Mathematik ist wunderschön (eBook)

Vorwort 5
Inhaltsverzeichnis 9
1 Im Gleichgewicht 12
1.1Das Hebelgesetz – Mobiles mit gleichen Kugeln 13
1.2Mobiles mit einer unterschiedlich großen Anzahl von gleichen Kugeln 21
1.3Hinweise auf weiterführende Literatur 27
2 Über alle Schranken hinaus 28
2.1Stapeln von quaderförmigen Bausteinen mit Überhang 29
2.2Die harmonische Reihe 33
2.3Torricellis Trompete 44
2.4Hinweise auf weiterführende Literatur 46
3 Parkettierungen der Ebene mit regelmäßigen n-Ecken 48
3.1Bausteine aus gleichseitigen Dreiecken – Polyiamonds 50
3.2Bausteine aus regelmäßigen Sechsecken – Polyhexes 56
3.3Archimedische Parkettierungen der Ebene 61
3.4Hinweise auf weiterführende Literatur 71
4 Umkreise, Inkreise und Schwerpunkte bei Dreiecken, Vierecken, Fünfecken … 73
4.1Umkreis und Inkreis bei Dreiecken 74
4.2Sehnen- und Tangentenvierecke 78
4.3Sehnenvielecke – Tangentenvielecke 89
4.4Der Flächenschwerpunkt eines Dreiecks 95
4.5Der Flächenschwerpunkt eines konvexen Vierecks 97
4.6Hinweise auf weiterführende Literatur 99
5 Periodische und nichtperiodische Brüche 102
5.1Ein erster Überblick über Dezimalbrüche 103
5.2Endliche Dezimalbrüche 105
5.3Rein-periodische Dezimalbrüche 107
5.4Gemischt-periodische Brüche 110
5.5Zahlenzyklen und zyklische Zahlen 112
5.6Brüche im Dualsystem 117
5.7Hinweise auf weiterführende Literatur 120
6 Ägyptische Brüche 121
6.1Zahlendarstellung im alten Ägypten 122
6.2Fibonaccis gieriger Algorithmus 124
6.3Mögliche Gründe für die Verwendung der ägyptischen Brüche 126
6.4Darstellung eines Stammbruchs als Summe von anderen Stammbrüchen 128
6.5Stammbrüche als Summe von zwei verschiedenen Stammbrüchen 130
6.6Darstellung von Brüchen des Typs 2/n als Summe von zwei Stammbrüchen 133
6.7Darstellung von Brüchen des Typs 3/n und 4/n als Summe von Stammbrüchen 134
6.8Hinweise auf weiterführende Literatur 140
7 Spiele mit merkwürdigen Würfeln, Glücksrädern und Münzen 141
7.1Nicht-transitive Würfel 141
7.1.1Die Efron’schen Würfel 142
7.1.2Nicht-transitive Glücksräder 147
7.1.3Weitere nicht-transitive Würfel 151
7.2Penney’s Game 155
7.2.1Ein Spiel mit Zweier-Kombinationen von Münzen 156
7.2.2Ein Spiel mit Dreier-Kombinationen von Münzen 160
7.3Hinweise auf weiterführende Literatur 165
8 Kürzeste Wege 167
8.1Der Fermat-Punkt eines Dreiecks 168
8.2Ein minimales Wegenetz 172
8.3Minimale Streckennetze in Vierecken – Steiner-Netze 174
8.4Steiner-Netze in regelmäßigen Fünf- und Sechsecken 182
8.5Hinweise auf weiterführende Literatur 183
9 Der goldene Schnitt 185
9.1Definition und Konstruktion des goldenen Schnitts 186
9.2Goldene Rechtecke 189
9.3Anwendung des euklidischen Algorithmus auf das goldene Rechteck 190
9.4Der goldene Schnitt und das regelmäßige Fünfeck (Pentagon) 194
9.5Variationen zum goldenen Schnitt 200
9.6Parkettierungen mit goldenen Dreiecken – darts und kites 209
9.7Weitere Penrose-Parkettierungen 222
9.8Hinweise auf weiterführende Literatur 226
10 Platonische und andere regelmäßige Körper 228
10.1Zur Anzahl der platonischen Körper 229
10.2Netze der platonischen Körper 232
10.3Schrägbilder der platonischen Körper 239
10.4„Mysterium Cosmographicum“ – das Weltgeheimnis des Johannes Kepler 247
10.5Hamilton-Wege und Schlegel-Diagramme 248
10.6Ecken, Kanten und Flächen bei platonischen und anderen regelmäßigen Körpern – der Euler’sche Polyedersatz 251
10.7Stapeln von platonischen und archimedischen Körpern 259
10.8Schnitte durch einen Würfel 262
10.9Hinweise auf weiterführende Literatur 265
11 Monsterkurven und Fraktale 267
11.1Die Hilbert-Kurve 268
11.2Die Peano-Kurve 271
11.3Anregung für die ersten Monsterkurven: Das Cantor’sche Diagonalverfahren 272
11.4Sierpi?ski-Kurven 275
11.5Sierpi?ski-Dreiecke 279
11.6Die Pfeilspitzen-Kurve von Mandelbrot und die Hausdorff-Dimension 281
11.7Die Koch’sche Schneeflockenkurve 285
11.8Gosper-Insel und Gosper-Kurve 292
11.9Bäume 294
11.10Briefmarken zum Thema 295
11.11Hinweise auf weiterführende Literatur 296
12 Gesetzmäßigkeiten des Zufalls 298
12.1Untersuchung der Häufigkeit von Ergebnissen 299
12.2Untersuchung der Runs 308
12.3Das Geburtstagsparadoxon 315
12.3.1Anwendung der Faustregeln 321
12.3.2Zur Herleitung der Faustregeln zum Geburtstagsparadoxon 323
12.4Warten auf eine vollständige Serie 324
12.4.1Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten 326
12.4.2Faustregeln zum Sammelbilder-Problem 330
12.4.3Wartezeit beim Würfeln mit einem gezinkten Würfel 331
12.5Das „Eins durch e“-Gesetz 333
12.5.1Beispielgebundene Herleitung des 1/e-Gesetzes 333
12.6Hinweise auf weiterführende Literatur 335
Allgemeine Hinweise auf geeignete Literatur 337
Stichwortverzeichnis 339