Mathematik für das Ingenieurstudium (eBook)

Prof. Dr. Jürgen Koch und Prof. Dr. Martin Stämpfle halten Vorlesungen zur Mathematik an der Hochschule Esslingen.

Vorwort 6
Inhaltsverzeichnis 8
1 Grundlagen 20
1.1 Logik und Mengen 20
1.1.1 Aussagenlogik 20
1.1.2 Mengen 23
1.2 Zahlen 26
1.2.1 Natürliche Zahlen 26
1.2.2 Ganze Zahlen 27
1.2.3 Rationale Zahlen 28
1.2.4 Reelle Zahlen 29
1.2.5 Ordnung 31
1.2.6 Intervalle 32
1.2.7 Betrag und Signum 33
1.2.8 Summe und Produkt 36
1.3 Potenz und Wurzel 37
1.3.1 Potenzen 37
1.3.2 Potenzgesetze 38
1.3.3 Wurzeln 38
1.3.4 Binomischer Satz 39
1.4 Trigonometrie 41
1.4.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck 41
1.4.2 Winkel im Grad- und Bogenmaß 43
1.4.3 Sinus- und Kosinussatz 44
1.5 Gleichungen und Ungleichungen 45
1.5.1 Lineare Gleichungen 46
1.5.2 Potenzgleichungen 47
1.5.3 Quadratische Gleichungen 47
1.5.4 Wurzelgleichungen 49
1.5.5 Ungleichungen 50
1.6 Beweise 52
1.6.1 Direkter Beweis 53
1.6.2 Indirekter Beweis 53
1.6.3 Konstruktiver Beweis 54
1.6.4 Vollständige Induktion 55
1.7 Aufgaben 57
2 Lineare Gleichungssysteme 62
2.1 Einführung 62
2.2 Gauß-Algorithmus 64
2.2.1 Äquivalenzumformungen 65
2.2.2 Vorwärtselimination 66
2.2.3 Rückwärtseinsetzen 67
2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren 68
2.2.5 Rechenschema 69
2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme 71
2.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung 71
2.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen 72
2.3.3 Systeme mit redundanten Gleichungen 73
2.3.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme 74
2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme 75
2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme 76
2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern 78
2.4 Numerische Verfahren 80
2.4.1 Jacobi-Iteration 80
2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration 81
2.5 Anwendungen 82
2.5.1 Produktion 82
2.5.2 Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik 83
2.6 Aufgaben 84
3 Vektoren 86
3.1 Der Begriff eines Vektors 86
3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten 88
3.2.1 Addition und Subtraktion 88
3.2.2 Skalare Multiplikation 90
3.2.3 Skalarprodukt 91
3.2.4 Vektorprodukt 95
3.2.5 Spatprodukt 97
3.2.6 Lineare Unabhängigkeit 99
3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung 103
3.3.1 Koordinatendarstellung 104
3.3.2 Addition und Subtraktion 105
3.3.3 Skalare Multiplikation 106
3.3.4 Skalarprodukt 106
3.3.5 Vektorprodukt 108
3.3.6 Spatprodukt 110
3.3.7 Lineare Unabhängigkeit 110
3.4 Punkte, Geraden und Ebenen 113
3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem 113
3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen 115
3.4.3 Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen 117
3.4.4 Schnitte von Geraden und Ebenen 118
3.4.5 Abstände 120
3.4.6 Winkel 123
3.5 Anwendungen 125
3.5.1 Kraft 125
3.5.2 Arbeit 125
3.5.3 Drehmoment 126
3.6 Aufgaben 127
4 Matrizen 132
4.1 Der Begriff einer Matrix 132
4.2 Rechnen mit Matrizen 136
4.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation 137
4.2.2 Multiplikation von Matrizen 138
4.3 Determinanten 144
4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix 144
4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix 146
4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix 150
4.4 Inverse Matrix 153
4.4.1 Invertierbare Matrizen 154
4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix 155
4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem 156
4.4.4 Orthogonale Matrizen 156
4.5 Lineare Abbildungen 157
4.5.1 Matrizen als Abbildungen 157
4.5.2 Koordinatentransformation 158
4.5.3 Kern, Bild und Rang 160
4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 161
4.7 Numerische Verfahren 167
4.8 Anwendungen 168
4.9 Aufgaben 170
