Fehlertolerante Auswertung von Messdaten (eBook)

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Wilhelm Caspary, München

1 Einführung und Grundlagen 15
1.1 Schätzungen 15
1.1.1 Motivation und Rückblick 15
1.1.2 Stichproben 16
1.1.3 LineareModelle 17
1.1.4 Schätzgrößen 25
1.1.5 Klassische Methoden der Parameterschätzung 26
1.2 Robuste Schätzungen 28
1.2.1 Ziele und Entwicklung 28
1.2.2 EinigeDefinitionen 29
1.2.3 Allgemeine Forderungen 31
1.2.4 Qualitative Robustheit 31
1.2.5 Quantitative Robustheit – Bruchpunkt 32
1.2.6 Quantitative Robustheit – Einflussfunktion 35
1.2.7 Der ideale Schätzer 37
2 Messdaten 39
2.1 Statistische Eigenschaften 39
2.1.1 Datenarten 39
2.1.2 Verteilung der Messabweichungen 40
2.1.3 Empirische Verteilung vonMessreihen 44
2.1.4 Maximalabweichung 47
2.1.5 Mischverteilungen 49
2.2 Ausreißer 53
2.2.1 Definitionsversuche 54
2.2.2 Einzelausreißer in einfachen Stichproben 56
2.2.3 Messreihen mit mehreren Ausreißern 62
2.2.4 Ausreißer in strukturierten Stichproben 65
3 Robuste Auswertung von Wiederholungsmessungen 67
3.1 Klassische robuste Lageschätzer 67
3.1.1 Winsorisiertes Mittel 67
3.2 L-Schätzer 69
3.2.1 Quantile 69
3.2.2 Eigenschaften desMedians 70
3.2.3 Getrimmtes Mittel 73
3.3 M-Schätzer für Lageparameter 75
3.3.1 ML-Schätzer 75
3.3.2 Entwicklung derM-Schätzer 76
3.3.3 Huber-Schätzer 77
3.3.4 Hampel-Schätzer 80
3.3.5 Tukey-Schätzer 82
3.3.6 Andrews-Schätzer 83
3.3.7 Tanh-Schätzer 84
3.3.8 Vergleich der VP-Schätzer mit dem Huber-Schätzer 85
3.3.9 Lp-Norm Schätzer 86
3.4 Weitere robuste Lageschätzer 88
3.4.1 Methode des kleinsten Medians der Quadrate (MkMQ) 88
3.4.2 Methode der kleinsten getrimmten Quadrate (MktQ) 89
3.4.3 S-Schätzer 90
3.5 Schätzer für den Skalenparameter 92
3.5.1 Einfache Skalenschätzer 92
3.5.2 M-Schätzer für den Skalenparameter 94
3.6 Gemeinsame Schätzung von Lage- und Skalenparameter 96
3.6.1 Schätzung mit einfachem Skalenschätzer 96
3.6.2 M-Schätzung 97
3.6.3 Hubers Vorschlag 98
3.7 Ergänzungen 99
3.7.1 Eigenschaften der Schätzer 99
3.7.2 Vergleich der Schätzer 100
3.7.3 Bivariate Beobachtungen 103
3.8 Multivariate Beobachtungen 106
3.8.1 Das klassischeModell 107
3.8.2 Elementweise Robustifizierung 109
3.8.3 Elimination von Ausreißern 110
3.8.4 M-Schätzer 112
3.8.5 S-Schätzer 114
3.8.6 Weitere Gesichtspunkte 114
4 Multiparameter Modelle 117
4.1 LineareModelle 117
4.1.1 Modellannahmen 117
4.1.2 Einfache Regression, ausgleichende Gerade 118
4.1.3 Multiple Regression 119
4.1.4 Erweiterungen und Besonderheiten 120
4.1.5 Logistische Regression 122
4.2 Klassische Parameterschätzung 124
4.2.1 Einfache Regression, ausgleichende Gerade 125
4.2.2 Orthogonale Regression 129
4.2.3 Multiple Regression 132
4.2.4 Eigenschaften der Schätzungen 134
5 Analyse linearer Modelle 137
5.1 Die Projektoren H und .I H/ 137
5.1.1 Eigenschaften der Projektionsmatrix H 138
5.1.2 Die Elemente der Projektionsmatrix H 140
5.1.3 Eigenschaften der Matrix .I H/ 141
5.1.4 Der Einfluss von Gewichten 142
5.1.5 Beispiele 145
5.2 Wahl der Regressoren 150
5.2.1 Vertikale Partitionierung 150
5.2.2 ÜberparametrisiertesModell 151
