Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht (eBook)

Vorwort 6
Inhaltsverzeichnis 8
Teil I Kontexte für ein sinnstiftendes Mathematiklernen 11
1 Experimentell zum Funktionalen Denken – auch in der Grundschule? 12
1.1 Einleitung 13
1.2 Potentielle Schwierigkeiten mit dem Funktionalen Denken 14
1.3 Zentrale Aspekte des Funktionsbegriffs 15
1.3.1 Grundvorstellungen von Funktionen 16
1.3.2 Darstellungsformen von Funktionen 17
1.4 Mathematisches Experimentieren in der Grundschule fördert die Entwicklung des Funktionalen Denkens 17
1.5 Zwei Experimente zur Anbahnung Funktionalen Denkens 20
1.5.1 Experiment Geburtstagskerze: Wie lange brennt die Kerze? 20
1.5.2 Experiment Bewegung aufzeichnen: Wie sieht der Graph zu meiner Bewegung aus? 21
1.5.3 Erfahrungen mit der Durchführung 23
1.6 Fazit 24
1.7 Zum Abschluss 24
Literatur 25
2 Fermi-Aufgaben in Vergleichsarbeiten in Klasse 8 – Kriterien und Ergebnisse 27
2.1 Einführung 28
2.2 Aufgaben in Tests 28
2.3 Fermi-Aufgaben 29
2.4 Kriterien für Fermi-Aufgaben in Tests 30
2.5 Fragestellung und Methode 34
2.6 Ergebnisse 36
2.7 Diskussion 37
2.8 Fazit 39
Literatur 39
3 Auf rationale Weise zur Irrationalität 41
3.1 Die Entdeckung des Irrationalen und ihre historischen Folgen 42
3.2 Der Logos – das durchwirkende Prinzip 44
3.3 Die Rationalität in der Entdeckung des Irrationalen 45
3.4 Schritte und Hindernisse auf dem Weg zur Zahlwerdung 45
3.5 Bedeutungswandel des Begriffes „Irrationalität“ in der Philosophie 47
3.6 Irrationale Zahlen im Mathematikunterricht – eine Bildungschance? 48
3.7 Nachbetrachtung: ein aktueller lebensweltlicher Bezug des Themas 51
Literatur 52
4 Durchgängige Kontextorientierung in allen Unterrichtsphasen des Mathematikunterrichts 54
4.1 Kontexte 56
4.2 Kontextorientierung während des Erkundens 57
4.3 Kontextorientierung während des Ordnens 61
4.4 Abschließende Diskussion 64
Literatur 66
5 Grundvorstellungen versus Concept Image? Gemeinsamkeiten und Unterschiede beider Theorien am Beispiel des Funktionsbegriffs 68
5.1 Einleitung 69
5.2 Grundvorstellungen 69
5.3 Concept Image und Concept Definition 73
5.4 Zusammenhang beider Theorien 77
Literatur 80
6 Wahrscheinlich oder wahrscheinlich nicht? Aufbau eines vorstellungsorientierten Wahrscheinlichkeitsbegriffs in der Primarstufe und den Sekundarstufen 83
6.1 Vorstellungen zur Wahrscheinlichkeit 84
6.2 Didaktische Überlegungen und Rolle des Rechners und der Sprache 88
6.3 Unterrichtliche Umsetzung in der Primarstufe und der Sekundarstufe I 91
6.4 Ausblick in die Sekundarstufe II 95
6.5 Zusammenfassung und Ausblick 95
Literatur 96
7 Kriteriengeleitetes Arbeiten – ein Aufgabenformat zur Förderung von selbstreguliertem Lernen im Mathematikunterricht 97
7.1 Selbstregulation 98
7.2 Kriteriengeleitetes Arbeiten 100
7.3 Kriteriengeleitetes Arbeiten – ein Format, die Selbstregulation zu stärken 105
7.4 Fazit 107
Literatur 108
8 Ein erster Zugang zur Scheduling-Theorie – paradigmatisch erschlossen 110
8.1 Was man über Scheduling-Theorie wissen sollte 111
8.2 Ein paradigmatisches Beispiel zur Scheduling-Theorie nach French (1982) 113
8.3 Bearbeitungsschritte für die Aufgabenlösung 117
8.3.1 Endlich heißt nicht immer überschaubar 117
8.3.2 Abschätzungen helfen uns weiter 118
8.4 Was konstituiert ‚paradigmatische Beispiele‘? 121
8.5 Schlussfolgerungen 122
Literatur 123
Teil II Mit digitalen Werkzeugen Mathematik erlebbar machen 124
9 Technology-supported classrooms: New opportunities for communication and development of mathematical understanding 125
9.1 Introduction: Technology provides opportunities 126
9.2 Technology supports mathematical communication 127
9.3 Technology promotes cognitive activities 129
9.4 Technology supports an open classroom 130
9.5 Conclusion 131
References 132
10 „Der Computer zwingt uns zum Nachdenken“ – Beispiele aus der Analysis 134
10.1 Grenzwerte durch Einsetzungen „bestimmen“? 136
