendes Werk für diegenannte Zielgruppe brauchbar, für ein tiefer gehendes Studium allerdings ungeeignet.)