Grundkurs Mathematik (eBook)

In dieser Lektion werden Grundkenntnisse zusammengestellt, die Sie in Ihrem Mathematikunterricht in der Schule sicher erworben haben und nun wiederholen sollen. Es geht vor allem um Zahlen und Zahlenmengen. Vorausgesetzt wird, dass Sie mit positiven Zahlen rechnen können. Dazu gehört auch die Bruchrechnung. Sollten Sie dort Lücken vermuten, besorgen Sie sich ein Schulbuch und rufen Sie sich die Rechenregeln wieder in Erinnerung.

Anders ist es mit den negativen Zahlen. Die Grundrechenarten für negative Zahlen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) werden in dieser Lektion erklärt und geübt.

Im Weiteren geht es um Zahlenmengen. Dabei werden Begriffe geklärt, die Sie im Laufe des Telekollegs immer wieder benötigen, wie natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen.

Von den Mengen werden nur diejenigen Begriffe behandelt, mit denen in den folgenden Lektionen und Trimestern gearbeitet wird: Schnittmenge, Vereinigungsmenge und leere Menge.

Die natürlichen Zahlen

Zahlen dienen den Menschen seit jeher zum Beschreiben von Quantitäten (5 Äpfel) und Größen (7 Meter) und zur Angabe, an der wievielten Stelle in einer Abfolge sich ein Objekt befindet (erstes, zweites, drittes Stockwerk). Dabei haben die Menschen durch Erfahrungen in ihrem Leben zu den Zahlen 0, 1, 2, 3, …, einen natürlichen Zugang – mehr als zu Bruchzahlen und negativen Zahlen. Die Mathematiker sagen deshalb: Die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, … sind natürliche Zahlen1.

Es gibt keine größte natürliche Zahl. Wenn jemand glaubt, er habe eine größte natürliche Zahl gefunden, muss man nur 1 addieren, um ihn zu widerlegen.

Es gibt also unendlich viele natürliche Zahlen.

Die Menge der natürlichen Zahlen wird in der Mathematik mit bezeichnet: . Die Punkte deuten an, dass es keine größte natürliche Zahl gibt.

Häufig werden natürliche Zahlen am Zahlenstrahl veranschaulicht. Sie wissen ja, eine gerade Linie, die einen Anfang und kein Ende hat, nennt man in der Geometrie: Strahl – im Gegensatz zu einer Geraden, die keinen Anfang und kein Ende hat.

Der Pfeil deutet darauf hin, dass die Zahlen am Zahlstrahl der Größe nach von links nach rechts geordnet sind und dass es unendlich viele natürliche Zahlen gibt.

Die ganzen Zahlen

Die Tatsache, dass man mit den natürlichen Zahlen nicht auskommt, merkt man schon in vielen Situationen des täglichen Lebens. Wenn jemand mehr Geld ausgibt, als er hat, macht er Schulden. Wenn die Temperatur unter den Gefrierpunkt fällt, beschreibt man dies oft mit „soundso viel“ Grad unter Null. Es gibt viele weitere Beispiele und Situationen, zu deren Beschreibung die natürlichen Zahlen nicht ausreichen.

Man führt deshalb neue Zahlen ein, sogenannte negative Zahlen und bezeichnet sie mit –1, –2 , –3, … (gelesen: minus eins, minus zwei, minus drei und so weiter).

Die Mathematiker begründen die Einführung der negativen Zahlen auf einem höheren Niveau. Sie stellen fest, dass allen Beispielen etwas gemeinsam ist: Immer soll eine Subtraktionsaufgabe gelöst werden, deren Ergebnis keine natürliche Zahl ist, z. B.: 50 € – 70 €, 3° C – 4° C. Man sagt: Die Subtraktion ist in der Menge der natürlichen Zahlen nicht uneingeschränkt ausführbar.

Nimmt man die negativen Zahlen –1, –2, –3, … zu den natürlichen Zahlen dazu, so entsteht die Menge der ganzen Zahlen.

Man bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen mit :

. Die Punkte deuten an, dass es keine kleinste und keine größte ganze Zahl gibt.

Zur Veranschaulichung der ganzen Zahlen muss man jetzt den Zahlenstrahl zur Zahlengeraden erweitern.

Der Pfeil deutet auch hier darauf hin, dass die Zahlen an der Zahlgeraden der Größe nach von links nach rechts geordnet sind. Eine Zahl, die weiter links liegt, ist kleiner als eine Zahl, die weiter rechts liegt, z. B.: 2 < 4, aber –2 > –4; –3 < 4, aber –3 > –4.

