Faszination Mathematik (eBook)

Griechenland

Aus der Kultur der Minoer entwickelten sich die wissenschaftlichen Kenntnisse über die gesamten griechischen Gebiete. Obwohl sich die griechischen Siedlungen über zahlreiche Stadtstaaten großflächig verteilten, erreichte die erstaunliche Gelehrtheit der Griechen eine Bedeutung, die bis heute viele Wissenschaften beeinflusst und beeindruckt.

In der sogenannten klassischen Periode, die ungefähr in die Zeit von 600 bis 200 v. Chr. eingegrenzt werden kann, entfaltete sich in Griechenland eine enorme kulturelle Entwicklung in Mathematik, Physik, Philosophie, Architektur, Politik, Dichtkunst und Sport.

Sogar das Orakel von Delphi, das von den antiken Griechen bei wichtigen Problemen befragt wurde, nutzte in ihren Voraussagen mathematische Rätsel.

Auf die Anfrage, wie eine herrschende Pest überwunden werden könne, gab das Orakel die Aufgabe vor, dass zu einem würfelförmigen Altar ein Schrein der gleichen Form, aber mit einem doppelten Rauminhalt konstruiert werden solle.

Diese Aufgabe führt zu der Gleichung x3 = 2·a3, wenn a die Kantenlänge des Altars und x die gewünschte Kante des neuen Schreins bezeichnen würde. Zur Ermittlung von x muss die dritte Wurzel von 2 berechnet werden. Da die Griechen nur rationale Zahlen kannten, war es ihnen nicht möglich, die Aufgabe zu lösen, weil es keinen Bruch gibt, der dreimal mit sich selbst multipliziert die Zahl 2 ergibt.

Daher konnte womöglich die damals herrschende Pest nicht überwunden werden?

Thales von Milet

(624 v. Chr. Milet / heutige Türkei − 574 Milet)

Noch in heutiger Zeit wird Thales als „Vater der griechischen Mathematik“ bezeichnet.

Wie einige andere der griechischen Wissenschaftler seiner Zeit, wird er von seinen Zeitgenossen als leicht verwirrt beschrieben. So berichtete Platon (s. S. 62) davon, dass Thales, als er in astronomische Überlegungen versunken gewesen war und dabei nach oben geblickt habe, in eine Zisterne gefallen sei. Eine Magd soll daraufhin spöttisch gesagt haben, dass Thales sich zwar darum bemühe, die Dinge des Himmels zu erkunden, aber das ihm vor den Füßen Liegende nicht bemerke.

Trotz dieser Zerstreutheit soll Thales eine Sonnenfinsternis exakt vorausberechnet haben.

Außerdem hatte er die Höhe der ägyptischen Pyramiden aus deren Schattenlängen errechnet.

Thales wird der heute nach ihm benannte Satz zugeschrieben, nach welchem jeder Winkel eines Dreiecks über einem Halbkreis ein Rechter ist.

Oder genauer ausgedrückt, wenn zwei Punkte A und B den Durchmesser eines Halbkreises bilden und der dritte Punkt C irgendwo auf dem Kreisbogen über dem Durchmesser [AB] liegt, dann ist dieses Dreieck ABC im Kreis immer rechtwinklig.

Auch andere geometrische Sätze sollen von Thales stammen.

Da er als Kaufmann Mesopotamien und Ägypten bereiste, könnte er einige dieser Sätze während seiner Aufenthalte in diesen hoch entwickelten Ländern kennengelernt haben.

Pythagoras von Samos

(580 v. Chr. Samos/Ägäis – 500 Metapontum/Italien)

Auch Pythagoras bereiste vor allem Mesopotamien.

Wie bereits berichtet, lernte er dort vermutlich den heute nach ihm benannten Lehrsatz a2 + b2 = c2 kennen, der bereits in Ägypten und bei den Völkern Mesopotamiens von größter Bedeutung war.

In Kroton (heute Crotone, Kalabrien) gründete Pythagoras eine einflussreiche philosophische Schule. Unter seiner Führung sollten seine Schüler eine disziplinierte und bescheidene Lebensweise führen.

Die Pythagoräer beschrieben die irrationalen Zahlen und arbeiteten beispielsweise mit der Zahl √2, was eine Grundlagenkrise der Mathematik ausgelöst haben soll.

In der Musik wandte Pythagoras mit seinen Schülern mathematische Sätze an. Sie beschrieben die Tonleiter als Verhältnisse ganzer Zahlen. Dies wird heute als „pythagoräische Stimmung“ bezeichnet.

Sehr früh betrachteten die Pythagoräer die Erde als Kugel und versuchten die Ordnung der Himmelskörper mit Hilfe ihrer Zahlenlehre zu erklären. Pythagoras soll davon gesprochen haben, dass durch die Bewegung der Himmelskörper entlang geordneter Bahnen eine „Sphärenmusik“ entstünde.

Die Pythagoräer teilten die Zahlen in mangelhafte, vollkommene und überschießende Zahlen ein.

Eine Zahl galt als mangelhaft, wenn ihre Teilersumme, ohne die Zahl selbst als Teiler, kleiner der Zahl ist.

