Statistik (eBook)

lt;P>Bernd Jäger, Universität Greifswald; Paul Eberhard Rudolph, Rostock.

Inhalt?????????????????????????? 5
Vorwort???????????????????????????? 11
1. Erzeugung von Zufallszahlen undMonte-Carlo-Experimente???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 15
1.1 MID-Square-Methode von John von Neumann???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 15
1.2 Erzeugung gleichverteilter Zufallszahlen durch Restklassenoperationen???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 19
1.2.1 Restklassenoperationen und die stetige Gleichverteilung???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 19
1.2.2 MultiplikativerGenerator von Coveyou und MacPherson???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 22
1.2.3 Additiver Zufallszahlengenerator (Fibonacci-Generator)?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 24
1.2.4 Gemischter Zufallszahlengenerator???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 27
1.2.5 Quadratischer Blum-Blum-Shub-Zufallszahlengenerator???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 29
1.2.6 RANDU – ein besonders schlechter Zufallszahlengenerator???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 30
1.3 Zufallszahlengeneration mit Schieberegistern?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 33
1.3.1 Allgemeines feedback shift register (GFSR)?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 33
1.3.2 Twisted GFSR-Generatoren(TGFSR)???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 35
1.3.3 Mersenne-Twister?????????????????????????????????????????????????????????? 38
1.4 Erzeugung von Zufallszahlen mit beliebiger Verteilung???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 40
1.4.1 Methode der Transformation der Verteilungsfunktion?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 40
1.5 Erzeugung gleichverteilter Zufallszahlen mit irrationalen Generatoren???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 47
1.5.1 Generatoren,die auf einem Satz vonWeyl beruhen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 47
1.5.2 Van der Corput-Folgen???????????????????????????????????????????????????????????????????? 50
1.5.3 Irrationaler Zufallszahlengenerator von Shuhai Li und YuminWang???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 52
1.6 Erzeugung von normal verteilten Zufallszahlen???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 54
1.6.1 Methode nach dem großen Grenzwertsatz der Statistik???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 55
1.6.2 Polar-Methode von Marsaglia???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 56
1.7 Monte-Carlo-Methode???????????????????????????????????????????????????????????? 58
1.7.1 Nadelexperiment von Buffon?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 58
1.7.2 Experimentelle Berechnung der Zahl Pi???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 61
1.7.3 Monte-Carlo-Volumenbestimmung für Kegel, Kugel und Zylinder???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 63
1.7.4 Näherungsweise Berechnung von bestimmten Integralen???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 65
1.7.5 Bestimmung des Ellipsenumfangs?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 69
1.7.6 VerbesserteMonte-Carlo-Berechnung bestimmter Integrale nach Sobol???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 72
1.8 Zufallszahlenerzeugung im Softwaresystem SAS?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 75
1.8.1 RANUNI- und UNIFORM-Funktion in SAS???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 75
1.8.2 Erzeugung von Zufallszahlen mit anderen Verteilungen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 75
2. Spielexperimente???????????????????????????????????????????????????? 77
2.1 Würfelexperimentmit einem gewöhnlichen Spielwürfel?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 77
2.1.1 Gewöhnlicher Spielwürfel?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 77
2.1.2 GezinkterWürfel???????????????????????????????????????????????????????? 81
2.2 Würfeln mit zwei Würfeln?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 83
2.2.1 Augensumme von zwei Würfeln???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 83
2.2.2 Maximumund Minimumder Augenzahlen zweierWürfel?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 86
2.2.3 Produkt der Augenzahlen zweier Würfel???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 88
2.3 Wurfanzahl mit einem gewöhnlichen Spielwürfel, bis erstmals eine 6 fällt?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 90
2.4 Wähle dein Glück?????????????????????????????????????????????????????? 93
2.5 Yahtzee oder Kniffel?????????????????????????????????????????????????????????????? 96
2.6 Lotto-Spiel 6 aus 49?????????????????????????????????????????????????????????????? 101
2.7 Klassisches Pokerspiel?????????????????????????????????????????????????????????????????? 104
2.8 Wie man beim Spiel Schnick-Schnack-Schnuck gewinnt?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 107
