Alles Mathematik (eBook)

Prof. Dr. Martin Aigner, Fachbereich Mathematik, Freie Universität BerlinProf. Dr. Ehrhard Behrends, Fachbereich Mathematik, Freie Universität Berlin 

Einleitung 5
Einleitung zur zweiten Auflage 6
Einleitung zur dritten Auflage 6
Einleitung zur vierten Auflage 7
Inhalt 8
Prolog 11
Mathe wird Kult – Beschreibung einer Hoffnung 12
Konkrete Fallstudien 14
Die Mathematik der Compact Disc 15
Wörter und Codes 15
Ein einfaches Beispiel 15
Von Musik zu Audiobits 17
Reed–Solomon-Codes 18
Die Compact Disc 22
Literatur 23
Therapieplanung an virtuellen Krebspatienten 24
Hyperthermie, eine neue Krebstherapie 24
Von der klinischen Wirklichkeit zum mathematischen Modell 25
Vom mathematischen Modell zum virtuellen Labor 28
Zusammenfassung 33
Literatur 33
Bildverarbeitung und Visualisierung für die Operationsplanung am Beispiel der Leberchirurgie 35
1 Einleitung 35
2 Medizinischer Hintergrund 36
3 Architektur eines Systems zur Operationsplanung 38
4 Leber- und Tumorsegmentierung 38
5 Gefäßsegmentierung und -analyse 41
6 Visualisierung und Exploration der analysierten Daten 45
7 Zusammenfassung 48
8 Ausblick 48
Literatur 49
Big Data – Die Analyse großer Datenmengen in derMedizin 50
1 Was wäre möglich? 50
2 Die moderne Evidenz-basierte Medizin 51
3 Von Small-Data zu Big-Data 52
4 Big Data in der Medizin 54
5 Probleme bei der Big Data Analyse 55
6 Andere Ansätze für Big Data Analyse 58
7 Mathematische Formulierung 59
8 Grundlagen zur Lösung des Minimierung-Problems 60
9 Zurück zur Medizin – Interpretation der Lösung 63
10 Fazit: Die Hoffnung der medizinischen Big Data Analyse 65
11 Ausblick: Modellbildung durch wissens-basierte Regularisierung 66
Der schnellste Weg zum Ziel 67
1 Historische Ouvertüre 67
2 Kombinatorik der kürzesten Wege 73
2.1 Nahverkehr und Graphentheorie 73
2.2 Auf den Spuren des Zufalls 76
2.3 Münchhausen versus Archimedes 77
2.4 Arbeitszeitgesetz für Algorithmen 81
2.5 Beschränkte Ressourcen 84
3 Kombinationen von Wegen 86
3.1 Dienstplanung Light 86
3.2 Dienste und Wege 88
3.3 Set Partitioning Modelle 89
3.4 Pläne = Pfade + Preise + Programme 90
4 Ausblick 93
5 Weiterführende Literatur 94
6 Auflösungen der Fragen 95
Romeo und Julia, spontane Musterbildung und Turings Instabilität 97
1 Turing träumt 97
2 Romeo und Julia 98
3 Roberto und Julietta 100
4 Wenn Schwestern schwatzen . . . 101
5 . . . und Brüder prahlen 106
6 Turings Theorem 109
7 Mathematische Zusammenfassung 111
8 Ausblick 112
Literatur 115
Mathematik und intelligente Materialien 116
Mathematik als Schlüsseltechnologie 116
Metalle mit Gedächtnis 116
Gedächtnis und Mikrostruktur 117
Überall Mikrostrukturen 119
Mikrostrukturen als optimale Formen 120
Der mathematische Zufall hilft – Youngsche Maße 122
Design neuer Materialien durch Mathematik 123
Zukünftige Herausforderungen: Multiskalenmathematik oder der Brückenschlag von Atomen zu Materialien 124
Proteinfaltung, rauhe Energielandschaften und Optimierung 126
Literatur 127
Diskrete Tomographie: Vom Schiffeversenken bis zur Nanotechnologie 128
Vom Blick in den menschlichen Körper 128
Unter der Schulbank 129
Einteilung von Arbeitskräften und Datensicherheit 134
Über die Rekonstruktion kristalliner Strukturen 135
Eindeutigkeitssätze 139
Komplexität und Algorithmen 144
Stabilität 145
Blicke in die Unendlichkeit 148
Kindheitserinnerungen 148
1 Gute Winkel, schlechte Winkel 148
2 One, two, three . . . infinity 150
3 Kaleidoskope – Schönschauer 151
4 Zahlenspiele 153
5 Lichtbillard, Anti-Tarnboote und Egoistenspiegel 155
6 Der perfekte Vitrinenschrank 157
7 Weg vom rechtenWinkel 158
8 Platonische Schönheiten 161
9 Weihnachts-Chaos 163
10 Kreise spiegeln 164
11 Eine neue Welt 166
12 Bis zur Unendlichkeit und noch viel weiter 169
13 Lese- und Surftips 172
Themen in der aktuellen Diskussion 174
Die Rolle der Mathematik auf den Finanzmärkten 175
Literatur 188
Mit Mathematik die Datenflut beherrschen? 189
1 Welche Rolle spielt die Mathematik? 190
2 Der Informationsgehalt von Daten 191
3 Transformationen aus der Angewandten Harmonischen Analysis 192
4 Warum nicht gleich weniger Daten akquirieren? 194
5 Anwendungen von Compressed Sensing 197
Literaturverzeichnis 198
Elektronisches Geld. Ein Ding der Unmöglichkeit oder bereits Realität? 199
1 Einleitung 199
2 Was ist Geld? 199
3 Kryptographische Mechanismen 200