5 Funktionen 174
5.1 Relationen und Funktionen 174
5.1.1 Relationen 174
5.1.2 Funktionen 175
5.2 Reelle Funktionen 177
5.2.1 Definitionsmenge, Zielmenge und Wertemenge 177
5.2.2 Wertetabelle und Schaubild 179
5.2.3 Explizite und implizite Darstellung 181
5.2.4 Abschnittsweise definierte Funktionen 182
5.2.5 Funktionsschar 184
5.2.6 Verkettung von Funktionen 185
5.3 Eigenschaften 188
5.3.1 Symmetrie 189
5.3.2 Periode 192
5.3.3 Monotonie 193
5.3.4 Beschränktheit 194
5.4 Das Prinzip der Umkehrfunktion 195
5.5 Anwendungen 198
5.5.1 Messwerte 198
5.5.2 Kennfelder 199
5.6 Aufgaben 200
6 Elementare Funktionen 202
6.1 Potenz- und Wurzelfunktionen 202
6.1.1 Potenzfunktionen 202
6.1.2 Wurzelfunktionen 204
6.2 Polynome und gebrochenrationale Funktionen 205
6.2.1 Polynome 205
6.2.2 Gebrochenrationale Funktionen 213
6.3 Sinus, Kosinus, Tangens und Arkusfunktionen 221
6.3.1 Definition am Einheitskreis 221
6.3.2 Eigenschaften 222
6.3.3 Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion 225
6.3.4 Arkusfunktionen 227
6.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen 232
6.4.1 Exponentialfunktionen 232
6.4.2 Die e-Funktion 233
6.4.3 Logarithmusfunktionen 235
6.5 Hyperbel- und Areafunktionen 238
6.5.1 Hyperbelfunktionen 238
6.5.2 Areafunktionen 240
6.6 Anwendungen 241
6.6.1 Freileitungen 241
6.6.2 Industrieroboter 242
6.7 Aufgaben 243
7 Folgen, Grenzwerte und Stetigkeit 246
7.1 Folgen 246
7.1.1 Zahlenfolgen 246
7.1.2 Grenzwert einer Folge 250
7.2 Funktionsgrenzwerte 254
7.3 Stetigkeit 256
7.4 Asymptotisches Verhalten 261
7.5 Numerische Verfahren 265
7.5.1 Berechnung von Funktionswerten 266
7.5.2 Bisektionsverfahren 267
7.6 Anwendungen 269
7.7 Aufgaben 270
8 Differenzialrechnung 272
8.1 Steigung und Ableitungsfunktion 272
8.1.1 Tangente und Differenzierbarkeit 272
8.1.2 Differenzial 276
8.1.3 Ableitungsfunktion 276
8.1.4 Mittelwertsatz der Differenzialrechnung 280
8.1.5 Höhere Ableitungen 281
8.2 Ableitungstechnik 282
8.2.1 Ableitungsregeln 282
8.2.2 Ableitung der Umkehrfunktion 287
8.2.3 Logarithmisches Differenzieren 289
8.2.4 Implizites Differenzieren 290
8.2.5 Zusammenfassung 291
8.3 Regel von Bernoulli-de l'Hospital 292
8.4 Geometrische Bedeutung der 8.4 Ableitungen 296
8.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel 296
8.4.2 Monotonie 298
8.4.3 Krümmung 299
8.4.4 Lokale Extrema 300
8.4.5 Wendepunkte 304
8.4.6 Globale Extrema 305
8.5 Numerische Verfahren 306
8.5.1 Numerische Differenziation 307
8.5.2 Newton-Verfahren 308
8.5.3 Sekantenverfahren 310
8.6 Anwendungen 311
8.6.1 Fehlerrechnung 311
8.6.2 Extremwertaufgaben 313
8.6.3 Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit 315
8.7 Aufgaben 316
9 Integralrechnung 322
9.1 Flächenproblem 322
9.1.1 Integralsymbol 322
9.1.2 Integral als Grenzwert von Summen 323
9.1.3 Bestimmtes Integral 325
9.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral 326
9.2.1 Integralfunktion 326
9.2.2 Stammfunktion 328
9.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion 330
9.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung 331
9.3 Integrationstechnik 333
9.3.1 Integrationsregeln 333
9.3.2 Integration durch Substitution 337
9.3.3 Partielle Integration 344
9.3.4 Gebrochenrationale Funktionen 346
9.3.5 Uneigentliche Integrale 349
9.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen 352
9.4.1 Flächeninhalte 352
9.4.2 Bogenlänge 354
9.4.3 Rotationskörper 356
9.5 Numerische Verfahren 360
9.5.1 Trapezregel 361
9.5.2 Romberg-Verfahren 363
9.6 Anwendungen 363
9.6.1 Effektivwert 363
9.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen 364
9.7 Aufgaben 368
10 Potenzreihen 372
10.1 Unendliche Reihen 373
10.2 Potenzreihen und Konvergenz 377
10.3 Taylor-Reihen 378
10.4 Eigenschaften 380
10.5 Numerische Verfahren 386
10.6 Anwendungen 387
10.7 Aufgaben 388
11 Kurven 390