2.9 VomWerfen einerMünze zumARC-SINUS-Gesetz?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 112
3. Wahrscheinlichkeitsfunktionen, Dichten, Verteilungen???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 117
3.1 Urnenmodelle?????????????????????????????????????????????? 117
3.1.1 Binomialmodell?????????????????????????????????????????????????????? 118
3.1.2 Polynomialmodell?????????????????????????????????????????????????????????? 124
3.1.3 HypergeometrischesModell?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 130
3.2 Erzeugung von normalverteilten Zufallszahlen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 133
3.2.1 Normalverteilungen N(?, ?2) 133
3.2.2 Erzeugung von zweidimensional normalverteilten Zufallszahlen mit vorgegebenem Erwartungswertvektor und vorgegebener Kovarianzstruktur???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 136
3.3 Prüfverteilungen?????????????????????????????????????????????????????? 144
3.3.1 ?2-Verteilung???????????????????????????????????????????????????? 144
3.3.2 t-Verteilung?????????????????????????????????????????????????? 148
3.3.3 F-Verteilung?????????????????????????????????????????????????? 150
3.3.4 Kolmogorov-Smirnov-Verteilung???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 153
3.4 Wichtige Verteilungen???????????????????????????????????????????????????????????????? 157
3.4.1 Poisson-Verteilung („Verteilungder seltenen Ereignisse“)?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 157
3.4.2 Cauchy-Verteilung???????????????????????????????????????????????????????????? 163
3.4.3 Betaverteilung?????????????????????????????????????????????????????? 165
3.4.4 Pareto-Verteilung???????????????????????????????????????????????????????????? 169
3.4.5 Gammaverteilung???????????????????????????????????????????????????????? 172
3.4.6 Weibull-Verteilung?????????????????????????????????????????????????????????????? 176
3.4.7 Laplace-Verteilung?????????????????????????????????????????????????????????????? 178
3.4.8 Maxwell-Verteilung?????????????????????????????????????????????????????????????? 180
3.4.9 Inverse Gauß-Verteilung oderWald-Verteilung???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 181
3.4.10 Erlang-Verteilung?????????????????????????????????????????????????????????????? 185
3.4.11 Logistische Verteilung???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 187
3.4.12 Wichtige in SAS verfügbare Verteilungen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 190
4. Punktschätzungen???????????????????????????????????????????????????? 193
4.1 Stichprobe und Stichprobenfunktion?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 193
4.2 Momentenmethode als Punktschätzung für Verteilungsparameter???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 194
4.2.1 Einführung der Momentenmethode an einem Beispiel?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 194
4.2.2 Genauigkeit der Schätzwerte und Verteilungder Schätzungen???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 197
4.2.3 Weitere Beispiele für Momentenschätzungen???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 200
4.3 Maximum-Likelihood-Schätzungen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 201
4.3.1 Einführungsbeispiel für eine diskrete Zufallsgröße?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 201
4.3.2 Einführungsbeispiel für eine stetige Zufallsgröße???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 202
4.3.3 Erwartungstreueund asymptotische Erwartungstreue von Punktschätzungen???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 203
4.3.4 Varianz und asymptotische Minimalvarianz von MLH-Punktschätzungen???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 207
4.4 EM-Algorithmus zur Schätzung von Allelfrequenzen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 210
4.4.1 Einleitung?????????????????????????????????????????????? 210
4.4.2 Herleitung des EM-Algorithmus für das AB0-Blutgruppensystem???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 211
4.4.3 EM-Algorithmus für 2-Allelen-Systeme?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 215
4.5 Sequenzielle Schätzung?????????????????????????????????????????????????????????????????? 218
4.5.1 Sequenzielle Schätzung des Binomialparameters p und ihre Eigenschaften?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 218
4.5.2 Erwartungswert und Varianz des zufälligen Stichprobenumfangs?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 220
4.5.3 Schätzungen für den Verteilungsparameter p der Binomialverteilung???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 222
4.6 Sequenzielle MLH-Schätzung für Allelfrequenzen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 230
4.6.1 Allelfrequenzschätzungen,wenn Allel B über A dominiert?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 230
4.6.2 Konfidenzintervalle für p = P(A), wenn Allel B über A dominiert???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 236
