GAMMA

Prof. Julian Havil, University of Winchester, United Kingdom

Inhaltsverzeichnis

Vorwort
Vorwort des Übersetzers
Danksagungen
Einleitung

1 Die logarithmische Wiege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 Ein mathematischer Albtraum – und ein Erwachen . . . . . . . . . 7

1.2 Des Barons wunderbarer Kanon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Ein Hauch Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Ein Hauch Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5 Weitere Ideen Napiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Die harmonische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1 Das Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Eine erzeugende Funktion für Hn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Drei überraschende Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Subharmonische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1 Ein gemächlicher Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Harmonische Primzahlreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Die Kempnerreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4 Die Madelungschen Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Zeta-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1 Mit einer positiven ganzen Zahl n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Mit einer reellen Zahl x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3 Zwei abschließende Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5 Der Geburtsort von Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1 Ankunft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Niederkunft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6 Die Gamma-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.1 Exotische Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2 . . . weitere sinnvolle Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.3 Gamma trifft Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.4 Komplement und Schönheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7 Eulers wunderbare Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.1 Die Formel, auf die es ankommt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.2 . . . und ein Hinweis auf ihre Nützlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8 Ein erfülltes Versprechen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9 Was ist Gamma . . . exakt? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.1 Gamma existiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.2 Gamma ist . . . was für eine Zahl? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.3 Eine überraschend gute Verbesserung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.4 Der Ursprung einer großen Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

10 Gamma als Dezimalbruch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

10.1 Die Bernoullischen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

10.2 Die Euler–Maclaurinsche Summenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

10.3 Zwei Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

10.4 Die Implikationen für Gamma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

11 Gamma als rationaler Bruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

11.1 Ein Rätsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

11.2 Ein Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

11.3 Eine Antwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

11.4 Drei Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

11.5 Irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

11.6 Lösungen der Pellschen Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

11.7 Lückenfüller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

11.8 Die harmonische Alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

12 Wo ist Gamma? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

12.1 Nochmals zur alternierenden harmonischen Reihe . . . . . . . . . . . 119

12.2 In der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

12.3 In der Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

12.4 Bei Vermutungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

12.5 Bei Verallgemeinerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

13 Die Welt ist harmonisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

13.1 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

13.2 Geometrische Harmonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

13.3 Musikalische Harmonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

13.4 Rekorde und Aufzeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

13.5 Zerstörungsprüfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

13.6 Durchqueren der Wüste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

13.7 Kartenmischen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

13.8 Quicksort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

13.9 Sammeln einer vollständigen Menge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

13.10 Eine Putnam-Preis-Frage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

13.11 Maximal möglicher Überhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

13.12 Wurm auf einem Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

13.13 Optimale Auswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

14 Die Welt ist logarithmisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

14.1 Ein Maß für die Unsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

14.2 Das Benfordsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

14.3 Kettenbruchverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

15 Probleme mit Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

15.1 Einige schwierige Fragen zu Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

15.2 Ein bescheidener Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

15.3 Eine Art Antwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

15.4 Veranschauliche das Problem! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

15.5 Das Sieb des Eratosthenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

15.6 Heuristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

15.7 Ein Brief . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

15.8 Die harmonische Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

15.9 Verschieden – und doch gleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

15.10 Es sind wirklich nur zwei Fragen und nicht drei . . . . . . . . . . . . 210

15.11 Tschebyschew ist mit guten Einfällen zur Stelle . . . . . . . . . . . . 211

15.12 Riemann tritt ein, Beweise folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

16 Die Riemannsche Initiative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

16.1 Zählen der Primzahlen mit Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

16.2 Ein neues mathematisches Werkzeug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

16.3 Analytische Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

16.4 Riemanns Verallgemeinerung der Zeta-Funktion . . . . . . . . . . . . 223

16.5 Eine Funktionalgleichung für Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

16.6 Die Nullstellen von Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

16.7 Die Berechnung von ¦(x) und ¼(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

16.8 Irreführende Spuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

16.9 Von Mangoldts explizite Formel und der Primzahlsatz . . . . . . . 231

16.10 Die Riemannsche Vermutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

16.11 Warum ist die Riemannsche Vermutung wichtig? . . . . . . . . . . . 236

16.12 Reelle Alternativen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

16.13 Ein indirekter Weg zur Unsterblichkeit – teilweise verschlossen239

16.14 Ansporn – damals und heute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

16.15 Fortschritte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

A Das griechische Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

B Die Größenordnung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

C Taylorentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

C.1 Grad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

C.2 Grad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

C.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

C.4 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

D Funktionentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

D.1 Komplexe Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

D.2 Die Weierstraßsche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

D.3 Komplexe Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

D.4 Komplexe Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

D.5 Eine nützliche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

D.6 Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

D.7 Ein folgenreiches Ergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

D.8 Eine erstaunliche Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

D.9 Taylorreihen – und eine wichtige Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . 275

D.10 Laurentreihen – und eine weitere wichtige Folgerung . . . . . . . . 278

D.11 Residuenkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

D.12 Analytische Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

E Anwendung auf die Zeta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

E.1 Analytische Fortsetzung von Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

E.2 Funktionalgleichung für Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Namensverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303