Statistik für Ausfalldaten (eBook)

Prof. Dr. Gisela Härtler, Berlin

Vorwort 5
Inhaltsverzeichnis 8
Abkürzungen 11
1 Einführung 17
1.1Anliegen und Gegenstand der Zuverlässigkeitstechnik 17
1.2Schlussweisen der Mathematischen Statistik 22
1.3Typische Datenerfassungen, Wahrscheinlichkeitsmodelle und statistische Methoden 24
1.3.1Nicht reparierbare Objekte mit Totalausfällen 25
1.3.2Reparierbare Objekte mit Totalausfällen 26
1.3.3Nicht reparierbare Objekte mit Driftausfällen 28
1.4Beschleunigte Tests 29
Literatur 31
2 Wahrscheinlichkeitsmodelle 32
2.1Zufälliges Ereignis und Wahrscheinlichkeit 32
2.2Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten 35
2.3Totale Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes 36
2.4Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung 37
2.4.1Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 37
2.4.2Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen 38
2.4.3Charakterisierung von Zufallsveränderlichen 39
2.5Wichtige diskrete Verteilungen 42
2.5.1Binomialverteilung 42
2.5.2Poisson-Verteilung 43
2.6Wichtige kontinuierliche Verteilungen 44
2.6.1Normalverteilung 44
2.6.2Chi-Quadrat-Verteilung 46
2.6.3Rechteckverteilung 47
2.6.4Betaverteilung 48
2.6.5Verteilung geordneter Stichprobenwerte 50
2.6.6Asymptotische Extremwertverteilungen 52
2.7Mehrdimensionale Zufallsveränderliche 55
2.8Regressionsmodell 60
Literatur 62
3 Wahrscheinlichkeitsmodelle der Zuverlässigkeit 63
3.1Ausfallrate 63
3.2Lebensdauerverteilungen 68
3.2.1Exponentialverteilung 68
3.2.2Weibull-Verteilung 71
3.2.3Gammaverteilung 73
3.2.4Logarithmische Normalverteilung 74
3.3Verallgemeinerte Lebensdauerverteilungen 78
3.3.1Verallgemeinerte Weibull-Verteilung 78
3.3.2Verallgemeinerte Gammaverteilung 78
3.4Mischungen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen 79
3.5Klassen von Lebensdauerverteilungen 80
Literatur 82
4 Konzepte der Statistik 83
4.1Daten und Modell in Wahrscheinlichkeitsrechnung, klassischer und Bayes-Statistik 84
4.1.1Wahrscheinlichkeitsrechnung: Schluss vom Modell auf die Stichprobe 86
4.1.2Statistik: Schluss von der Stichprobe auf das Modell 87
4.1.3Bayes-Statistik: Schluss von den Daten auf die zufälligen Modellparameter 89
4.2Stichproben und Stichprobenfunktionen 90
4.2.1Stichprobe 91
4.2.2Stichproben in der Zuverlässigkeitstechnik 91
4.2.3Stichprobenfunktionen 92
4.3Aufgabenstellungen und Methoden der Mathematischen Statistik 93
4.3.1Schätztheorie 93
4.3.2Annahmetests: Testen einer Hypothese über unbekannte Parameter 96
4.3.3Anpassungstests: Testen des Wahrscheinlichkeitsmodells 100
4.4Likelihood-Prinzip 101
4.4.1Punktschätzung für vollständige Stichproben 101
4.4.2Punktschätzung für zensierte Stichproben 103
4.4.3Intervallschätzung 104
4.4.4Relative Likelihood-Funktion und angenäherte Vertrauensintervalle 105
4.4.5Profillinien für mehrere Parameter 107
4.5Methode der Kleinsten Quadrate 109
4.6Lineare Schätzung: Parameterschätzung in LS-Verteilungen 113
4.7Grafische lineare Parameterschätzung 115
4.8Bootstrap 118
4.9Bayes-Statistik 122
Literatur 123
5 Nicht reparierbare Objekte mit Totalausfällen 125
5.1Parameterfreie Datenanalyse 126
5.1.1Punktschätzung einer Ausfallwahrscheinlichkeit 127
5.1.2Vertrauensintervalle 129
5.1.3Vergleich von zwei Stichproben 130
5.1.3.1 Vergleich von zwei Wahrscheinlichkeiten 130
5.1.3.2 Vergleich von zwei Verteilungen 130
5.2Parametrische Datenanalyse 131
5.2.1Exponentialverteilung 132
5.2.1.1 Maximum-Likelihood-Punktschätzung 132
5.2.1.2 Vertrauensintervalle 133
5.2.1.3 Testen einer konstanten Ausfallrate 134
5.2.1.4 Anpassungstests für die Exponentialverteilung 140
5.2.2Weibull-Verteilung 144
5.2.2.1 Grafische Verfahren 145
5.2.2.2 Maximum-Likelihood-Schätzung 153
Literatur 157
6 Reparierbare Objekte mit Totalausfällen 159
6.1Parameterfreie Datenauswertung 162
6.2Parametrische Datenauswertung 166
6.2.1Konstante Ausfallintensität (HPP) 166
6.2.1.1 Parameterschätzung 166
6.2.1.2 Test einer konstanten Ausfallintensität 168
6.2.1.3 Sequenzielle Tests 169
6.2.1.4 Anpassungstests 169
6.2.2Nicht konstante Ausfallintensität (NPP) 172
Literatur 173
7 Nicht reparierbare Objekte mit Driftausfällen 174
7.1Degradation und lineare Regression 176
7.2Benötigte Daten 180
7.3Kritischer Blick auf die Daten 181
7.4Überschreitungswahrscheinlichkeit der Toleranzgrenze 184
7.4.1Ein Parameter und lognormalverteilte Schätzwerte 185
7.4.2Zwei Parameter und zweidimensionale Normalverteilung 186
7.4.3Allgemeiner Fall 188
Literatur 188
8 Beschleunigte Tests 189
8.1Allgemeines 190
8.2Beschleunigungs- oder Zeitraffungsfaktor 193
8.2.1Verteilungen vom LS-Typ 194
8.2.2MLS der Parameter von LS-Verteilungen 195
8.3Temperatureinfluss: Arrhenius-Modell im ALT 196
8.4Temperatureinfluss: Arrhenius-Modell im ADT 198
8.5Inverses Power-Rule-Modell 199
8.6Eyring-Modell und seine Verallgemeinerung 200
Literatur 201
Stichwortverzeichnis 202