Diffusionsmodellierung (eBook)

Dr. habil. Rodion Groll ist Privatdozent am Fachbereich Produktionstechnik der Universität Bremen für das Fach Strömungsmechanik. Er leitet den Bereich Thermofluiddynamik am Zentrum für angewandte Raumfahrttechnologie und Mikrogravitation (ZARM).

Danksagung 7
Inhaltsverzeichnis 8
1 Motivation und wissenschaftliche Fragestellung 16
2 Diffusion einphasiger Kontinua 21
2.1 Tensoranalysis und Hauptinvarianten 22
2.1.1 Vektoralgebra 22
2.1.2 Singuläre und reguläre Matrizen 27
2.1.3 Die charakteristische Gleichung 29
2.1.4 Hauptinvarianten 30
2.1.5 Cayley-Hamilton-Theorem 32
2.1.6 Materielle und räumliche Beschreibung 33
2.1.7 Unimodulare und Orthogonale Abbildungen 35
2.1.8 Euklid’sche Transformation 35
2.1.9 Materielle Objektivität und Symmetrie 36
2.1.10 Isotropie 38
2.2 Bewegung und Transport 39
2.2.1 Flächen- und Volumenelemente 39
2.2.2 Deformation und polare Zerlegung 40
2.2.3 Streck- und Deformationstensoren 41
2.2.4 Verzerrungs- und Rotationsgeschwindigkeit 42
2.2.5 Expansionsrate 44
2.2.6 Adjungierter Tensor 44
2.2.7 Geometrische Transporttheoreme 45
2.2.8 Totales Differential 46
2.2.9 Materielle Ableitung 47
2.2.10 Reynolds-Transporttheorem 48
2.2.11 Massenerhaltung 49
2.2.12 Scherspannung 49
2.2.13 Dissipation 51
2.3 Thermodynamik und natürliche Konvektion 52
2.3.1 Molekulare Kinetik 53
2.3.2 Druck eines Gases 53
2.3.3 Ideale und reale Gase 56
2.3.4 Virialsatz 59
2.3.5 Auftrieb und Boussinesq-Approximation 60
2.3.6 Innere Energie 61
2.3.7 Spezifische Wärmen 63
2.3.8 Reaktionswärme 65
2.3.9 Energie- und Enthalpiebilanz 66
2.3.10 Buckingham-II-Theorem 68
2.3.11 Entdimensionierter Transport 71
2.4 Statistische Modellierung chaotisch fluktuierender Strömungen 74
2.4.1 Die Wahrscheinlichkeitsdichte 74
2.4.2 Zeitliche Mittelung 75
2.4.3 Korrelation 76
2.4.4 Statistisches Moment 76
2.4.5 Ergodenannahme 77
2.4.6 Kontinuität 78
2.4.7 Mittlere Geschwindigkeit 78
2.4.8 Lokale Isotropie 80
2.4.9 Null-Gleichungs-Modell 81
2.4.10 Turbulente kinetische Energie K 82
2.4.11 Turbulente Viskosität 83
2.5 Modellierung isotroper Turbulenz 84
2.5.1 k-Gleichung 84
2.5.2 Ansatz für den turbulenten Transport 86
2.5.3 Diffusion und Dissipation 87
2.5.4 Transport isotroper Turbulenz mit dem k-?-Modell 88
2.5.5 Energieerhaltung in der Turbulenz 89
2.5.6 Modellierung der turbulenten Grenzschicht 90
2.5.7 Logarithmisches Wandgesetz 92
2.5.8 Turbulente Wandspannung 93
Zusammenfassung: Diffusion einphasiger Kontinua 95
3 Diffusion molekularer Strömungen 97
3.1 Expansion, Phasenübergänge und Irreversibilität 98
3.1.1 Prinzip von Caratheodory 99
3.1.2 Entropiebilanz 102
3.1.3 Entropieproduktion 102
3.1.4 Entropiefunktionen 103
3.1.5 Entropieproduktion einer isobaren Gasmischung 104
3.1.6 Thermodynamisches Gleichgewicht 109
3.1.7 Maxwell-Relationen 111
3.1.8 Joule-Thomson-Effekt 114
3.1.9 Massenwirkungsgesetze 116
3.1.10 Clausius-Clapeyron’sches Gesetz 120