11.1 Parameterdarstellung 390
11.2 Kegelschnitte 393
11.3 Tangente 399
11.4 Krümmung 401
11.5 Bogenlänge 404
11.6 Numerische Verfahren 406
11.7 Anwendungen 408
11.7.1 Mechanik 408
11.7.2 Straßenbau 409
11.8 Aufgaben 411
12 Funktionen mit mehreren Variablen 414
12.1 Definition und Darstellung 414
12.1.1 Definition einer Funktion mit mehreren Variablen 414
12.1.2 Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen 415
12.1.3 Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien 415
12.2 Grenzwert und Stetigkeit 419
12.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen 419
12.2.2 Stetigkeit 420
12.3 Differenziation 421
12.3.1 Partielle Ableitungen und partielle Differenzierbarkeit 421
12.3.2 Differenzierbarkeit und Tangentialebene 424
12.3.3 Gradient und Richtungsableitung 426
12.3.4 Differenzial 429
12.3.5 Höhere partielle Ableitungen 432
12.3.6 Extremwerte 434
12.4 Ausgleichsrechnung 436
12.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate 436
12.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen 437
12.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung 441
12.5 Vektorwertige Funktionen 443
12.6 Numerische Verfahren 444
12.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren 444
12.6.2 Gradientenverfahren 446
12.7 Anwendungen 448
12.8 Aufgaben 450
13 Komplexe Zahlen und Funktionen 452
13.1 Definition und Darstellung 452
13.1.1 Komplexe Zahlen 452
13.1.2 Gaußsche Zahlenebene 453
13.1.3 Polarkoordinaten 454
13.1.4 Exponentialform 456
13.2 Rechenregeln 458
13.2.1 Gleichheit 458
13.2.2 Addition und Subtraktion 458
13.2.3 Multiplikation und Division 459
13.2.4 Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl 461
13.2.5 Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl 461
13.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome 463
13.3.1 Potenzen 464
13.3.2 Wurzeln 464
13.3.3 Fundamentalsatz der Algebra 467
13.4 Komplexe Funktionen 469
13.4.1 Ortskurven 470
13.4.2 Harmonische Schwingungen 471
13.4.3 Transformationen 475
13.5 Anwendungen 479
13.6 Aufgaben 480
14 Gewöhnliche Differenzialgleichungen 482
14.1 Einführung 482
14.1.1 Grundbegriffe 482
14.1.2 Anfangswert- und Randwertproblem 485
14.1.3 Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie 487
14.1.4 Differenzialgleichung und Funktionenschar 489
14.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung 490
14.2.1 Separation der Variablen 491
14.2.2 Lineare Substitution 493
14.2.3 Ähnlichkeitsdifferenzialgleichungen 494
14.3 Lineare Differenzialgleichungen 495
14.3.1 Homogene und inhomogene lineare Differenzialgleichungen 495
14.3.2 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung 498
14.3.3 Allgemeine Eigenschaften 502
14.3.4 Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 505
14.4 Schwingungsdifferenzialgleichungen 518
14.4.1 Allgemeine Form 518
14.4.2 Freie Schwingung 519
14.4.3 Harmonisch angeregte Schwingung 521
14.4.4 Frequenzgänge 525
14.5 Differenzialgleichungssysteme 527
14.5.1 Eliminationsverfahren 527
14.5.2 Zustandsvariablen 529
14.5.3 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten 531
14.5.4 Lineare Differenzialgleichung als System 537
14.5.5 Stabilität 539
14.6 Numerische Verfahren 543
14.6.1 Polygonzugverfahren von Euler 543
14.6.2 Euler-Verfahren für Differenzialgleichungssysteme 545
14.7 Anwendungen 546
14.7.1 Temperaturverlauf 546
14.7.2 Radioaktiver Zerfall 546
14.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand 547
14.7.4 Feder-Masse-Schwinger 548
14.7.5 Pendel 549
14.7.6 Wechselstromkreise 549
14.8 Aufgaben 552
15 Differenzengleichungen 558
15.1 Lineare Differenzengleichungen 558
15.1.1 Differenzengleichungen erster Ordnung 560
15.1.2 Differenzengleichungen höherer Ordnung 562
15.2 Systeme linearer Differenzengleichungen 566
15.2.1 Homogene Systeme erster Ordnung 567