4.6.3 Sequenzielle Allelfrequenzschätzungen,wenn Allel A über B dominiert???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 237
4.6.4 Konfidenzschätzungen für p = P(A), wenn Allel A über B dominiert?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 239
4.7 Andere Verfahren zur Parameterbestimmung?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 240
4.7.1 Methode der kleinsten Quadrate (MKQ oder MLS)???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 240
4.7.2 Minimum-?2-Methode (MCHIQ)?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 241
5. Konfidenzschätzungen???????????????????????????????????????????????????????????? 243
5.1 Konfidenzintervalle für den Parameter ?der N(?, ?2)-Verteilungen 243
5.1.1 Konfidenzintervalle für ? bei bekannter Varianz ?2 243
5.1.2 Konfidenzintervalle für ? bei unbekannter und geschätzter Varianz s2 244
5.2 Konfidenzschätzung für den Median???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 245
5.3 Konfidenzintervalle für die Differenzen vonMedianen???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 248
5.3.1 Ungepaarter Fall?????????????????????????????????????????????????????????? 248
5.3.2 Gepaarter Fall?????????????????????????????????????????????????????? 249
5.4 Konfidenzintervall für den Parameter p der Binomialverteilung???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 250
5.4.1 Asymptotische Konfidenzintervalle für den Parameter p der Binomialverteilung?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 250
5.4.2 Exaktes Konfidenzintervall für den Parameter p der Binomialverteilung???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 253
5.4.3 Bewertung dreier Konfidenzintervalle für den Parameter p einer BinomialverteilungB(n, p)?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 254
5.4.4 Zusammenfassung und Empfehlung?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 255
5.5 Konfidenzintervalle für epidemiologische Risikomaße???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 256
5.5.1 Konfidenzintervalle für die Risikodifferenz RD?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 258
5.5.2 Konfidenzintervall für das relative Risiko RR???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 261
5.5.3 Konfidenzintervalle für den Chancenquotienten OR?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 263
5.6 Konfidenzschätzung für eine Verteilungsfunktion???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 275
5.7 Transformation von Konfidenzgrenzen???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 278
6. Statistische Tests???????????????????????????????????????????????????????? 281
6.1 Prinzip eines statistischen Tests???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 281
6.2 Einstichprobentests???????????????????????????????????????????????????????????? 282
6.2.1 Einstichprobentest für den Parameter p der Binomialverteilung???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 282
6.2.2 Einstichprobentest für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsgröße???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 283
6.2.3 Einstichproben-Trendtest nach Mann?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 284
6.3 Simulation einer Prüfgröße, dargestellt für den David-Test?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 286
6.3.1 Zielstellung?????????????????????????????????????????????????? 286
6.3.2 Einleitung?????????????????????????????????????????????? 287
6.3.3 Theoretische Beschreibung???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 288
6.3.4 Simulationsexperiment???????????????????????????????????????????????????????????????????? 290
6.3.5 Ergebnisse?????????????????????????????????????????????? 291
6.4 Zweistichprobentests für zentrale Tendenzen???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 295
6.4.1 Tests für verbundene Stichproben?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 295
6.4.2 Tests für unverbundene Stichproben?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 305
6.5 Tests zur Untersuchung der Gleichheit von Varianzen???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 318
6.5.1 Parametrischer F-Test, ein Test auf Gleichheit zweier Varianzen???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 318
6.5.2 Hartley-Test und Cochran-Test???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 322
6.5.3 Levene-Test???????????????????????????????????????????????? 326
6.5.4 Rangtest nach Ansari-Bradley-Freund für zwei Varianzen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 332
6.5.5 Rangtest nach Siegel und Tukey?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 334
6.5.6 Bartlett-Test auf Gleichheit der Varianzen?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 337
6.6 Tests für mehr als zwei Stichproben???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 339
6.6.1 Friedman-Test bei mehr als zwei verbundenen Stichproben???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 339