Das Zeichen < liest man „ist kleiner als“, das Zeichen > liest man „ist größer als“.

Im Gegensatz zu den negativen ganzen Zahlen, die links von Null liegen, bezeichnet man die natürlichen Zahlen, die rechts von Null liegen, als positive ganze Zahlen. 0 gehört demnach nicht zu den positiven ganzen Zahlen.

Wie man mit ganzen Zahlen rechnet, erfahren Sie im Abschnitt 1.2.

Die rationalen Zahlen

Sie haben schon in der Sendung gesehen, dass man beim Rechnen mit ganzen Zahlen an Grenzen stößt. Fragen wie „Was ist die Hälfte von einem Ganzen?“ oder „Wie kann man 6 Äpfel gerecht unter 4 Kinder aufteilen?“ zwingen zur Einführung weiterer Zahlen. Diesen und vergleichbaren Fragen liegt zu Grunde, dass es zu bestimmten Divisionsaufgaben in der Menge der ganzen Zahlen keine Lösung gibt, z. B. 1 : 2, 6 : 4.

Mit den Zahlen, die jetzt zu den ganzen Zahlen hinzukommen, sind Sie von der Schule her vertraut: Es sind Zahlen, die durch Brüche dargestellt werden, z.B. , , .

Nimmt man alle diese Zahlen, die positiven und die negativen, zu den ganzen Zahlen dazu, so erhält man die Menge der rationalen Zahlen.

Man bezeichnet die Menge der rationalen Zahlen mit .

Veranschaulichen kann man die Menge der rationalen Zahlen gut an der Zahlengeraden. Jede rationale Zahl hat einen „Platz“ auf der Zahlengeraden; präziser gesagt: Jeder ratio-nalen Zahl lässt sich ein Punkt der Zahlengeraden zuordnen. Im folgenden Bild sind einige rationale Zahlen eingetragen.

Die Menge der rationalen Zahlen ist zunächst die umfassendste Menge von Zahlen, die uns zur Verfügung steht. Wenn wir also in dieser und den nächsten Lektionen von Zahlen reden, meinen wir immer die rationalen Zahlen. In Lektion 8 wird sich das noch einmal ändern. Dann kommen die irrationalen Zahlen dazu und es entsteht die Menge der reellen Zahlen.

Ein und dieselbe rationale Zahl kann ganz unterschiedlich geschrieben werden. Verglei-chen Sie einmal die beiden Ausdrücke und 0,5. Beide bezeichnen diesel be Zahl. Im Bild gesprochen: und 0,5 kennzeichnen beide die Zahl, die auf der Zahlengeraden genau zwischen 0 und 1 liegt. Sie sind nur verschiedene Zeichen für dieselbe Zahl.

Das ist vergleichbar mit einer Person, die in verschiedenen Kleidern daherkommt, einmal mit Jeans und Pullover und einmal mit Anzug bzw. Rock und Bluse. Es ist jedes Mal dieselbe Person. Nur das Äußere hat sich geändert.

So ist es auch bei Zahlen. Dem Punkt auf der Zahlengeraden, der genau zwischen 0 und 1 liegt, entspricht genau eine Zahl. Von dieser Zahl haben wir zwei verschiedene Darstellungen betrachtet. Dieselbe Zahl zeigt sich aber gelegentlich noch in ganz anderen „Gewändern“: , , und auch 50%. Auch 50% ist ein Zeichen für diese Zahl.

Die Zahlenmengen im Überblick:

Die natürlichen Zahlen bilden eine Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen, und die ganzen Zahlen bilden eine Teilmenge der Menge der rationalen Zahlen.

1. Ordnen Sie folgende Zahlen der Größe nach.

2. Setzen Sie eines der Zeichen <, >, = jeweils in das leere Kästchen.

a)

b)

c)

d)

e)

Wir gehen davon aus, dass Sie das Addieren und Subtrahieren positiver rationaler Zahlen, also insbesondere die entsprechenden Bruchrechenregeln, beherrschen. Dies wird ja in der Schule intensiv geübt und im täglichen Leben immer wieder angewendet.

Anders ist es mit den negativen rationalen Zahlen. Im Folgenden soll gezeigt werden, wie man in der Menge der rationalen Zahlen addiert und subtrahiert.

1. Addieren und...