15.2.2 Inhomogene Systeme erster Ordnung 569
15.2.3 Asymptotisches Verhalten 570
15.3 Anwendungen 572
15.4 Aufgaben 573
16 Fourier-Reihen 574
16.1 Fourier-Analyse 574
16.1.1 Periodische Funktionen 574
16.1.2 Trigonometrische Polynome 576
16.1.3 Fourier-Reihe 578
16.1.4 Satz von Fourier 579
16.1.5 Gibbssches Phänomen 582
16.2 Komplexe Darstellung 584
16.2.1 Komplexe Fourier-Reihe 584
16.2.2 Berechnung komplexer Fourier-Koeffizienten 586
16.2.3 Spektrum 588
16.2.4 Minimaleigenschaft 591
16.3 Eigenschaften 593
16.3.1 Symmetrie 593
16.3.2 Integrationsintervall 594
16.3.3 Mittelwert 595
16.3.4 Linearität 595
16.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr 597
16.3.6 Zeitverschiebung 598
16.4 Aufgaben 600
17 Verallgemeinerte Funktionen 602
17.1 Heaviside-Funktion 602
17.2 Dirac-Distribution 604
17.3 Verallgemeinerte Ableitung 606
17.4 Faltung 608
17.5 Anwendungen 612
17.6 Aufgaben 613
18 Fourier-Transformation 614
18.1 Integraltransformation 614
18.1.1 Definition 614
18.1.2 Darstellung mit Real- und Imaginärteil 616
18.1.3 Sinus- und Kosinustransformation 618
18.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen 619
18.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase 621
18.2 Eigenschaften 622
18.2.1 Linearität 623
18.2.2 Zeitverschiebung 624
18.2.3 Amplitudenmodulation 626
18.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr 628
18.3 Inverse Fourier-Transformation 629
18.3.1 Definition 629
18.3.2 Vertauschungssatz 631
18.3.3 Linearität 632
18.4 Differenziation, Integration und Faltung 632
18.4.1 Differenziation im Zeitbereich 632
18.4.2 Differenziation im Frequenzbereich 634
18.4.3 Multiplikationssatz 634
18.4.4 Integration 635
18.4.5 Faltung 636
18.5 Periodische Funktionen 636
18.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe 637
18.5.2 Koeffizienten der Fourier-Reihe 637
18.5.3 Grenzwertbetrachtung 639
18.6 Anwendungen 641
18.6.1 Lineare zeitinvariante Systeme 641
18.6.2 Tiefpassfilter 643
18.7 Aufgaben 645
19 Laplace-Transformation 648
19.1 Bildbereich 648
19.1.1 Definition 648
19.1.2 Laplace- und Fourier-Transformation 651
19.2 Eigenschaften 652
19.2.1 Linearität 652
19.2.2 Ähnlichkeit 653
19.2.3 Zeitverschiebung 654
19.2.4 Dämpfung 655
19.3 Differenziation, Integration und Faltung 656
19.3.1 Differenziation 656
19.3.2 Integration 658
19.3.3 Faltung 659
19.3.4 Grenzwerte 660
19.4 Transformation periodischer Funktionen 660
19.5 Rücktransformation 662
19.6 Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen 663
19.7 Anwendungen 669
19.8 Aufgaben 672
20 z-Transformation 674
20.1 Transformation diskreter Signale 674
20.1.1 Definition 674
20.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation 676
20.2 Eigenschaften 677
20.2.1 Linearität 677
20.2.2 Dämpfung 677
20.2.3 Verschiebung 678
20.2.4 Vorwärtsdifferenzen 679
20.2.5 Multiplikationssatz 680
20.2.6 Diskrete Faltung 681
20.3 Lösung von Differenzengleichungen 683
20.4 Anwendungen 686
20.5 Aufgaben 688
21 Elementare Zahlentheorie 690
21.1 Teilbarkeit 690
21.2 Kongruente Zahlen 694
21.3 Primzahlen 699
21.4 Anwendungen 703
21.4.1 International Bank Account Number (IBAN) 703
21.4.2 Linearer Kongruenzgenerator für Pseudozufallszahlen 704
21.5 Aufgaben 705
A Anhang 706
A.1 Bedeutende Mathematiker 706
A.2 Trigonometrische Funktionen 725
A.3 Ableitungen 726
A.4 Ableitungsregeln 726
A.5 Integrale 727
A.6 Integralregeln 728
A.7 Potenzreihen 728
A.8 Fourier-Reihen 729
A.9 Korrespondenzen der Fourier-Transformation 731
A.10 Eigenschaften der Fourier-Transformation 733
A.11 Korrespondenzen der Laplace-Transformation 734
A.12 Eigenschaften der Laplace-Transformation 735
A.13 Korrespondenzen der z-Transformationen 736
A.14 Eigenschaften der z-Transformationen 736
A.15 Griechisches Alphabet 737
Literaturverzeichnis 738
Sachwortverzeichnis 740