4 Elektronisches Geld: Das Grundschema 203
5 Einmaligkeit 204
6 Zusatzeigenschaften 205
6.1 Übertragbarkeit 205
6.2 Teilbarkeit 206
6.3 Fairness 206
Fazit 207
Literatur 208
Kugeln im Computer – die Kepler-Vermutung 209
Eine ganz harte Nuss 209
In der Ebene 212
In die dritte Dimension 220
Eine skandalöse Situation 225
Ein Kochrezept? 226
Computer versus Kepler 230
Probleme, Probleme 232
Literatur 235
Wie rechnen Quanten? Die neue Welt der Quantencomputer 237
1 Warum sind Primzahlen in der Kryptographie wichtig? 238
2 Eine mathematische Vorbereitung: Periodenlängen 239
3 Etwas Quantenmechanik 242
4 Qbits: Die Bausteine eines Quantencomputers 243
5 Wie faktorisiert man mit einem Quantencomputer große Zahlen? 245
6 Zusammenfassung 247
Literatur 248
Der große Satz von Fermat – die Lösung eines 300 Jahre alten Problems 249
1 Einführung 249
2 Wie stieß Fermat auf seine Vermutung? 250
3 Die Zeit zwischen 1637 und 1980 251
4 Die drei Welten 253
5 Die Brücken zwischen den drei Welten 256
6 Die Anti-Fermat-Welt existiert nicht 257
Literatur 259
Eine kurze Geschichte des Nash-Gleichgewichts 260
Hat Sherlock Holmes eine Chance? 260
Die Kunst des Bluffens 261
Maximin-Lösungen 264
Das Gleichgewicht von Nash 265
Ideen aus der Evolutionstheorie 266
Das Gefangenendilemma 268
Wie Du mir, so ich Dir 269
Altruismus versus Eigennutz 271
Die Qual der Wahl – die Mathematik des Wählens 275
1 Präferenzen: Was heißt eigentlich „besser“? 275
2 Lösungsvorschläge 277
2.1 Mehrheitswahl 277
2.2 Iterative Mehrheitswahl 278
2.3 Die Borda-Methode 278
2.4 Condorcet: Intransitivitäten auflösen 280
2.5 Weitere Vorschläge 282
3 Es gibt keine befriedigende Lösung: Der Satz von Arrow 283
4 Wie kann der Wählerwille gerecht verteilt werden? 284
5 Die deutsche Annäherung an das Gerechtigkeits-Ideal 288
Literaturverzeichnis 290
Mathematik im Klima des globalen Wandels 291
Warum Klima- und Klimafolgenforschung? 291
Komplexitäten 293
„Textaufgaben“ 297
Multiple Skalen 300
Näherungslösungen und fehlende Gitterpunkte 302
Mehrskalenasymptotik für den Oszillator mit kleiner Masse und Dämpfung 305
Wirbelstürme: Ein Beispiel für Mehrskalenphänomene 309
Abschließendes 312
Literatur 313
Der rote Faden 315
Primzahlen, geheime Codes und die Grenzen der Berechenbarkeit 316
1 Primzahlen 316
2 Geheime Codes 319
3 Grenzen der Berechenbarkeit 322
Literatur 324
Die Mathematik der Knoten 325
Zur Geschichte 325
Von wilden und zahmen Knoten und der Suche nach dem richtigen mathematischen Begriff 329
Polygonale Knoten. Der Zugang von Reidemeister zur Knotentheorie 334
Es gibt echte Knoten 337
Einige Knotenfamilien 343
Von den Seifenblasen 350
Literatur und Bildnachweise 360
Blasencluster und Polyeder 361
Wärmeleitung, die Struktur des Raumes und die Poincaré-Vermutung 372
1 Einleitung 372
2 Geometrie und Topologie von Flächen 374
3 Geometrie und Topologie dreidimensionaler Räume 389
4 Wärmeleitung und die Geometrie von Kurven 399
5 Riccifluss, Geometrisierung und die Poincaré-Vermutung 403
6 Schlusswort 413
Literatur 414
Zufall und Mathematik: Eine späte Liebe 416
1 Wie fing es an? 416
2 Wie macht man es heute? 417
3 Wichtige Konzepte 420
4 Glücksspiel 423
5 Der Zufall verliert sich im Unendlichen 426
6 Die produktive Rolle des Zufalls 428
7 Der Zufall im Mikrokosmos 430
8 Philosophisches 432
Epilog 434
Empirische Mathematik: Die Methode (!) „Rate und Prüfe“ 435
Der siebenjährige Gauß 435
Physikalische Induktion und mathematische Deduktion 436
Die Evolution hat uns nicht vorbereitet für logisches Schließen und strenge Beweisführung 436
Die kulturelle Evolution der Mathematik hat uns nicht vorbereitet, Computer optimal zu nutzen 437
Ein altes Rätsel 437
Küchengeheimnisse 441
Was ist eine gute Antwort? 442
Zurück ins Casino 445
Der allgemeine Fall 445
Zwei und mehr Dimensionen 446
Maple Pakete und einige Eingaben- und Ausgabenfiles 447
Wie man Muster erkennt 448
Es ist Zeit, klassische und empirische Mathematik gleichberechtigt nebeneinander zu stellen 449
Literatur 449
Intuition versus logische Strenge 451
1 Am Anfang war die Intuition 451
2 Dann kamen die Griechen 453
3 Intuition und logische Strenge Seite an Seite 454
4 Logische Strenge übernimmt die Führung 456
5 Dann kamen die elektronischen Computer 459
6 Bemerkungen und Beispiele 460
7 Was erwartet uns in Zukunft? 461
Literatur 464
Autoren 465