Analysis 1

1. Die reellen Zahlen.-
1 Mengen.-
2 Funktionen.-
3 Die reellen Zahlen.- Zusammenfassung.- 2. Vollständige Induktion.-
1 Beweis durch vollständige Induktion.-
2 Rekursive Definitionen.-
3 n-te Potenz und n-te Wurzel.- Zusammenfassung.- 3. Die komplexen zahlen.-
1 Definition und Veranschaulichung.-
2 Der Körper ? der komplexen Zahlen.-
3 Realteil, Imaginärteil, Betrag.-
4 Die Polarform.-
5 n-te Wurzeln einer komplexen Zahl.- Zusammenfassung.- 4. Reelle und komplexe Funktionen.-
1 Definition der reellen Funktionen und Beispiele.-
2 Monotone Funktionen.-
3 Beispiele aus der Wechselstrom-lehre.-
4 Rechnen mit reellen Funktionen.-
5 Polynome.-
6 Komplexe Funktionen.- Zusammenfassung.- 5. Das Supremum.-
1 Schranken, Maximum, Minimum, Supremum, Infimum.-
2 Das Supremumsaxiom.-
3 Eigenschaften von Supremum und Infimum.-
4 Supremum und Maximum bei Funktionen.-
5 Dual-, Dezimal-und Hexadezimal-zahlen.- Zusammenfassung.- 6. Folgen.-
1 Definition.-
2 Monotonie und Beschrànktheit.-
3 Konvergenz und Divergenz.-
4 Komplexe Folgen.- Zusammenfassung.- 7. Einführung in die Integralrechnung.-
1 Beispiele.-
2 Obersumme und Untersurame.-
3 Die Definition des Integrals.-
4 Das Riemannsche Integrabilitäts-kriterium.-
5 Integral als Grenzwert einer Folge.-
6 Numerische Integration.-
7 Eigenschaften des Integrals.- Zusammenfassung.- 8. Reihen.- (Zenon's Paradoxon).-
1 Beispiele.-
2 Konvergente Reihen.-
3 Konvergenzkriterien.-
4 Absolut konvergente Reihen.- Zusammenfassung.- 9. Potenzreihen und spezielle Funktionen.-
1 Potenzreihen.-
2 Exponentialfunktion.-
3 Sinus und Cosinus.-
4 Hyperbelfunktionen.- Zusammenfassung.- 10. Stetige Funktionen.-
1 Stetigkeit.-
2 Anwendung auf spezielle Funktionen.-
3 Die ?-?-Definition der Stetigkeit und die Lipschitz-Stegigkeit.-
4 Stetigkeit und Integration.- Zusammenfassung.- 11. Differentialrechnung.-
1 Lineare Approximation.-
2 Definition der Differenzierbarkeit.-
3 Differenzierbare Funktionen.-
4 Rechenregeln für differenzierbare Funktionen.-
5 Die Ableitung komplexer Funktionen.-
6 Höhere Ableitungen.-
7 Beispiele von Differential-gleichungen und Lösungen.-
8 Der erste Mittelwertsatz.-
9 Die Regeln von de L'Hôpital.- Zusammenfassung.- 12. Integralrechnung-Integrationstechnik.-
1 Der Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung.-
2 Die Stammfunktion.-
3 Eine andere Formulierung des HauptSät6zes.-
4 Integration zur Lösung einfachster Differentialgleichungen.-
5 Das unbestimmte Integral.-
6 Die Integration komplexer Funktionen.-
7 Integrationsmethoden.-
8 Separable Differentialgleichungen.-
9 Integration rationaler Funktionen.- Zusammenfassung.- 13. Uneigentliche Integrale.-
1 Unbeschränktes Integrationsintervall.-
2 Unbeschränkter Integrand.-
3 Die Gammafunktion.-
4 Die Laplace-Transformation.- Zusammenfassung.- 14. Taylorpolynome und Taylorreihen.-
1 Approximation durch Polynome.-
2 Restglied.-
3 Taylorreihen.- Zusammenfassung.- Lösungen der Aufgaben.