3.2 Transsonische Strömungen 122
3.2.1 Bernoulli-Gleichungen 123
3.2.2 Kesselenthalpie 124
3.2.3 Schallgeschwindigkeit 125
3.2.4 Kompressiblitätseffekte 126
3.2.5 Senkrechter Verdichtungsstoß 127
3.2.6 Sprungbedingungen 128
3.2.7 Schräger Verdichtungsstoß 132
3.2.8 Entropiezuwachs an Verdichtungsstößen 134
3.2.9 Rankine-Hugoniot-Beziehung 135
3.2.10 Kritische Schallgeschwindigkeit 138
3.2.11 Isentrope Zustandsänderungen 139
3.2.12 Machzahltransformation und Maximalgeschwindigkeit 141
3.2.13 Lavaldüse 142
3.3 Molekulare Thermodynamik 145
3.3.1 Phasenraum und die Boltzmann-Gleichung 146
3.3.2 Molekulare Kinetik verdünnter Gase 148
3.3.3 Geschwindigkeitsverteilungsfunktion 149
3.3.4 Interpretation der Standardabweichung 153
3.3.5 Molekülgeschwindigkeitsverteilung 155
3.3.6 Interpretation statistischer Momente 158
3.3.7 Molekulare kinetische Energie 159
3.3.8 Lighthill-Gas 159
3.3.9 Natürliche Gase 161
3.4 Moleküldiffusion 162
3.4.1 Mittlere Geschwindigkeit 162
3.4.2 Molekulare Kollision 163
3.4.3 Molekulare Energiediffusion 165
3.4.4 Molekulare Stöße an ideal glatten Wänden 167
3.4.5 Molekulare/partikuläre Diffusion 169
3.4.6 Dynamik kompressibler Gase 172
3.4.7 Transport der Erhaltungsgrößen 173
3.4.8 Modellierung der Geschwindigkeitskorrelationen 174
3.4.9 Mittlerer molekularer Impuls 175
3.4.10 Interpretation der molekularen Transportgleichung 177
3.5 Thermodynamische Konsistenz der molekularen Modellierung 179
3.5.1 Transport der molekularen Geschwindigkeitsvarianz 179
3.5.2 Gewichtetes Tripelmoment 181
3.5.3 Statistischer Transport 186
3.5.4 Modellierung kompressibler Strömungen 190
3.5.5 Druck und Dissipation 191
3.5.6 Entropieproduktion 192
3.5.7 Analogien zur makroskopischen Thermodynamik 194
Zusammenfassung: Diffusion molekularer Strömungen 196
4 Diffusion monodisperser Zweiphasenströmungen 198
4.1 Partikelinteraktion 199
4.1.1 Impulserhaltung 199
4.1.2 Reibungsfreier Strömungswiderstand 200
4.1.3 Stokes’scher Strömungswiderstand 201
4.1.4 Normierter Widerstandskoeffizient f 201
4.1.5 Cunningham-Korrekturfaktor 202
4.1.6 Kompressibilitätseffekte 204
4.1.7 Gravitation und Auftriebskräfte 205
4.1.8 Druckinduzierte Kräfte 207
4.1.9 Partikelbewegungsgleichungen 207
4.1.10 Basset-Boussinesq-Oseen-Gleichung 208
4.1.11 Partikel/Wand-Interaktion 211
4.2 Partikelbewegung 213
4.2.1 Volumenanteil 213
4.2.2 Effektive Dichte 214
4.2.3 Massen- und Volumenbruch 215
4.2.4 Das Relaxationszeitmaß 215
4.2.5 Flusszeitmaß 216
4.2.6 Geschwindigkeitsrelaxation 217
4.2.7 Kollisionszeit 219
4.2.8 Verschiedene Kopplungsparameter 220
4.3 Statistische Filterung 222
4.3.1 Massenerhaltung der Partikelphase 222
4.3.2 Impulserhaltung der Partikelphase 222
4.3.3 Energieerhaltung der Partikelphase 224
4.3.4 Energetische Phaseninteraktion 227
4.3.5 Volumenbruch-Korrelation 228
4.3.6 Prinzipien der gewichteten Mittelung 229
4.3.7 Gradientendarstellung 231
4.3.8 Filterdifferenz 232
