Repetitorium Funktionentheorie

Andreas Herz ist Gymnasiallehrer in Kaufbeuren.

I Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie.-
0 Die komplexen Zahlen.- Aufgaben zu
0.-
1 Reelle Differenzierbarkeit - Komplexe Differenzierbarkeit.- Aufgaben zu
1.-
2 Holomorphie.- Aufgaben zu
2.-
3 Fundamentale Eigenschaften holomorpher Funktionen.- Aufgaben zu
3.-
4 Biholomorphe Abbildungen.- Aufgaben zu
4.-
5 Harmonische Funktionen.- Aufgaben zu
5.- II Folgen und Reihen von Punkten und Funktionen.-
1 Konvergenzbegriffe und -kriterien.- Aufgaben zu
1.-
2 Vertauschungssätze bei kompakter Konvergenz.- Aufgaben zu
2.-
3 Potenzreihen.- Aufgaben zu
3.-
4 Laurentreihen.- Aufgaben zu
4.- III Elementare holomorphe Funktionen. Erweiterung des Holomorphiebegriffs.-
1 Polynome und rationale Funktionen.- Aufgaben zu
1.-
2 Exponentialfunktion und Logarithmusfunktionen.- Aufgaben zu
2.-
3 Potenzfunktionen und Wurzelfunktionen.- Aufgaben zu
3.-
4 Erweiterung des Holomorphiebegriffs.- Aufgaben zu
4.- IV Konforme Abbildungen.-
1 Winkel- und Orientierungstreue. Der Riemannsehe Abbildungssatz.- Aufgaben zu
1.-
2 Gebrochen lineare Transformationen (Möbiustransformationen).- Aufgaben zu
2.-
3 Liste der wichtigsten konformen Abbildungen.- Aufgaben zu
3.- V Integration komplexer Funktionen. Integralsätze.-
1 Integralbegriffe in der Funktionentheorie.- Aufgaben zu
1.-
2 Holomorphie und Integrabilität.- Aufgaben zu
2.-
3 Der Hauptsatz der Cauchyschen Funktionentheorie.- Aufgaben zu
3.-
4 Parameterintegrale.- Aufgaben zu
4.- VI Reihen- und Produktentwicklungen holomorpher und meromorpher Funktionen.-
1 Entwicklung holomorpher Funktionen auf Kreisscheiben nach Taylor.- Aufgaben zu
1.-
2 Entwicklung holomorpher Funktionen auf Kreisringen nach Laurent.- Aufgaben zu
2.-
3 Nullstellen und isolierteSingularitäten.- Aufgaben zu
3.-
4 Nullstellen und isolierte Singularitäten im Punkt ?.- Aufgaben zu
4.-
5 Meromorphe Funktionen.- Aufgaben zu
5.-
6 Der Satz von Mittag-Leffler und der Weierstraßsche Produktsatz.- Aufgaben zu
6.- VII Das Residuenkalk?l.-
1 Der Residuensatz.- Aufgaben zu
1.-
2 Berechnung spezieller Integrale.- Aufgaben zu
2.-
3 Der Residuensatz für den Punkt ?.- Aufgaben zu
3.- Zusammenfassungen und Übersichten.- A: Zusammenfassung aller Holomorphie- und Biholomorphiecharakteristika.- B: Charakterisierung einfach zusammenhängender Gebiete.- C: Gegenüberstellung von Potenz- und Laurentreihe.- D: Gegenüberstellung von Taylor- und Laurententwicklung.- E: Übersicht über die wichtigsten holomorphen Funktionen.- Anhang A Topologische und ordnungstheoretische Grundbegriffe.- 1. Topologische Grundbegriffe.- 2. Ordnungstheoretische Grundbegriffe.- Anhang B Wege und Gebiete in der Funktionentheorie.- 1. Wege in der Zahlenebene ?.- 2. Gebiete in der Zahlenebene ?.- 3. Zusammenfassung.- Anhang C Erläuterungen zu häufig auftretenden Formulierungen.- Symbolverzeichnis.- Verzeichnis der Examensaufgaben.- aus der Bayerischen Ersten Staatsprüfung.