So galt die Zahl Vier als mangelhaft, da 1 + 2 = 3 kleiner als 4 ist.

Zum Beispiel galt die Zahl Sechs als vollkommen, da ihre Teilersumme die Zahl selbst ergibt: 1 + 2 + 3 = 6.

Eine überschießende Zahl ist beispielsweise 12, weil deren Teilersumme größer als 12 ist:

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16

Auf den Seiten 81 und 438 werden die vollkommenen Zahlen nochmals Thema sein.

Zahlen und Maße sollten nach Pythagoras das Wesen aller Dinge bestimmen.

Deshalb untersuchten die Pythagoräer zum Beispiel Dreieckszahlen, die sich durch Anordnung mit Punkten als Dreiecke darstellen lassen, wodurch sie einen Zusammenhang zwischen Arithmetik und Geometrie herstellten.

Daraus lässt sich eine Summenformel herleiten, die später Carl Friedrich Gauß (s. S. 220) bereits als kleiner Junge genutzt hatte:

mit n als Anzahl der Zeilen.

Ein siebenzeiliges Dreieck besteht demnach aus Punkten.

Zenon von Elea

(490 v. Chr. Elea/Italien − 430 Elea)

Die griechische Philosophie der Mathematik benennt einige Paradoxa (widersinnige Behauptungen), die heute erklärbar sind.

So beschrieb Zenon den Wettlauf von Achilles, dem vermeintlich schnellsten Läufer der Antike, mit einer Schildkröte.

Zenon behauptete, dass Achilles eine Schildkröte, die einen Vorsprung von einem Stadion, also etwa 160 Meter habe, niemals einholen könne, obwohl er mit der zehnfachen Geschwindigkeit wie diese laufe.

Hätte Achilles 160 Meter zurückgelegt, so wäre die Schildkröte bereits 16 Meter weiter. Nachdem Achilles 16 Meter gelaufen sei, wäre der Vorsprung auf 1,6 Meter geschmolzen, danach blieben noch 0,16 Meter usw.

Die Schildkröte könne demnach nie eingeholt werden, da sie stets einen weiteren Vorsprung behalten würde, so klein dieser auch wäre.

Da dies jeglicher praktischen Erfahrung widerspricht, glaubte Zenon, die Unzulänglichkeit der Mathematik nachgewiesen zu haben.

Dieses Paradoxon war mit den damaligen mathematischen Kenntnissen nicht zu widerlegen.

Die vorliegende Zahlenfolge ist jedoch konvergent, besitzt also einen Grenzwert, was auf Seite 424 dieses Buches ausführlich erläutert wird.

Der Trugschluss kann auch wie folgt widerlegt werden: Setzt man die Laufgeschwindigkeit von Achilles mit v2 und die der Schildkröte mit v1, so gilt v2 = 10·v1.

Für die Strecke s2 von Achilles gilt s2 = v2⋅t = s + v1⋅t mit dem Vorsprung der Schildkröte von s = 1 Stadion.

Hieraus lässt sich die Zeit t ermitteln, nach der Achilles die Schildkröte überholt:

Wegen des relativ großen Nenners mit der neunfachen, wenn auch langsamen, aber positiven Geschwindigkeit der Schildkröte, verläuft die Zeit t gegen Null und die Schildkröte würde rasch von Achilles überholt worden sein.

Zenon förderte mit derartigen, meist widersinnigen Fragestellungen eine lyrisch-kritische Denkweise in der Mathematik. Er verstand es mit Beispielen, die für den gesunden Menschenverstand selbstverständlich sind, bestimmte Dinge in Frage zu stellen und Verwirrung zu stiften.

Aristoteles (s. S. 64) nannte Zenon den „Erfinder der Dialektik“, der in seinen Gedankenexperimenten von allgemein akzeptierten Begriffen ausgeht, um sie in der Folge als absurd oder falsch zu beweisen.

Allerdings errichtete Zenon keine eigenständige philosophische Lehre. Sein Ansatz war negativ bzw. destruktiv. Zenons Ziel war eher Kritik.

Erwähnenswert ist Zenons Einfluss auf den Atomismus, was das folgende Beispiel zeigt.

Ein Körper durchlaufe die Strecke [AB]. Auf seinem Weg berührt er zunächst den Punkt a1, der die Mitte zwischen A und B sein soll. Danach erreicht er mit a2 die Mitte zwischen a1 und B, dann a3, die Mitte zwischen a2 und B, und so weiter.

Auf der Strecke [AB] berührt der Körper also unendlich viele Punkte. Doch ist es prinzipiell unmöglich, eine unendliche Zahl von Punkten zu berühren. Folglich könne der Körper sein Ziel B eigentlich nicht erreichen.

Für Zenon bedeutete dies Folgendes:

Der Körper vollzieht auf dem Weg von A nach B unendlich viele Handlungen. Es gibt auf dieser Strecke unendlich viele Punkte und wenn der Körper den Punkt B erreichen will, muss er auf dem Weg dorthin diese unendlich vielen Punkte berühren. Aber nichts auf der Welt kann unendlich viele Handlungen ausführen. Folglich gibt es keine Bewegung.

Eine geometrische Strecke ist sicherlich unendlich teilbar.

Warum...