4.3.9 Volumenbruch-Geschwindigkeitskorrelationen 233
4.3.10 Relativgeschwindigkeit 234
4.3.11 Modellierung der Korrelation disperser Phasen 235
4.3.12 Phasengewichtete Kontinuität 237
4.4 Statistischer Partikeltransport 238
4.4.1 Reibungskräfte 238
4.4.2 Gravitation 240
4.4.3 Auftriebskräfte 241
4.4.4 Druckinduzierte Kräfte 241
4.4.5 Scherinduzierte Kräfte 242
4.4.6 Impulserhaltung 245
4.4.7 Phasentransfer 246
4.4.8 Phaseninteraktion 247
4.4.9 Druckund Gravitationseinfluss 249
4.4.10 Phasengewichteter Impulstransport 250
4.5 Modellierung der Partikeldiffusion 252
4.5.1 Aufspaltung 252
4.5.2 Konvektionsterm 253
4.5.3 Instationärer Transport 255
4.5.4 Diffusion und Interaktion 255
4.5.5 Transport der Turbulenz der kontinuierlichen Phase 258
4.5.6 Transport der Varianz der Partikelgeschwindigkeit 261
4.5.7 Transport der Kovarianz der Geschwindigkeiten 265
Zusammenfassung: Diffusion monodisperser Zweiphasenströmungen 269
5 Diffusion eines polydispersen Mehrphasengemischs 271
5.1 Diffusion einer Suspension 272
5.1.1 Konzentration und Molenbruch 272
5.1.2 Partialdruck und Sättigungskonzentration 275
5.1.3 Kontinuität eines Gemischs 276
5.1.4 Konzentration einer Suspension 278
5.1.5 Modellierung der Diffusionsgeschwindigkeit 279
5.1.6 Massentransport an der Phasengrenzfläche 281
5.1.7 Transportgleichung 282
5.1.8 Vergleich mit exakter Lösung 282
5.1.9 Sättigungsverlauf 286
5.2 Selbstähnlichkeit polydisperser Systeme 288
5.2.1 Trema und Generator 289
5.2.2 Die fraktale Dimension 290
5.2.3 Skaleninvariante Tropfenverbände 290
5.2.4 Tremakonstante ? 292
5.2.5 Variation des Generators 293
5.2.6 Wahrscheinlichkeitsdichte des Tropfendurchmessers 293
5.2.7 Tropfenverdunstung 294
5.2.8 Variation der Skalierung 296
5.2.9 Resultierende Wahrscheinlichkeitsdichte 297
5.2.10 Oberflächendichte eines Tropfenverbandes 298
5.3 Wärmeund Stoffdiffusion polydisperser Systeme 300
5.3.1 Veränderung der Anzahldichte 300
5.3.2 Veränderung des Volumenbruchs 301
5.3.3 Verdunstungsrate 303
5.3.4 Tropfenspezifischer Massentransfer 305
5.3.5 Massentransferrelaxation und Massenkopplung 305
5.3.6 Thermische Relaxation und Energiekopplung 307
5.3.7 Feuchtigkeitsanteil und -diffusion 309
5.3.8 Wärmeübertragung 310
5.3.9 Sättigungsdruck 311
5.3.10 Absolute Luftfeuchtigkeit 312
5.3.11 Molare Anteile und relative Luftfeuchtigkeit 313
5.4 Wärmeund Stoffdiffusion an Phasengrenzflächen 314
5.4.1 Oberflächenspannung 315
5.4.2 Verdunstungsenthalpie 317
5.4.3 Dimensionslose Kennzahlen 318
5.4.4 Massentransferkoeffizient 320
5.4.5 Korrektur des Wärmeübergangs 320
5.4.6 Iterativer Algorithmus zur Bestimmung 322
5.4.7 Charakteristisches Verdunstungszeitmaß 322
5.4.8 Resultierender Massentransport 323
5.4.9 Wärmestrahlung und Wärmetransport 325
5.4.10 Turbulenter Wärmetransport 328
5.4.11 Turbulenter Impulstransport 329
5.4.12 Turbulenztransport 331
5.5 Verallgemeinerte Modellierung der Partikeldiffusion 333
5.5.1 Gleichgewichtsdiffusion 333
