Prüfungstrainer Analysis

Dr. Rolf Busam ist Co-Autor eines erfolgreichen Lehrbuchs über Funktionentheorie, des Lehrbuchs Grundwissen Mathematikstudium und eines weiteren Prüfungstrainers (über Lineare Algebra).Während seiner langjährigen Lehrtätigkeit als Akademischer Direktor an der Fakultät für Mathematik und Informatik der Universität Heidelberg liegt sein Interessenschwerpunkt in der komplexen Analysis und der Analytischen Zahlentheorie. Ferner ist ihm die Lehreraus- und -weiterbildung ein besonderes Anliegen.

Thomas Epp hat an der HU Berlin Mathematik und Philosophie studiert und arbeitet als Content-Developer für eine Mathematik-Plattform.

Vorwort
1 Die Systeme der reellen und komplexen Zahlen
1.1 Axiomatische Einführung der reellen Zahlen
1.2 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion
1.3 Die ganzen und rationalen Zahlen
1.4 Der Körper der komplexen Zahlen
1.5 Die Standardvektorräume Rn und Cn
1.6 Einige wichtige Ungleichungen
2 Folgen reeller und komplexer Zahlen
2.1 Definitionen, Beispiele, grundlegende Feststellungen
2.2 Permanenzeigenschaften (Rechenregeln) für konvergente Folgen
2.3 Prinzipien der Konvergenztheorie
3 (Unendliche) Reihen
3.1 Definitionen und erste Beispiele
3.2 Konvergenzkriterien für reelle Reihen
3.3 Reihen mit beliebigen Gliedern - absolute Konvergenz
3.4 Umordnung von Reihen, Reihenprodukte
3.5 Elementares über Potenzreihen
3.6 Der große Umordnungssatz
4 Stetigkeit, Grenzwerte von Funktionen
4.1 Grundbegriffe
4.2 Stetigkeit
4.3 Grenzwerte bei Funktionen
5 Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Potenzreihen
5.1 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz
5.2 Potenzreihen
6 Elementare (transzendente) Funktionen
6.1 Die komplexe Exponentialfunktion
6.2 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen
6.3 Natürlicher Loagrithmus und allgemeine Potenzen
6.4 Die Umkehrfunktionen der der trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen
7 Grundlagen der Integral- und Differenzialrechnung
7.1 Das Integral für Treppenfunktionen und Regelfunktionen
7.2 Grundlagen der Differenzialrechnung
7.3 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
7.4 Integrationstechniken
8 Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung
8.1 Taylor'sche Formel und Taylorreihen
8.2 Fixpunktiteration und Newton-Verfahren
8.3 Interpolation und einfache Quadraturformeln
8.4 Uneigentliche Integrale, T-Funktion
8.5 Bernoulli'sche Polynome und -Zahlen, Euler'sche Summenformel
8.6 Fourierreihen (Einführung in die Theorie)
8.7 Differenzierbare Kurven und ihre Geometrie
9 Metrische Räume und ihre Topologie
9.1 Grundbegriffe
9.2 Konvergenz, Cauchy-Folgen, Vollständigkeit
9.3 Stetigkeit, gleichmäßige Konvergenz, stetige Fortsetzbarkeit, Grenzwerte
9.4 Kompaktheit, stetige Funktionen auf kompakten Räumen
9.5 Wege, Zusammenhangsbegriffe
9.6 Der Satz von Stone-Weierstraß
10 Differenzialrechnung in mehreren Variablen
10.1 Partielle Ableitungen
10.2 Höhere partielle Ableitungen, Satz von Schwarz
10.3 (Totale) Differenzierbarkeit, Kettenregel
10.4 Differenzierbarkeit in C, Cauchy-Riemann'sche Differenzialgleichungen
10.5 Lokale Extremwerte, Taylor'sche Formel.
10.6 Der lokale Umkehrsatz
10.7 Der Satz über implizite Funktionen
10.8 Untermannigfaltigkeiten im Rn
10.9 Extrema unter Nebenbedingungen, Lagrange'sche Multiplikatoren
11 Integralrechnung in mehreren Variablen
11.1 Parameterabhängige und n-fache Integrale
11.2 Das Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger
11.3 Fortsetzung des Integrals auf halbstetige Funktionen
11.4 Berechnung von Volumina einiger kompakter Mengen
11.5 Die Lebesgue-integrierbaren Funktionen
11.6 Die Grenzwertsätze von Beppo Levi und Lebesgue
11.7 Nullmengen und fast überall geltende Eigenschaften
11.8 Der Banachraum
L1 und der Hilbertraum
L2
11.9 Parameterabhängige Integrale, Fouriertransformierte
11.10 Die Transformationsformel für Lebesgue-integrierbare Funktionen
11.11 Integration über Untermannigfaltigkeiten im Rn
12 Vektorfelder, Kurvenintegrale, Integralsätze
12.1 Vektorfelder, Kurvenintegrale, 1-Formen
12.2 Die Integralsätze von Gauß und Stokes
Literaturverzeichnis
Symbolverzeichnis
Namen- und Sachverzeichnis