5.2.3 UnterparametrisiertesModell 153
5.2.4 Beispiel Stack Loss Data 155
5.3 Veränderungen des Beobachtungsvektors 156
5.3.1 Horizontale Partitionierung 157
5.3.2 Erweiterung des Beobachtungsvektors 157
5.3.3 Streichen von Beobachtungen 158
5.3.4 Beispiele 160
5.3.5 Gewichtsänderungen 162
6 Analyse der Beobachtungen 165
6.1 Streichen einer Beobachtung 166
6.1.1 Lageparameter 166
6.1.2 Streuungsparameter 167
6.1.3 Verbesserungen 168
6.1.4 Hebelwerte 168
6.1.5 Beispiel Stack Loss Data 169
6.2 Analyse der Verbesserungen 170
6.2.1 Die Verteilung der Verbesserungen 171
6.2.2 Transformierte Verbesserungen 171
6.2.3 Verteilung der transformierten Verbesserungen 173
6.3 Ausreißer im linearenModell 174
6.3.1 Modell mit Erwartungswertverschiebung 174
6.3.2 Beispiele 177
6.3.3 Modellmit Varianzvergrößerung 182
6.3.4 Ausreißersuche nach Baarda 183
6.3.5 Beispiel Punktbestimmung 187
6.4 Kompakte Einflussmaße 189
6.4.1 EinfacheMaße 189
6.4.2 Die Einflussfunktion 192
6.4.3 Anwendungsformen der Einflussfunktion 193
6.4.4 Abstandsmaße 194
6.4.5 Weitere Einflussmaße 197
6.4.6 Beispiele 202
6.5 Zuverlässigkeit des Modells 205
6.5.1 Innere Zuverlässigkeit 206
6.5.2 Äußere Zuverlässigkeit 208
6.5.3 Verallgemeinerungen 209
7 Robuste Schätzung in linearen Modellen 211
7.1 Einführung 212
7.1.1 Das lineareModell 212
7.1.2 Eigenschaften derModellmatrix 213
7.1.3 Barometerkalibrierung 214
7.1.4 Schätzkriterien für Regressionsparameter 216
7.2 Kriterien der Robustheit 217
7.2.1 Der Bruchpunkt 217
7.2.2 Die Einflussfunktion 219
7.2.3 Die systematische Abweichung 221
7.3 Lokal robuste Schätzer 223
7.3.1 M-Schätzer 223
7.3.2 M-Schätzer ohne Verwerfungspunkt 225
7.3.3 M-Schätzer mit Verwerfungspunkt 228
7.3.4 GM-Schätzer 229
7.4 Global robuste Schätzer 234
7.4.1 MkMQ-Schätzer 234
7.4.2 MktQ-Schätzer 236
7.4.3 S-Schätzer 238
7.4.4 Berechnung global robuster Schätzer 239
7.4.5 Der FAST-LTS Algorithmus 240
7.4.6 Berechnung des S-Schätzers 241
7.4.7 MM-Schätzer 243
7.4.8 t-Schätzer 244
7.5 Lokal und global robuste Schätzer 245
7.5.1 Ein-Schritt Iteration 246
7.5.2 Gt-Schätzer 247
7.5.3 CM-Schätzer 248
7.6 Heuristische robuste Schätzer (HR-Schätzer) 249
7.6.1 Empirische Gewichte 250
7.6.2 Vorinformationen 254
7.6.3 Punktdaten 257
7.6.4 Heteroskedastische Beobachtungen 262
7.6.5 Korrelierte Beobachtungen 264
8 Robuste Auswertung von Bilddaten 271
8.1 Einführung 271
8.1.1 Besonderheiten der Schätzprobleme 272
8.2 HBM-Schätzer 273
8.3 Der RANSAC-Algorithmus 274
8.3.1 Die Toleranzgrenze S 275
8.3.2 Die Mindestunterstützung K 276
8.3.3 Die Anzahl der Iterationen N 276
8.3.4 Ausreißeranteil und Modellabweichungen 278
8.4 Weiterentwicklungen 278
8.4.1 DieVerlustfunktion 278
8.4.2 Modellhypothese und Verifizierung 280
8.4.3 RANSAC und M-Schätzer 281
8.4.4 Echtzeit-RANSAC 282
8.5 Die Hough-Transformation 283
8.5.1 Die Erfassung von Geraden 284
8.5.2 Das Akkumulator-Feld 286
8.5.3 Auswertung der Zähler 286
8.5.4 Begrenzung der Geraden 287
8.5.5 Erfassung beliebiger Geometrien 287
8.5.6 Weiterentwicklungen 288
Literaturverzeichnis 291
Stichwortverzeichnis 311