Analysis 1

1 Allgemeine mathematische Begriffe und Schreibweisen.- Logische Symbole - Mengen und elementare Mengenoperationen - Funktionen - Ergänzungen.- 2 Die reellen Zahlen.-Axiome und Eigenschaften der reellen Zahlen - Klassen reeller Zahlen und Wichtige Sätze zur Vollständigkeit - Abzählbare und überabzählbare Mengen.- 3 Grenzwerte.- Der Grenzwert einer Folge - Der Grenzwert einer Funktion.- 4 Stetige Funktionen.- Wichtige Definitionen und Beispiele - Eigenschaften stetiger Funktionen.- 5 Differentialrechnung.- Differenzierbare Funktionen - Die zentralen Sätze der Differentialrechnung - Differentialrechnung zur Untersuchung von Funktionen - Komplexe Zahlen und Elementarfunktionen - Beispiele zur Differentialrechnung in den Naturwissenschaften - Stammfunktionen.- 6 Integralrechnung.- Definition des Integrals - Linearität, Additivität und Monotonie des Integrals - Das Integral und die Ableitung - Einige Anwendungen der Integralrechnung - Uneigentliche Integrale.- 7 Funktionen mehrerer Variabler.- Der Raum Rm und seine Unterräume - Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler.- 8 Differentialrechnung mit Funktionen mehrerer Variabler.- Die lineare Struktur auf Rm - Das Differential einer Funktion mehrerer Variabler - Die wichtigsten Gesetze der Differentiation - Reelle Funktionen mehrerer Variabler - Der Satz zur impliziten Funktion - Einige Korollare zum Satz zur impliziten Funktion - Flächen in Rn und bedingte.- Einige Aufgaben aus den Halbjahresprüfungen.-1. Einführung der Analysis (Zahlen, Funktionen, Grenzwerte).- 2. Differentialrechnung in einer Variablen.- 3. Integration und Einführung mehrerer Variabler.- 4. Differentialrechnung mehrerer Variabler.- Prüfungsgebiete.- 1. Erstes Semester - Einleitung und Differentialrechnung in einer Variablen.-
2. Zweites Semester - Integration. Differentialrechnung mit mehreren Variablen.- Literaturverzeichnis.- Klassische Werke - Orginalquellen - Wichtige umfassende grundlegende Werke -Klassische Vorlesungen in Analysis aus der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts -Lehrbücher -Studienunterlagen - Weiterführende Literatur.- Namensverzeichnis.- Sachverzeichnis.

Aus den Rezensionen der englischen Ausgabe:

"Diese profunde Einführung [Math.Analysis I und II] in die Analysis sollte in keiner mathematischen Bibliothek fehlen, selbst bei budgetären Restriktionen, trotz der Überfülle an Einführungsbüchern. Eine genaue, bewußte Lektüre dieses profunden Werks könnte mögliche künftige Autoren mittelmäßiger Analysisbücher vielleicht abschrecken.

[...]Meisterhaft wird hier intuitives Verstehen gefördert, vermittelt durch anschauliche geometrische Denkweisen, heuristische Ideen und induktive Vorgangsweisen, ohne Exaktheitsansprüche hintanzustellen oder konkrete Details oder Anwendungen auch nur ansatzweise zu vernachlässigen. Der Aufbau ist in vieler Hinsicht ungewöhnlich, eröffnet frühe Einblicke und Weitblicke und regt zum Denken an [...], ist auch der historischen Entwicklung angemessen und bietet eine wichtige Alternative zu den vielen "eleganten" Zugängen, bei denen die Vermittlung wichtiger nötiger Entwicklungsschritte für ein aktives Verständnis zu kurz kommt.

Der umfassende, Nachbardisziplinen laufend berührende Zugang trägt reiche Früchte, ebenso die facettenreiche Fülle an Erklärungen der Wurzeln und Essenz der grundlegenden Konzepte und Resultate, die Beschreibungen von Zusammenhängen und Ausblicke auf weitere Entwicklungen mit vielen in Einführungsbüchern leider eher unüblichen Anwendungen und Querbezügen [...]. Man erwirbt mit diesem Werk zusätzlich ein vollständiges, umfangreiches und wertvolles "Problem-Buch". Bei aller reichhaltiger Fülle stellt sich die Mathematik hier aber immer als eine Einheit dar, in ihrer auf den heutigen Stellenwert Bezug nehmenden historischen und philosophischen Entwicklung, geprägt durch, an passender Stelle kompetent gewürdigte, bedeutende große schöpferische Persönlichkeiten. [...] Dieses vorzügliche Werk atmet den Geist einer bewunderungswürdigen, vielschichtigen Forscher- undLehrerpersönlichkeit."

H.Rindler, Monatshefte für Mathematik 146, Issue 4, 2005

"Die vorliegenden zwei Bände sind die englische Übersetzung eines russischen Werkes, das bereits Anfang der achtziger Jahre erschienen ist und inzwischen bereits zum vierten Mal aufgelegt wurde. Die Bücher beinhalten auf über 1200 Seiten die klassische Analysis in einer zeitgemäßen Darstellung sowie Querverbindungen zu Algebra, Differenzailgleichungen, Differenzialgeometrie, komplexe Analysis und Funktionalanlaysis. Addressaten sind Studenten (und Lehrende), die neben einer strengen mathematischen Theorie auch konkrete Anwendungen suchen...

Dieses ausgezeichnete Werk kann Studienanfängern und fortgeschrittenen Studierenden uneingeschränkt empfohlen werden, aber auch Lehrende werden viele Anregungen darin finden."

M.Kronfellner (Wien), IMN - Internationale Mathematische Nachrichten 59, Issue 198, 2005, S. 36-37 

Aus den Rezensionen:

"Der umfangreiche Band enthält den ... Stoff einer Analysisvorlesung ... Viel Raum wird ... der Behandlung der Grundlagen gewidmet. ... Im weiteren Verlauf beleben dann immer wieder naturwissenschaftliche und technische Anwendungen die mathematische Theorie. Jeder Abschnitt endet mit Aufgabenstellungen. Bei aller mathematischen Strenge sind die Ausführungen verständlich und vermeiden nicht unbedingt erforderliche abstrakte Ausweitungen ... Empfehlenswert als Begleitlektüre zum Studium."

(Wolfgang Grölz, in: ekz-Informationsdienst Einkaufszentrale für öffentliche Bibliotheken, 2006, Issue 52)