GAMMA

Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung

(Autor)

Buch | Hardcover
XVI, 307 Seiten
2007 | 1., 2007
Springer Berlin (Verlag)
978-3-540-48495-0 (ISBN)

Lese- und Medienproben

GAMMA - Julian Havil
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Jeder kennt p = 3,14159…, viele kennen e = 2,71828…, einige i. Aber was ist mit g = 0,5772156…? Fettfinger in Wörterbüchern, elende mathematische Würmer, Jeeps in der Wüste. Besser kann man nicht über Mathematik schreiben. Der "Havil" ist spektakulär...

Jeder kennt p = 3,14159…, viele kennen e = 2,71828…, einige i. Und dann? Die "viertwichtigste" Konstante ist die Eulersche Zahl g = 0,5772156… - benannt nach dem genialen Leonhard Euler (1707-1783). Bis heute ist unbekannt, ob g eine rationale Zahl ist. Das Buch lotet die "obskure" Konstante aus. Die Reise beginnt mit Logarithmen und der harmonischen Reihe. Es folgen Zeta-Funktionen und Eulers wunderbare Identität, Bernoulli-Zahlen, Madelungsche Konstanten, Fettfinger in Wörterbüchern, elende mathematische Würmer und Jeeps in der Wüste. Besser kann man nicht über Mathematik schreiben. Was Julian Havil dazu zu sagen hat, ist spektakulär.

Prof. Julian Havil, University of Winchester, United Kingdom

Inhaltsverzeichnis

Vorwort
Vorwort des Übersetzers
Danksagungen
Einleitung

1 Die logarithmische Wiege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 Ein mathematischer Albtraum – und ein Erwachen . . . . . . . . . 7

1.2 Des Barons wunderbarer Kanon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Ein Hauch Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Ein Hauch Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5 Weitere Ideen Napiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Die harmonische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1 Das Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Eine erzeugende Funktion für Hn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Drei überraschende Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Subharmonische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1 Ein gemächlicher Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Harmonische Primzahlreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Die Kempnerreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4 Die Madelungschen Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Zeta-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1 Mit einer positiven ganzen Zahl n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Mit einer reellen Zahl x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3 Zwei abschließende Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5 Der Geburtsort von Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1 Ankunft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Niederkunft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6 Die Gamma-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.1 Exotische Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2 . . . weitere sinnvolle Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.3 Gamma trifft Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.4 Komplement und Schönheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7 Eulers wunderbare Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.1 Die Formel, auf die es ankommt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.2 . . . und ein Hinweis auf ihre Nützlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8 Ein erfülltes Versprechen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9 Was ist Gamma . . . exakt? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.1 Gamma existiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.2 Gamma ist . . . was für eine Zahl? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.3 Eine überraschend gute Verbesserung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.4 Der Ursprung einer großen Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

10 Gamma als Dezimalbruch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

10.1 Die Bernoullischen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

10.2 Die Euler–Maclaurinsche Summenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

10.3 Zwei Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

10.4 Die Implikationen für Gamma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

11 Gamma als rationaler Bruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

11.1 Ein Rätsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

11.2 Ein Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

11.3 Eine Antwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

11.4 Drei Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

11.5 Irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

11.6 Lösungen der Pellschen Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

11.7 Lückenfüller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

11.8 Die harmonische Alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

12 Wo ist Gamma? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

12.1 Nochmals zur alternierenden harmonischen Reihe . . . . . . . . . . . 119

12.2 In der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

12.3 In der Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

12.4 Bei Vermutungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

12.5 Bei Verallgemeinerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

13 Die Welt ist harmonisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

13.1 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

13.2 Geometrische Harmonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

13.3 Musikalische Harmonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

13.4 Rekorde und Aufzeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

13.5 Zerstörungsprüfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

13.6 Durchqueren der Wüste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

13.7 Kartenmischen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

13.8 Quicksort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

13.9 Sammeln einer vollständigen Menge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

13.10 Eine Putnam-Preis-Frage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

13.11 Maximal möglicher Überhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

13.12 Wurm auf einem Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

13.13 Optimale Auswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

14 Die Welt ist logarithmisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

14.1 Ein Maß für die Unsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

14.2 Das Benfordsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

14.3 Kettenbruchverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

15 Probleme mit Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

15.1 Einige schwierige Fragen zu Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

15.2 Ein bescheidener Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

15.3 Eine Art Antwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

15.4 Veranschauliche das Problem! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

15.5 Das Sieb des Eratosthenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

15.6 Heuristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

15.7 Ein Brief . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

15.8 Die harmonische Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

15.9 Verschieden – und doch gleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

15.10 Es sind wirklich nur zwei Fragen und nicht drei . . . . . . . . . . . . 210

15.11 Tschebyschew ist mit guten Einfällen zur Stelle . . . . . . . . . . . . 211

15.12 Riemann tritt ein, Beweise folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

16 Die Riemannsche Initiative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

16.1 Zählen der Primzahlen mit Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

16.2 Ein neues mathematisches Werkzeug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

16.3 Analytische Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

16.4 Riemanns Verallgemeinerung der Zeta-Funktion . . . . . . . . . . . . 223

16.5 Eine Funktionalgleichung für Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

16.6 Die Nullstellen von Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

16.7 Die Berechnung von ¦(x) und ¼(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

16.8 Irreführende Spuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

16.9 Von Mangoldts explizite Formel und der Primzahlsatz . . . . . . . 231

16.10 Die Riemannsche Vermutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

16.11 Warum ist die Riemannsche Vermutung wichtig? . . . . . . . . . . . 236

16.12 Reelle Alternativen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

16.13 Ein indirekter Weg zur Unsterblichkeit – teilweise verschlossen239

16.14 Ansporn – damals und heute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

16.15 Fortschritte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

A Das griechische Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

B Die Größenordnung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

C Taylorentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

C.1 Grad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

C.2 Grad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

C.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

C.4 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

D Funktionentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

D.1 Komplexe Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

D.2 Die Weierstraßsche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

D.3 Komplexe Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

D.4 Komplexe Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

D.5 Eine nützliche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

D.6 Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

D.7 Ein folgenreiches Ergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

D.8 Eine erstaunliche Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

D.9 Taylorreihen – und eine wichtige Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . 275

D.10 Laurentreihen – und eine weitere wichtige Folgerung . . . . . . . . 278

D.11 Residuenkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

D.12 Analytische Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

E Anwendung auf die Zeta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

E.1 Analytische Fortsetzung von Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

E.2 Funktionalgleichung für Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Namensverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303


Übersetzer Manfred Stern
Sprache deutsch
Gewicht 605 g
Einbandart gebunden
Themenwelt Mathematik / Informatik Mathematik Allgemeines / Lexika
Schlagworte Euler, Leonhard • Primzahl • Riemannsche Vermutung
ISBN-10 3-540-48495-7 / 3540484957
ISBN-13 978-3-540-48495-0 / 9783540484950
Zustand Neuware
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