6.6.2 Nemenyi-Test?????????????????????????????????????????????????? 343
6.6.3 Page-Test???????????????????????????????????????????? 346
6.6.4 Kruskal-Wallis-Test für unabhängige Stichproben???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 349
6.7 ?2-Test für kategoriale Daten 352
6.7.1 ?2-Test als Anpassungstest 353
6.7.2 ?2-Test alsMedian- oder Median-Quartile-Test 355
6.7.3 ?2-Test als Unabhängigkeitstest 358
6.7.4 ?2-Test als Symmetrietest von Bowker für abhängige Stichproben 360
6.7.5 Exakter Test von Fisher und der Barnard-Test?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 363
6.8 Anpassungstests (Goodness of fit tests)???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 368
6.8.1 Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 368
6.8.2 Lilliefors-Test???????????????????????????????????????????????????????? 372
6.8.3 Kuiper-Test???????????????????????????????????????????????? 374
6.8.4 Anderson-Darling-Test???????????????????????????????????????????????????????????????????? 375
6.8.5 Cramér-von-Mises-Test???????????????????????????????????????????????????????????????????? 376
6.8.6 Jarque-Bera-Test?????????????????????????????????????????????????????????? 377
6.8.7 D’Agostino-K2-Test?????????????????????????????????????????????????????????????? 379
6.9 Schnelltests (Quick Tests of Location)?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 383
6.9.1 Schnelltest nach Tukey und Rosenbaum?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 383
6.9.2 Schnelltest nach Neave?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 387
6.9.3 Wilks-Rosenbaum-Test?????????????????????????????????????????????????????????????????? 390
6.9.4 Kamat-Test?????????????????????????????????????????????? 395
6.10 Ausreißertests???????????????????????????????????????????????????? 400
6.10.1 Einleitung???????????????????????????????????????????????? 400
6.10.2 Einfache Grundregeln, Boxplotmethoden?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 402
6.10.3 Ausreißererkennung nach Peirce???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 406
6.10.4 Maximum-Methode?????????????????????????????????????????????????????????? 410
6.10.5 Modifizierte Z-Scores?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 412
6.10.6 Ausreißertest von Dean-Dixon???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 414
6.10.7 David-Hartley-Pearson-Test???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 415
6.10.8 Grubbs-Test?????????????????????????????????????????????????? 418
6.10.9 Grubbs-Beck-Test???????????????????????????????????????????????????????????? 420
6.10.10 Test aufmehrere Ausreißer von Tietjen und Moore???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 422
6.10.11 Parameterfreier Ausreißertest nach Walsh?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 427
6.10.12 Modifiziertes Thompson-t-Verfahren?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 428
6.10.13 Wertung der Testmethoden zur Ausreißererkennungmittels Powerbestimung???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 432
6.11 Sequenzielle statistische Tests?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 433
6.11.1 Prinzip von Sequenzialtests?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 433
6.11.2 Sequenzieller t-Test???????????????????????????????????????????????????????????????????? 434
6.11.3 Sequenzieller Test für das odds ratio OR???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 444
7. Funktionstests für Zufallszahlengeneratoren?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 451
7.1 Zwei ?2-Anpassungstests 451
7.1.1 Einfacher ?2-Anpassungstest 451
7.1.2 Paartest?????????????????????????????????????????? 452
7.2 Kolmogorov-Smirnov-Test???????????????????????????????????????????????????????????????????? 453
7.3 Permutationstest?????????????????????????????????????????????????????? 454
7.4 Run-Tests???????????????????????????????????????? 455
7.4.1 Run-Test nach Knuth???????????????????????????????????????????????????????????????? 458
7.4.2 Zweiter Run-Test?????????????????????????????????????????????????????????? 464
7.4.3 Bedingter Run-Test nach Wald undWolfowitz???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 465
7.5 Gap-Test?????????????????????????????????????? 471
7.6 Poker-Test?????????????????????????????????????????? 474
7.7 Coupon Collectors Test?????????????????????????????????????????????????????????????????? 477
7.8 Geburtstagstest???????????????????????????????????????????????????? 480
7.9 Maximumtest???????????????????????????????????????????? 482
7.10 Count-The-1’s-Test und Monkey-Test???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 485
7.11 BinärerMatrix-Rang-Test?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 487
7.12 Kubustest?????????????????????????????????????????? 490
7.13 Autokorrelation?????????????????????????????????????????????????????? 491
Literatur???????????????????????????????? 495
Stichwortverzeichnis?????????????????????????????????????????????????????? 503