10.2 Ein genetischer Weg von Testeinsetzungen zur „h-Methode“ 139
10.3 Testeinsetzungen mit einem „Arbitrary-Precision-Rechner“ 141
10.4 Grenzwerte mithilfe spezieller Folgen untersuchen 141
10.5 Funktionen, die der Rechner nicht unterscheiden kann 142
10.6 Artefakte beim numerischen Integrieren 143
10.7 Phänomene beim numerischen Lösen von Gleichungen 145
10.8 Fazit 147
Literatur 148
11 Ergebnisse aus Stundenprotokollen im niedersächsischen Projekt CALiMERO zum CAS-Einsatz in der Sekundarstufe I 149
11.1 Ziele und Inhalte sowie Forschungsinteressen des Projekts CAliMERO 150
11.2 Schülerbeobachtung von Unterricht in der Unterrichtsforschung 151
11.3 Das Stundenprotokoll zum Mathematikunterricht im Projekt CAliMERO 153
11.4 Ergebnisse der Stundenprotokolle Klasse 9: Methodenvielfalt erfassen 156
11.5 Zusammenhang zwischen Methodenvielfalt und Leistung 159
11.6 Zusammenhang zwischen Rechnereinsatz bzw. Kopfübungen und Leistung 160
11.7 Ergebnisse der Stundenprotokolle: Zusammenfassung und Fazit 162
Literatur 163
12 Head in the clouds, feet on the ground – A realistic view on using digital tools in mathematics education 165
12.1 The first adopters’ optimism 166
12.2 Handheld graphing and computer algebra tools 167
12.3 In search for theoretical lenses 169
12.4 How about teachers? 170
12.5 Implementation is hard 172
12.6 The future is now 174
Literature 176
13 Der Rechner als Erzeuger von Phänomenen für das Entdecken und Beschreiben mathematischer Muster 179
13.1 Einleitung 180
13.2 Erkennen und Beschreiben von Strukturen als Betreiben von Mathematik 180
13.2.1 Das Muster Mittenviereck 181
13.2.2 Muster mit und ohne Bedeutung für den Theorieaufbau 183
13.2.3 Arithmetische Muster 185
13.2.4 Muster in Daten 187
13.2.5 Muster in Funktionen 188
13.2.6 Muster in Matrizen 189
13.3 Diskussion 191
Literatur 191
14 Think Big! – Funktionales Denken mit Big Data 193
14.1 Was heißt denn hier „big“? 194
14.2 Das digitale Werkzeug 195
14.3 Ein Bild von Cäsar 197
14.4 Der Funktionsgraph als weitere Darstellungsebene 199
14.5 Eine für alle – alle für eine 200
14.6 Alle für eine – eine für alle – alle für eine 203
14.7 Fazit 204
Literatur 205
15 Mathematikunterricht mit digitalen Werkzeugen – Eine persönliche Bilanz von 25 Jahren Einsatz im Unterricht 206
15.1 Erste Begegnungen mit digitalen Werkzeugen 207
15.2 Praktische Umsetzung im Unterricht – Einige unserer „Highlights“ 208
15.2.1 Die Parabelwerkstatt – Stationenlernen mit DGS/GTR/CAS-Einsatz 209
15.2.2 Das ABC der ganzrationalen Funktionen – Eine Lernwerkstatt mit GTR/CAS-Einsatz 210
15.2.3 Mathematik auf dem Bahnhof – Begriffsbildung 210
15.2.4 Das Weizenbierglas – Modellbildung 212
15.2.5 Matrizen in der Analytische Geometrie 213
15.2.6 Neue Formate in der Lehrerfortbildung – Webinare 216
15.3 Ein Land entscheidet sich, CAS verbindlich bis zum Abitur einzusetzen 217
15.4 Fazit 217
Literatur 219
16 Mathematik erkunden und verstehen mit unterrichtsintegrierten Lern-Apps – Fachdidaktische Kriterien für die kognitive Aktivierung und Verstehensunterstützung 220
16.1 Einführung 221
16.2 Simulationen für das kognitiv aktivierende Erkunden in sinnstiftenden Kontexten 222
16.3 Beispiele aus den KOSIMA-Apps 224
16.4 Fazit und offene Fragen 230
Literatur 230
17 Digitale Werkzeuge im Mathematikunterricht – Konzepte, empirische Ergebnisse und Desiderate 233
17.1 Ziele und Bedingungen eines erfolgreichen Einsatzes digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht 234
17.2 Didaktisches Tetraeder – Ein Modell zur Analyse des Einsatzes digitaler Werkzeuge 235
17.3 Ansätze zur Gestaltung des Einsatzes digitaler Werkzeuge 237
17.3.1 Grundsätzliche Einsatzszenarien für die selbstständige Nutzung von digitalen Werkzeugen durch Schülerinnen und Schüler 238
17.3.2 Einige Gestaltungsprinzipien und Einsatzmethoden zur Nutzung digitaler Werkzeuge im Rahmen von Lernumgebungen 241