5.5.2 Diffusionszeitmaß 335
5.5.3 Dissipation 336
5.5.4 Strömungswiderstand 336
5.5.5 Partikelkollisionen 337
5.5.6 Kopplung für disperse Partikelphasen 339
5.5.7 Phasenübergreifende Korrelation der Partikeldiffusion 340
5.5.8 Modellierung des Strukturparameters C? 341
5.5.9 Globale Dissipationsund Restitutionsleistung 343
5.5.10 Turbulente Diffusivität 344
5.5.11 Partikel/Wand-Kollisionen 345
Zusammenfassung: Diffusion polydisperser Mehrphasengemische 348
6 Plasmadiffusion 350
6.1 Hybride Euler-Darstellung eines Mehrphasengemischs 351
6.1.1 Allgemeine Kontinuität 351
6.1.2 Allgemeine Impulserhaltung 352
6.1.3 Phasenspezifische Geschwindigkeiten 355
6.1.4 Referenzgeschwindigkeit 357
6.1.5 Koeffizienten der hybriden Euler/Euler-Darstellung 359
6.1.6 Dichteabweichung und Massentransfer 360
6.1.7 Volumenbruch und effektive Dichte 362
6.1.8 Transport der Separationsgeschwindigkeit 362
6.1.9 Allgemeine Gleichungen der hybriden Betrachtung 365
6.1.10 Wirbelviskositätsapproximation 367
6.2 Dynamik ionisierter Gase 370
6.2.1 Ionendiffusion 370
6.2.2 Elektrische Leitung mittels Diffusion ionisierter Gase 371
6.2.3 Ionisationsenergie 374
6.2.4 De-Broglie-Wellenlänge eines Elektrons 376
6.2.5 Entartung von Molekülen 377
6.2.6 Eggert-Saha-Gleichung 379
6.2.7 Zustandssumme und kanonisches Ensemble 381
6.2.8 Ionentemperatur 384
6.2.9 Ionisationsgrad schwach geladener Plasmen 386
6.3 Ionisation von Plasmen 387
6.3.1 Elektrische Leitfähigkeit von Plasmen 387
6.3.2 Plasmafrequenz 390
6.3.3 Debye’sche Abschirmlänge 393
6.3.4 Reduzierte Masse und Energietransport 395
6.3.5 Coulomb-Streuung 397
6.3.6 Stoßquerschnitte im Plasma 399
6.3.7 Ber¨ucksichtigung der Mehrfachstreuung 400
6.3.8 Modellierung des Ionisation 403
6.3.9 Rekombination durch Dreierstoß 405
6.4 Modellierung der molekularen Geschwindigkeitsverteilung 406
6.4.1 Transportanteile der Boltzmann-Gleichung 407
6.4.2 Kollisionsanteile der Boltzmann-Gleichung 410
6.4.3 Das H-Theorem 413
6.4.4 BGK-Modellierung der Boltzmann-Gleichung 415
6.4.5 Näherungsansatz erster Ordnung 417
6.4.6 Störung des isotropen Gleichgewichts 418
6.4.7 Nicht-konservative Euler-Gleichungen 421
6.4.8 Analogie zur Chapman-Enskog-Entwicklung 425
6.4.9 Diffusion in einem Lighthill-Gas 427
6.4.10 Energieund Enthalpietransport im Phasenraum 430
6.5 Plasmamodellierung mittels Multi-Fluid-Modells 435
6.5.1 Boltzmann-Transport verschiedener Teilchenklassen 435
6.5.2 Erhaltungsgr¨oßen und Klasseninteraktion 437
6.5.3 Massenaustausch zwischen Teilchenklassen 439
6.5.4 Impulsaustausch zwischen Teilchenklassen 440
6.5.5 Interne und externe Kollisionsfrequenzen 441
6.5.6 Energieaustausch zwischen Teilchenklassen 443
6.5.7 Transportgleichungen der Neutralteilchenklasse 445
6.5.8 Transportgleichungen der Elektronenklasse 447
6.5.9 Transportgleichungen der Ionenklasse 449
Zusammenfassung: Plasmadiffusion 452
7 Zusammenfassung 454
Literaturverzeichnis 459