17.4 Ausgewählte empirische Ergebnisse und Forschungsdesiderate zum Einsatz digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht 244
Literatur 246
18 Wie digitale Medien funktionales Denken unterstützen können – Zwei Beispiele 249
18.1 Warum funktionales Denken fördern? 250
18.2 Theoretischer Hintergrund 250
18.2.1 Funktionales Denken 250
18.2.2 Digitale Medien 252
18.3 Beispiel 1: Darstellungswechsel von Situation zu Graph mit verlinkten Simulationen sowie multiplen Darstellungen anregen 254
18.4 Beispiel 2: Parameter quadratischer Funktionen mit statischen und dynamischen Darstellungen konzeptualisieren 257
18.5 Fazit 260
Literatur 260
Teil III Mit Lehrerfortbildungen Mathematikunterricht zeitgemäß gestalten 263
19 Grundlagen algebraischen Denkens beim Übergang von der Arithmetik in die Algebra – Entwicklung und Erprobung einer Lehrerfortbildung 264
19.1 Ursprung der professionellen Lerngemeinschaft zur Fortbildungsentwicklung 265
19.2 Fortbildungsentwicklung 265
19.2.1 Didaktik der elementaren Algebra – Fachliche und fachdidaktische Klärung 266
19.2.2 Bedarfsanalyse 267
19.2.3 Didaktische Strukturierung 268
19.2.4 Entwicklung der Tiefenstruktur 269
19.2.5 Entwicklung der Sichtstruktur (Baustein 1) 271
19.3 Evaluation und Reflexion des ersten Bausteins 273
19.3.1 Evaluation des Bausteins 1 273
19.3.2 Mögliche Implikationen 275
19.4 „Hilft das Schülerinnen und Schülern?“ – Diskussion und Ausblick 276
Literatur 277
20 Der Herausforderung der Digitalisierung im Mathematikunterricht in Fortbildungen begegnen 279
20.1 Einleitung 280
20.2 Wirksamkeit von Fortbildungen zum Einsatz digitaler Werkzeuge 281
20.3 Videofallbasiertes Lernen in Fortbildungen 283
20.4 Beschreibung der Professionalisierungsprozesse von Multiplikatorinnen und Multiplikatoren 285
20.5 State of the art – Wo stehen aktive Multiplikatorinnen und Multiplikatoren hinsichtlich des Einsatzes digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht? 288
20.6 Fazit und Ausblick 289
Literatur 290
21 Problemlösestrategien lehren lernen – Wo die Praxis Probleme beim Problemlösen sieht 293
21.1 Einleitung 294
21.2 Häufig gestellte Fragen und Lösungsansätze zum Problemlösen im Mathematikunterricht 295
21.3 Fazit 306
Literatur 306
22 Fortbildungsdidaktische Kompetenz ist mehr als unterrichtsbezogene plus fortbildungsmethodische Kompetenz. Zur notwendigen fortbildungsdidaktischen Qualifizierung von Fortbildenden am Beispiel des verstehensfördernden Umgangs mit Darstellungen 308
22. 1 Fortbildungsdidaktik und Fortbildungsmethodik 309
22.1.1 Fallbeispiel zum Einstieg: Paula Mais erste Fortbildungen 309
22.1.2 Unterschied zwischen Fortbildungsdidaktik und Fortbildungsmethodik und der notwendige gegenstandsbezogene Fokus auf die Teilnehmenden 312
22.2 Bezüge verschiedener Kompetenzbereiche zueinander – am Beispiel „Verstehensfördernder Umgang mit Darstellungen für Prozentverständnis“ 314
22.2.1 Unterrichtsebene: Bezug von generischem und gegenstandsspezifischem fachdidaktischem Wissen zum verstehensfördernden Umgang mit Darstellungen 314
22.2.2 Fortbildungsebene: Quellen fortbildungsdidaktischen Wissens aus der Professionsforschung zu Lehrkräfte-Perspektiven auf den Umgang mit Darstellungen 316
22.2.3 Einblicke in Lernwege von Lehrkräften aus dem Forschungs-Projekt MATILDA 316
22.2.4 Fortsetzung des Fallbeispiels von Paula Mai 319
22.3 Fazit für fortbildungsdidaktische Qualifizierung von Fortbildenden 320
Literatur 320
23 Inklusiver Mathematikunterricht – Herausforderungen bei der Gestaltung von Lehrerfortbildungen 323
23.1 Einleitung 324
23.2 Überlegungen zur Fortbildungsgestaltung 325
23.2.1 Berücksichtigung von zentralen Gestaltungsprinzipien 325
23.2.2 Zeitlicher Umfang einer Maßnahme 326
23.2.3 Zielgruppen einer Maßnahme 327
23.2.4 Auswahl der Inhalte 328
23.3 Exemplarische Ergebnisse einer DZLM-Fortbildungsmaßnahme 329
23.4 Ausblick 332
Literatur 333